ALGORITMOS DE OPTIMIZACIÓN Análisis Óptimo de Estructuras mediante Algoritmos Genéticos Miguel Á. Parrón.

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2 ALGORITMOS DE OPTIMIZACIÓN Análisis Óptimo de Estructuras mediante Algoritmos Genéticos Miguel Á. Parrón

3 30-may-162 PROGRAMA DE DOCTORADO EN INGENIERÍA INDUSTRIAL

4 30-may-163 Análisis Óptimo de Estructuras mediante Algoritmos Genéticos CONTENIDO 1.Diseño Estructural. 1.1. Análisis del Diseño. 2.Algoritmos de Optimización. 2.1. El Problema General de la Optimización. 3. Diseño Estructural Óptimo. 3.1. Evolución de la Solución Óptima. Ej. 3.2. Optimización de Elementos Simples. Ej. 4. Algoritmo Genético. 4.1. Anatomía de un AG. 4.2 Como Funciona un AGS. Ej. 5. Bibliografía.

5 30-may-164 Diseño Estructural FORMAS ESTRUCTURALES

6 30-may-165 Diseño Estructural FORMAS ESTRUCTURALES

7 30-may-166 Diseño Estructural FORMAS ESTRUCTURALES

8 30-may-167 Diseño Estructural FORMAS ESTRUCTURALES

9 30-may-168 Diseño Estructural Incertidumbre del Diseño

10 30-may-169 Diseño Estructural Incertidumbre del Diseño La simple cuantificación del proceso de diseño, utilizando sofisticadas técnicas analíticas y potentes ordenadores, no elimina las incertidumbres asociadas al diseño estructural, aunque puede reducir algunas. Estas son: * cargas * leyes constitutivas del material * modelización de la estructura * imperfecciones estructurales  geométricas  mecánicas

11 30-may-1610 Algoritmos de Optimización ¿Qué es un ALGORITMO? Muhammad ibn Musa Al Jawarizmi (780-850 d.c.) Método especial de resolución para un cierto tipo de problemas Método preciso utilizable por un ordenador para la solución de un problema

12 30-may-1611 Algoritmos de Optimización CONSTRUIR y RESOLVER MODELOS de PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA en INGENIERÍA

13 30-may-1612 Algoritmos de Optimización SITUACIÓN DEL MUNDO REAL MODELO DEL MUNDO REAL MODELO MATEMÁTICO CONCLUSIONES (4) Comparación (1) Simplificación (2) Traducción (3) Aplicación de métodos matemáticos ESQUEMA DEL PROCESO DE MODELADO La propuesta metodológica está centrada en los siguientes puntos: 1. Presentación de una situación simplificada del mundo real. 2.Traducción de la situación en terminología matemática y obtención del modelo. 3.Trabajar sobre el modelo y resolución del problema. 4.Presentación de la solución en términos no matemáticos. Conceptos Generales

14 30-may-1613 Algoritmos de Optimización El objetivo de la Optimización Matemática encontrar máximos y mínimos de funciones de varias variables sujetas a una serie de restricciones

15 30-may-1614 Algoritmos de Optimización Optimización e Ingeniería Evitar el diseño prueba-error. Obtener la mejor solución posible con la mayor economía de recursos. Usar la función objetivo para modificar el tamaño y forma del diseño. Aplicar restricciones de comportamiento para controlar la respuesta del modelo. Maximizar las prestaciones del diseño.

16 30-may-1615 El Problema General de la Optimización Planteamiento del problema Problemas con restricciones de desigualdad: las variables del problema verificarán una serie de condiciones expresadas mediante inecuaciones (desigualdades). Se quiere diseñar una ménsula con sección rectangular y longitud dada de forma que tenga un peso mínimo y una deformación limitada cuando se la somete a una carga vertical en su extremo. Sean X e Y la anchura y el canto de la viga que se buscan. Sean L, F, , la longitud, la carga en el extremo, la deformación máxima admisible y  el peso específico

17 30-may-1616 El Problema General de la Optimización Planteamiento del problema El objetivo es minimizar el peso La flecha en la ménsula El Momento de Inercia en la sección transversal Restricciones

18 30-may-1617 El Diseño Estructural Óptimo Variables del Diseño 1. Tipos de material y sus características 2. Morfología de la Estructura 3. Disposiciones geométricas de los elementos 4. Formas y dimensiones de las secciones transversales de las piezas

