El pueblo contra Collins

Presentación del tema: "El pueblo contra Collins"— Transcripción de la presentación:

1 El pueblo contra Collins
La falacia del fiscal

2 THE PEOPLE, Plaintiff and Respondent v.
MALCOLM RICARDO COLLINS, Defendant and Appellant Docket No. Crim Supreme Court of California In Bank March 11, 1968 68 Cal. 2d 319, 438 P.2d 33, 66 Cal.Rptr. 497 (1968) APPEAL from a judgment of the Superior Court of Los Angeles County. Maurice C. Sparling, Judge. Reversed. Rex K. DeGeorge, under appointment by the Supreme Court, for Defendant and Appellant. Thomas C. Lynch, Attorney General, William E. James, Assistant Attorney General, and Nicholas C. Yost, Deputy Attorney General, for Plaintiff and Respondent.

3 En 1964, se produjo en Los Ángeles un asalto con robo a una mujer; la ladrona, una joven rubia con coleta, fue vista huir, a bordo de un coche amarillo, en compañía de un varón negro con barba y bigote. Unos días después, es detenida una tal Janet Collins, rubia, con coleta, que al parecer anda en tratos con un hombre negro con barga y bigote, y que posee un coche amarillo. El fiscal estima las probabilidades de cada una de esas características y, suponiendo independencia entre ellas, llega la conclusión de que la probabilidad de reunir todas ellas es de una entre 12 millones. El veredicto parece claro.

4 La Corte Superior del Condado de Los Ángeles declara a Janet Collins culpable.
El caso fue recurrido y la Corte Suprema de California, cuatro años después, anuló la sentencia de culpabilidad, con un razonamiento matemático por parte de la defensa que arrojó unas conclusiones tajantes. Razonemos, por nuestra cuenta, el susodicho problema.

5 Probabilidades consideradas
A. Partly yellow automobile 1/10 B. Man with mustache 1/4 C. Girl with ponytail 1/10 D. Girl with blond hair 1/3 E. Negro man with beard 1/10 F. Interracial couple in car 1/1000  

6 Producto p(i): 1/ ~ 0!!!

7 Universo de nuestro problema
En adelante, llamaremos N al número de parejas de nuestro universo (nº de parejas residentes en LA Ciudad, en el Condado, o en el Área Metropolitana). Consultando los datos, conocemos el número de habitantes, pero no el número de parejas (pues aunque el número de matrimonios se encuentre registrado, ni todos los matrimonios siguen siendo pareja, ni todas las parejas están casadas, ¡alíviense ustedes!). Así, introducimos el factor R, definido como el número de parejas por cada habitante, de modo que N = * R (ciudad), * R (condado) ó * R (área metropolitana), siendo los números que anteceden a R las poblaciones de las regiones especificadas.

8 Universo de nuestro problema
La probabilidad de que una persona tenga pareja (nótese que en la estimación se están considerando también niños y ancianos viudos) anda en torno al 56%. Supongamos la existencia exclusiva de parejas heterosexuales monógamas (y supongamos que no es mucho suponer...). Entonces, si un 50% de la población es varón, el número de parejas coincide con el número de varones emparentados: nº habitantes x 0,5 x 0,56 = 0,28 x nº habitantes (luego es R=0,28).

9 Número de parejas nº habitantes N (nº parejas) ciudad 3800000 1064000
nº habitantes N (nº parejas) ciudad condado área metropolitana

10 ¡A la cárcel esa rubia! Sabemos que la ladrona ha de residir en la ciudad de LA. Dado que allí sólo viven algo más de 1 millón de parejas y la probabilidad de que una pareja cumpla con los datos conocidos de la culpable (es decir, que sea sospechosa) es de 1 entre 12 millones, parecería que no vamos a encontrar ninguna pareja tal en LA; sin embargo, sabemos que la culpable cumple esas características, luego sí que existirá al menos una. Aun así, la probabilidad de que existieran dos parejas sospechosas puede seguir pareciendo prácticamente nula (¡LA ciudad habría de tener 12 millones de habitantes para que le correspondiera, en promedio, una pareja tan singular, y 24 millones para que le correspondieran dos!).