19 30-may-1618 El Diseño Estructural Óptimo. EJEMPLO Parámetros Fijos Canto  H= 20 mm Ancho  W= 20 mm Longitud  L= 1000 mm

20 30-may-1619 El Diseño Estructural Óptimo. EJEMPLO ANSYS Command Listing

21 30-may-1620 El Diseño Estructural Óptimo. EJEMPLO ANSYS Command Listing PLVAROPT,H,W ! Datos gráficos de optimización /AXLAB,X,Numero de Iteracion /AXLAB,Y,Ancho y Altura (mm) /REPLOT

22 30-may-1621 El Diseño Estructural Óptimo. EJEMPLO ANSYS Command Listing

23 30-may-1622 El Diseño Estructural Óptimo. EJEMPLO 10 0 u1u1 u2u2 P=20 x1x1 x1x1 x2x2 12 3 A BC D Parámetros Fijos Variables de diseño  secciones de las barras (x 1,x 2 ) Formas Formas Cargas Cargas Coacciones de los nudos Coacciones de los nudos

24 30-may-1623 El Diseño Estructural Óptimo. EJEMPLO u1u1 u2u2 P=20 x1x1 x1x1 x2x2 A BC D El ángulo entre barras es 45º, las componentes u 1 y u 2 de  son: Las tensiones en las barras son:

25 30-may-1624 El Diseño Estructural Óptimo. EJEMPLO u1u1 u2u2 P=20 x1x1 x1x1 x2x2 A BC D Condiciones o restricciones de comportamiento

26 30-may-1625 El Diseño Estructural Óptimo. EJEMPLO u1u1 u2u2 P=20 x1x1 x1x1 x2x2 A BC D La representación Gráfica de este problema es: Región de diseño Punto de intersección Diseño condicionado G1=0G1=0G1=0G1=0 G3=0G3=0G3=0G3=0 G2=0G2=0G2=0G2=0 f1f1f1f1 f2f2f2f2 Tangente f que tiene un punto en la región de diseño Diseño incondiciona do 0. 78 8 0. 40 8

27 30-may-1626 El Diseño Estructural Óptimo. EJEMPLO u1u1 u2u2 P=20 x1x1 x1x1 x2x2 A BC D Los movimientos u están relacionados con las variables de diseño a través de la expresión: Despejando x 1, x 2 y sustituyéndolo en las desigualdades de las restricciones y función objetivo, se obtiene el diseño óptimo en función de las variables de comportamiento u=(u 1, u 2 ): F=f(u) mínimo G j (u)  0 j=1,2,3 -u i  0 i=1,2

28 30-may-1627 El Diseño Estructural Óptimo. Evolución de la Solución Óptima. EJEMPLO El ángulo en que se aplica la carga es variable 10 0 x1x1 x1x1 x2x2 12 3 A BC D α α

29 30-may-1628 El Diseño Estructural Óptimo. Evolución de la Solución Óptima. EJEMPLO Caso particular ángulo en que se aplica la carga es 0º 10 0 x1x1 x1x1 X 2 =0 12 3 A BC D P G1=0G1=0G1=0G1=0 G3=0G3=0G3=0G3=0 Tangente f que tiene un punto en la región de diseño 0.9 43

30 30-may-1629 El Diseño Estructural Óptimo. Evolución de la Solución Óptima. EJEMPLO Caso particular ángulo en que se aplica la carga es 90º 10 0 x1x1 X2X2 12 3 A BC D P x1x1 G1=G 3 = 0 G3=0G3=0G3=0G3=0 Tangente f que tiene un punto en la región de diseño 0.9 43 1, 00

31 30-may-1630 El Diseño Estructural Óptimo. Evolución de la Solución Óptima. EJEMPLO Caso particular ángulo en que se aplica la carga es 90º 10 0 x1x1 X2X2 12 A BC D P x1x1 3 G1=G 3 = 0 G3=0G3=0G3=0G3=0 Tangente f que tiene un punto en la región de diseño 0.9 43

32 30-may-1631 El Diseño Estructural Óptimo. Optimización de Elementos Simples. EJEMPLO Optimización de elementos simples en sus dimensiones internas P P l e B a. Plastificación b. Pandeo según método omega c. Limitación de la esbeltez mecánica d. Condiciones geométricas de diseño e. Valor mínimo del espesor Función objetivo min F = 4·b·e·l

33 30-may-1632 El Diseño Estructural Óptimo. Optimización de Elementos Simples. EJEMPLO Optimización de elementos simples en sus dimensiones internas P P l e B Función objetivo min F = 1200·b·e·l P= 80 t L= 3 m ; e  0.3 cm E young = 2100 t/cm 2 ;  elástica = 2.6 t/cm 2

34 30-may-1633 El Diseño Estructural Óptimo. Optimización de Elementos Simples. EJEMPLO Optimización de elementos simples en sus dimensiones internas P P l e B e 15.9 6 0. 53 F=10 150. 56 F=240 00 F=300 00 b G 1 =0 G2=0G2=0G2=0G2=0 G3=0G3=0G3=0G3=0 G4=0G4=0G4=0G4=0 G5=0G5=0G5=0G5=0 Volumen de acero 10150.56 cm 3

35 30-may-1634 El Diseño Estructural Óptimo. Optimización de Elementos Simples. EJEMPLO Optimización de elementos simples en sus dimensiones internas P P l e B e 26. 4 0.30.3 F=95 04 F=240 00 F=300 00 b G 1 =0 G2=0G2=0G2=0G2=0 G3=0G3=0G3=0G3=0 G4=0G4=0G4=0G4=0 G5=0G5=0G5=0G5=0 Volumen de acero 9504 cm 3

36 30-may-1635 El Algoritmo Genético “En lugar de envidiar a la naturaleza debemos emularla” John Holland (1970)

37 30-may-1636 El Algoritmo Genético Charles Robert Darwin (1809-1882) Definió la selección natural por evolución de las especies Jonh Henry Holland (1929-) Aplico la selección natural al aprendizaje de máquinas Técnica “Planes Reproductivos” Jonh R. Koza (1951-) "Es un algoritmo matemático altamente paralelo que transforma un conjunto (población) de objetos Matemáticos individuales, cada uno de los cuales se asocia con una aptitud, en una población nueva (i.e. la siguiente generación) usando operaciones modeladas de acuerdo al principio Darwiniano de reproducción y supervivencia del más apto, y tras haberse presentado de forma natural una serie de operaciones genéticas (notablemente la recombinación sexual)".

38 30-may-1637 El Algoritmo Genético Un AG es un representación de programación utilizada en la búsqueda de soluciones en la que sobreviven los individuos mas aptos

39 30-may-1638 El Algoritmo Genético Anatomía de un AG selección natural Usan el mecanismo de la selección natural para buscar a través del espacio de decisión, soluciones optimas.  Buenas características se propagan y se mejoran de generación en generación.  Malas características desaparecen genéticamente.

40 30-may-1639 El Algoritmo Genético ¿Cómo representan cada solución?

41 30-may-1640 El Algoritmo Genético ¿Cómo representan cada solución?

42 30-may-1641 El Algoritmo Genético Codificación de las Variables de Diseño La codificación de las soluciones puede variar de un problema a otro y de un algoritmo genético a otro. En los problemas de optimización estructural se tiende a usar como variables de diseño la sección de los elementos estructurales representada mediante cadenas de bits denominadas fenotipos. Estas cadenas se unen entre sí constituyendo los cromosomas que representan un “conjunto de diseño, estructura a modificar o individuo de la población”. Cada cadena de bits representa una posición en la tabla de catálogos comerciales de secciones. Su longitud se evalúa mediante la expresión:  Nº de secciones del catálogo n  Nº de bits

43 30-may-1642 El Algoritmo Genético Codificación de las Variables de Diseño  Nº de secciones del catálogo = 18 n  Nº de bits =5 Codificación de la serie comercial IPE

44 30-may-1643 El Algoritmo Genético Codificación de las Variables de Diseño x1x1 x1x1 x2x2 X 1  IPE220 X 2  IPE120 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 x2x2 x1x1 Representación en binario de los cromosomas de un individuos de la población

45 30-may-1644 El Algoritmo Genético Codificación de las Variables de Diseño Las cadenas de bits presentan varias ventajas por encima de otras codificaciones:  · Son simples de crear y manipular.  · Son tratables teóricamente y esa simplicidad hace que sea más fácil implementar teoremas.  · Con estas cadenas se pueden aplicar puntos de cruce y operadores de mutación a un gran número de problemas.