11 ¿Dónde está entonces la falacia?
Primero, en que no es en realidad tan insospechado encontrar entre 1 millón de parejas a dos que sean sospechosas (lo veremos a continuación mediante cálculos) segundo, en que de existir dos parejas sospechosas, si consideramos a una de las dos culpable, correremos un 50% de posibilidades de equivocarnos, y ese es un riesgo muy alto; análogamente, si existieran 3 parejas sospechosas, lo cual sería aún más raro, tendríamos un 66% de posibilidades de condenar a un inocente, etc. (no obstante, adelantamos ya que el caso realmente notorio es el de que existan 2 parejas sospechosas, ya que las probabilidades de encontrar a más de 2 parejas sospechosas en LA se reducen drásticamente).

12 Resolución del problema
Si no se hubiera cometido ningún robo, para estimar la probabilidad de que en LA hubiese x sospechosos, podríamos utilizar una distribución binomial: el éxito es que una pareja cumpla las condiciones del culpable (esto es, sea sospechosa); n=N, p=1/ y q = 1 - p. Además, por ser n » 1 y p « 1, la distribución tenderá a una de Poisson, con λ = n · p = · 1/ ; λ = A continuación se muestran la distribución binomial y la de Poisson para distintos valores de x (podemos comprobar, en efecto, la clara validez de la distribución de Poisson en nuestro caso):

13 Tabla de valores x Binomial Poisson P( x | >0 ) P equivocación
producto 0, 1 0, 0, 0, 2 0, 0, 0, 0,5 0, 3 0, 0, 0, 0, 4 2,3568E-06 2,7776E-05 0,75 2,0832E-05 5 4,1794E-08 4,9257E-07 0,8 3,9405E-07 6 6,1761E-10 6,1762E-10 7,279E-09 0, 6,0659E-09 7 7,8231E-12 7,8232E-12 9,2201E-11 0, 7,9029E-11 8 8,6705E-14 8,6707E-14 1,0219E-12 0,875 8,9416E-13 9 8,542E-16 8,5423E-16 1,0068E-14 0, 8,9489E-15 10 7,5738E-18 7,5741E-18 8,9266E-17 0,9 8,0339E-17 SUMA: 0, %P(acus. inoc.): 2,

14 ¡Es un problema condicionado!
Al principio del trabajo, ya advertimos sobre el hecho clave de que se trataba de un problema de probabilidad condicionada. Así es que, si bien la probabilidad de encontrar a dos parejas sospechosas en LA (sin ningún dato previo) es de sólo 0, , la probabilidad de encontrar a dos parejas sospechosas, sabiendo que existe al menos una (probabilidad condicionada, ¡pues ha habido un robo!) es ya del 0, , que es muchísimo mayor que la anterior.

15 La columna P ( x | >0) haciendo,
En particular, la columna P( x | >0 ) se ha calculado mediante el Teorema de Bayes haciendo, P(x | >0) = P(x ∩ >0) / P(>0) = P(x) / P(>0) para todo x>0.

16 La columna P(equivocación)
Por otra parte, la columna probabilidad de equivocación (P equivocación) se ha calculado haciendo (x – 1) / x, en tanto que la columna ‘producto’ es la multiplicación de las dos anteriores columnas, de suerte que la suma de todas las filas de ‘producto’ nos da la probabilidad total de juzgar a un inocente (o lo que es lo mismo, la probabilidad de que el sospechoso al que estamos defendiendo no sea en realidad culpable).