46 30-may-1645 El Algoritmo Genético Anatomía de un AG simple Problema del Mundo Real Generar datos para describir la estructura Diseño Inicial Análisis ¿Es un diseño válido? Modificar el diseño usando experiencia o una heurística Diseño Final si no Proceso tradicional de diseño

47 30-may-1646 El Algoritmo Genético Anatomía de un AG simple Problema del Mundo Real Generar datos para describir la estructura Diseño Inicial Análisis ¿Satisface el diseño el criterio de convergencia? Modificar el diseño usando una técnica de optimización Diseño Final si no Proceso de diseño óptimo Identificar: Variable de diseño Función Objetivo Restricciones

48 30-may-1647 El Algoritmo Genético Anatomía de un AG simple Problema del Mundo Real Generar datos de la estructura Diseño Inicial (Aleatorio) Análisis ¿Máximo Nº de generaciones? Modificar el diseño usando cruce y mutación Diseño Final si no Proceso de diseño óptimo usando AG Identificar: Variable de diseño y representación Función de Aptitud Restricciones y como incorporarla a la función de aptitud Decodificación

49 30-may-1648 El Algoritmo Genético Anatomía de un AG simple Flujo de un AG simple Las operaciones básicas del algoritmo genético son: Reproducción. (Selección) Cruce. Mutación.

50 30-may-1649 El Algoritmo Genético EVAULACIÓN SELECCIÓN REPRODUCCIÓN RECOMBINACIÓN PRINCIPIOS DEL ALGORITMO GENÉTICO POBLACIÓN PADRES

51 30-may-1650 El Algoritmo Genético Anatomía de un AG simple REPRODUCCIÓN Un individuo se copia en la nueva población de acuerdo a su aptitud. Esta aptitud se define según un valor de la función objetivo de tal manera, que las cadenas más aptas, aquellas con valores de la función objetivo más altos, reciben números más altos de descendientes. Probabilidad de Selección Probabilidad de Selección F i  Valor función Objetivo del individuo i-esimo N p  Tamaño de la población

52 30-may-1651 El Algoritmo Genético Anatomía de un AG simple CRUCE El CRUCE permite que aquellos miembros que han sido seleccionados intercambien características entre ellos mismos. Entre las posibles formas de realizar el cruce destacan:  Cruce por un punto.  Cruce por dos puntos. El cruce por un punto es el más simple y usado en los algoritmos genéticos. En él se selecciona una posición del cromosoma y se crea, por barrido de todos los caracteres entre la posición seleccionada y la longitud total del cromosoma, dos nuevas cadenas denominadas hijos. En el cruce por dos puntos se seleccionan dos posiciones del cromosoma, creando por barrido de los caracteres entre las dos posiciones seleccionadas, las nuevas cadenas denominadas hijos.

53 30-may-1652 El Algoritmo Genético Anatomía de un AG simple CRUCE POR UN PUNTO PARA CADENAS BINARIAS

54 30-may-1653 El Algoritmo Genético Anatomía de un AG simple CRUCE POR DOS PUNTOS PARA CADENAS BINARIAS

55 30-may-1654 El Algoritmo Genético Anatomía de un AG simple MUTACIÓN La Mutación es el tercer paso realizado en un AG simple con el fin de salvar al proceso, de una pérdida prematura de material genético adecuado. En términos de cadenas binarias, este paso corresponde a la selección de unos pocos miembros de la población, determinación de localizaciones al azar en sus cadenas y cambio del 0 por el 1 en dichas localizaciones y/o viceversa.

56 30-may-1655 El Algoritmo Genético Anatomía de un AG simple MUTACIÓN

57 30-may-1656 El Algoritmo Genético Anatomía de un AG simple MUTACIÓN

58 30-may-1657 El Algoritmo Genético Cómo Funcionan los AG simple

59 30-may-1658 El Algoritmo Genético Cómo Funcionan los AG simple Creación de nuevas poblaciones Un AG simple crea en cada generación una población enteramente nueva

60 30-may-1659 El Algoritmo Genético Criterios de Convergencia

61 30-may-1660 El Algoritmo Genético

62 30-may-1661 El Algoritmo Genético

63 30-may-1662 El Algoritmo Genético

64 30-may-1663 El Algoritmo Genético Búsqueda primero en AMPLITUD Búsqueda primero en PROFUNDIDAD Búsqueda ASCENSO DE CIMA

65 30-may-1664 El Algoritmo Genético

66 30-may-1665 El Algoritmo Genético Estructura articulada bidimensional compuesta por 10 barras, el cálculo de esfuerzos se puede abordar manualmente, lo que permite un análisis rápido de los resultados obtenidos Se consideran dos hipótesis simples: el peso propio de la estructura y una sobrecarga formada por tres cargas puntuales aplicadas en el punto 2, 3 y 4 de 40 toneladas c.u.

67 30-may-1666 El Algoritmo Genético Las diez barras se han agrupado en cinco tipos de secciones distintas considerando la forma de trabajar de cada barra y su ubicación en la estructura. HEA en barras sometidas a flexiones elevadas IPN en secciones sometidas a compresión IPE en el resto

68 30-may-1667 El Algoritmo Genético Combinaciones estudiadas para el ajuste de los parámetros del AG elitista Para el ajuste de los parámetros y el análisis de su impacto sobre el algoritmo se ejecutan para cada combinación de parámetros cinco evoluciones completas del proceso de optimización.

69 30-may-1668 El Algoritmo Genético Tamaño de la Población: El efecto del tamaño de la población sobre el comportamiento del algoritmo genético elitista se analiza sobre tres combinaciones de parámetros: Efecto del N p sobre el peso medio y el número medio de evaluaciones de función. P e = 30-50%, P c = 70-50% y P mut = 0,5-1%. Tamaño de la población

70 30-may-1669 El Algoritmo Genético Probabilidad de Mutación Probabilidad de Cruce Probabilidad de Elite

71 30-may-1670 El Algoritmo Genético

72 30-may-1671 El Algoritmo Genético

73 30-may-1672 El Algoritmo Genético Tabla de comparación de resultados. La optimización llevada a cabo con el algoritmo genético elitista, produce soluciones seguras, menos sobredimensionadas que las obtenidas con ANSYS Número Grupo Secciones AGS Peso (kg) Secciones ANSYS Peso (Kg) 1HEA3001519.14HEA3001519.14 2HEA300773.50HEA300773.50 3LSI150x50345.08IPN220356.45 4HEB220488.49IPE550715.15 5IPN4001935.72IPN4001935.72 Peso Total5061.935299.96

74 30-may-1673 El Algoritmo Genético

75 30-may-1674 El Algoritmo Genético  Gen M. y Cheng R. (1997). "Genetic Algorithms & Engineering Design" Editorial John Wiley & Sons, Inc, págs. 1-95.  Goldberg, D.E.(1989). " Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machine Learning", Editoral Addison Wesley Longman, págs. 1 – 145. Bibliografía ●Koza, J.R. (1990), Genetic Programming: A Paradigm for Genetically Breeding Populations of Computer Programs to Solve Problems, Stanford University Computer. ●Koza, J.R. (1992), Genetic Programming: On the Programming of Computers by Means of Natural Selection, MIT Press ●Koza, J.R. (1994), Genetic Programming II: Automatic Discovery of Reusable Programs, MIT Koza, J.R., Bennett, F.H., Andre, D., and Keane, M.A. (1999), Genetic Programming III: Darwinian Invention and Problem Solving, Morgan Kaufmann ●Koza, J.R., Keane, M.A., Streeter, M.J., Mydlowec, W., Yu, J., Lanza, G. (2003), Genetic Programming IV: Routine Human-Competitive Machine Intelligence,

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77 30-may-1676 El Algoritmo Genético  Gen M. y Cheng R. (1997). "Genetic Algorithms & Engineering Design" Editorial John Wiley & Sons, Inc, págs. 1-95.  Goldberg, D.E.(1989). " Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machine Learning", Editoral Addison Wesley Longman, págs. 1 – 145. Bibliografía ●Koza, J.R. (1990), Genetic Programming: A Paradigm for Genetically Breeding Populations of Computer Programs to Solve Problems, Stanford University Computer. ●Koza, J.R. (1992), Genetic Programming: On the Programming of Computers by Means of Natural Selection, MIT Press ●Koza, J.R. (1994), Genetic Programming II: Automatic Discovery of Reusable Programs, MIT Koza, J.R., Bennett, F.H., Andre, D., and Keane, M.A. (1999), Genetic Programming III: Darwinian Invention and Problem Solving, Morgan Kaufmann ●Koza, J.R., Keane, M.A., Streeter, M.J., Mydlowec, W., Yu, J., Lanza, G. (2003), Genetic Programming IV: Routine Human-Competitive Machine Intelligence,

78 Gracias por vuestra atención