17 Un riesgo demasiado alto...
En otras palabras, la Corte Superior del Condado de LA declaró a Janet Collins ‘culpable’ corriendo un riesgo del 2,21% de estar llevando a la cárcel a una inocente, riesgo inadmisible en un país donde existe la presunción de inocencia. Conviene destacar una vez más que el bajísimo valor de p = 1/ = 8,33·10–8 nos lleva a una P(condenar a un inocente) = 0,022, valor seis órdenes de magnitud mayor, insospechado inicialmente. Repitiendo los cálculos para el Condado y el Área Metropolitana, obtenemos: nº habitantes nº parejas P(condenar inocente) ciudad 0, condado 0, área metropolitana 0,

18 Razonamiento alternativo I
X x Binomial Poisson P equivocación producto 1 0, 2 0, 0, 0,5 0, 3 0, 0, 0, 0, 4 0, 0,75 7,9741E-05 5 2,3568E-06 0,8 1,8854E-06 6 4,1794E-08 0, 3,4828E-08 7 6,1761E-10 6,1762E-10 0, 5,2939E-10 8 7,8231E-12 7,8232E-12 0,875 6,8453E-12 9 8,6705E-14 8,6707E-14 0, 7,7073E-14 10 8,542E-16 8,5423E-16 0,9 7,688E-16 SUMA: 0, %P(acus. inoc.): 4,

19 Razonamiento alternativo I
nº habitantes nº parejas P(condenar inocente) ciudad 0, condado 0, área metropolitana 0,

20 Razonamiento alternativo II
Sea ‘+’ el suceso: reunir todas las características del culpable (ser sospechoso). Sea X la probabilidad de que una pareja cualquiera (tomada pues aleatoriamente de entre el universo concerniente) reúna todas las características que sin ninguna duda posee la culpable (en nuestro caso, 1 entre 12 millones). Es decir, P(+)=X. Sea N el número de parejas de nuestro universo. Es importante reseñar que en la determinación de X no se está teniendo en cuenta que existe un culpable, y por ende al menos un individuo en nuestro universo que cumpla + (en nuestro caso, lo más probable es que entre las N parejas, ninguna de ellas cumpla +, ya que la probabilidad es de X=1/ ). Por lo tanto X, la probabilidad de que una persona cualquiera reúna las características del culpable, es en realidad la probabilidad de que uno de los (N – 1) inocentes reúna las características del culpable, pues no hemos tenido en cuenta al determinar X que existe al menos un culpable. Esto es, X es en realidad: P(+|inocente)=X.

21 Razonamiento alternativo II

22 Razonamiento alternativo II
P(culpable | +) = P(culpable ∩ +) / P(+) = (1/N) / (1/N + (1 – 1/N)·X) = 1/(1 + X·(N–1)). Esto es, la probabilidad de que un sospechoso sea realmente culpable es de: 1/(1 + X·(N–1))

23 Razonamiento alternativo II
nº habitantes N (nº parejas) P (culpable |+) P (condenar inocente) ciudad 0, 0, condado 0, 0, área metropolitana 0, 0, X = 8,33333E-08

24 Conclusiones En cualquier caso, la conclusión evidente del presente estudio es que, en temas tan sensibles como el judicial, donde probabilidades de culpar a un inocente del entorno del 1% ya han de ser consideradas como muy altas, la mera coincidencia de características entre el sospechoso y el presunto criminal, no podrá justificar nunca, y por sí sola, la culpabilidad del acusado. Hemos visto, en este caso, como aun siendo no raras, sino rarísimas (1/ ), las confluencias de caracteres en nuestra criminal, emprender el rastreo por todo LA y culpar a las parejas encontradas sería poco menos que una caza de brujas. Si a esto le añadimos la posibilidad de que quizás el coche no fuera amarillo, o la mujer no llevara coleta, o el hombre fuese latino y no negro, o no llevase bigote, etc. el procedimiento se convierte definitivamente en una búsqueda a ciegas.

25 Conclusiones Pero es que aún en el caso de utilizar análisis genéticos en un caso judicial (donde se identifican caracteres que sólo poseen uno de cada millón de individuos), aún así, donde está claro que esa genética pertenece al verdadero culpable, de nada serviría encontrar en la región a un hombre poseedor de ellos en su genoma, pues posiblemente se trataría de un inocente. Sólo reduciendo el universo de los potenciales culpables (N), el método de búsqueda de caracteres comunes puede resultar seguro, escapando así de lo que ya se conoce, desde el caso Collins, como la ‘falacia del fiscal’.

26 The END Carlos B.