La rana saltarina de Thales

Presentación del tema: "La rana saltarina de Thales"— Transcripción de la presentación:

1 La rana saltarina de Thales
XXV Olimpiada Thales

2 LA RANA SALTARINA DE THALES
Thales tenía una rana saltarina y les planteó un juego a sus discípulos: Si la rana se encuentra en el interior de cada una de las figuras e intenta cruzar todos los lados de las mismas una y sólo una vez, terminando fuera de la figura, ¿en cuántas de esas figuras puede la rana trazar un itinerario de dentro a fuera? Thales le demuestra a los amigos que la rana puede hacerlo en el caso del triángulo. ¿Puedes encontrar una regla general para otras figuras? Justifica las respuestas. Utilizando las mismas figuras geométricas que el caso anterior, si la rana empieza y termina dentro de las figuras, ¿podría cruzar todos los lados una y solo una vez? ¿Se podría encontrar análogamente una regla general como en el caso anterior? Justifica las respuestas. Menú Solución

3 Solución ¡Vayamos por parte para resolver el problema de la rana saltarina! La rana empieza dentro y termina fuera pasando una sola vez por cada lado del triángulo Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera ¿Cómo le demostró Thales a sus amigos que la rana puede hacerlo en el caso del triángulo? Enunciado Menú

4 ¡Ahora la rana está Fuera (F)!
Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Caso del triángulo Solución Llamemos A al primer punto de cruce donde la rana pasa de Dentro (D) a Fuera (F) A ¡Ahora la rana está Fuera (F)! Enunciado Menú 4

5 ¡De nuevo la rana está Dentro (D)!
Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Caso del triángulo Solución Llamemos B al segundo punto de cruce donde la rana pasa de Fuera (F) a Dentro (D) B ¡De nuevo la rana está Dentro (D)! Enunciado Menú 5

6 ¡Y con el nuevo salto la rana de nuevo está fuera!
Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Caso del triángulo Solución Si llamamos C al tercer punto de cruce donde la rana pasa de nuevo de Dentro (D) a Fuera (F) C ¡Y con el nuevo salto la rana de nuevo está fuera! Enunciado Menú 6

7 En definitiva en el triángulo tenemos el itinerario
Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Caso del triángulo Solución Por lo tanto en el caso del triángulo la rana puede trazar un itinerario de dentro-a-fuera, pasando una y solo una vez por los tres lados B A En definitiva en el triángulo tenemos el itinerario D_F_D_F C Tenía razón Thales! Enunciado Menú 7

8 Seguimos con el cuadrado: ¿Sucederá lo mismo que con el triángulo?
Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Caso del triángulo Solución Seguimos con el cuadrado: ¿Sucederá lo mismo que con el triángulo? ¿Se podrá trazar un itinerario de dentro a fuera pasando una sola vez por cada lado del cuadrado? ? Enunciado Menú 8

9 Solución A Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera
Caso del cuadrado Solución Veamos la secuencia del itinenario de dentro a fuera de forma análoga con el cuadrado: A Llamemos A al primer punto de cruce donde la rana pasa de Dentro (D) a Fuera (F) Enunciado Menú 9

10 Solución B Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera
Caso del cuadrado Solución B Llamemos B al segundo punto de cruce donde la rana pasa de Fuera (F) a Dentro (D) Enunciado Menú 10

11 Solución C Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera
Caso del cuadrado Solución Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Llamemos C al tercer punto de cruce donde la rana pasa de Dentro (D) a Fuera (F) C Enunciado Menú 11

12 ¡Y con el nuevo salto la rana de nuevo está Dentro (D)!
Caso del cuadrado Solución Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Llamemos D al cuarto punto de cruce donde la rana pasa de Fuera (F) a Dentro (D) D ¡Y con el nuevo salto la rana de nuevo está Dentro (D)! Enunciado Menú 12

13 En definitiva, en el cuadrado tenemos el itinerario
Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Caso del cuadrado Solución A B Por lo tanto ,en el caso del cuadrado la rana no puede trazar un itinerario de dentro-a-fuera, pasando una y solo una vez por los cuatro lados C D En definitiva, en el cuadrado tenemos el itinerario D_F_D_F_D Enunciado Menú 13

14 ¿Qué pasará con el pentágono?
Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Caso del pentágono Solución ¿Qué pasará con el pentágono? ¿Se podrá trazar un itinerario de dentro a fuera pasando una sola vez por cada lado del pentágono? ? Enunciado Menú 14

15 Solución C B A D E Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera
Caso del pentágono Solución A B C Siguiendo un razonamiento análogo veamos la secuencia del itinerario de dentro a fuera en el pentágono D E Enunciado Menú 15

16 Solución C B A D E Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera
Caso del pentágono Solución A D C B E Por lo tanto, en el caso del Pentágono, la rana sí puede trazar un itinerario de dentro-a-fuera, pasando una y solo una vez por los cinco lados Enunciado Menú 16

17 En definitiva, en el pentágono tenemos el itinerario
Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Caso del pentágono Solución A D C B E En definitiva, en el pentágono tenemos el itinerario D_F_D_F_D_F Enunciado Menú 17

18 ¿Qué pasará con el hexágono?
Caso del hexágono Solución Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera ¿Qué pasará con el hexágono? ¿Se podrá trazar un itinerario de dentro a fuera pasando una sola vez por cada lado del hexágono? ? Enunciado Menú 18

19 Siguiendo el mismo razonamiento en el hexágono, tenemos el
Caso del hexágono Solución Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera B C Siguiendo el mismo razonamiento en el hexágono, tenemos el itinerario D_F_D_F_D_F_D A F D E Enunciado Menú 19

20 1. El itinerario es: D-F-D-F
Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Solución Tenemos la serie de resultados para las figuras: 1. El itinerario es: D-F-D-F 2. El itinenario es: D-F-D-F-D 3. El itinerario es: D-F-D-F-D-F 4. El itinerario es: D-F-D-F-D-F-D Enunciado Menú 20

21 pasando una sola vez por cada lado del polígono:
Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Solución ¡Con todo lo anterior, es muy fácil dar una respuesta a la pregunta: ¿Puedes encontrar una regla general para otras figuras? Para un polígono regular con un número “n” impar de lados la rana puede seguir un itinerario de Dentro (D) a Fuera (F) pasando una sola vez por cada lado del polígono: D_F_D_F_D_F_D_ _F Enunciado Menú 21

22 Solución Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera
Se ha estudiado el itinerario de la rana cuando se trata de polígonos regulares. ¿Pasaría lo mismo con otras figuras como los polígonos irregulares? n=4 n=6 n=7 n=5 Enunciado Menú 22

23 D_F_D_F_D D_F_D_F_D_F
Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Solución * La secuencia en el itinerario empezando saliendo por A es D_F_D_F_D n=4 A n=5 A * La secuencia en el itinerario empezando saliendo por A es D_F_D_F_D_F Enunciado Menú 23

24 D_F_D_F_D_F_D D_F_D_F_D_F_D_F
Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Solución * * La secuencia en el itinerario empezando saliendo por A es D_F_D_F_D_F_D A * n=6 * * * * La secuencia en el itinerario empezando saliendo por A es D_F_D_F_D_F_D_F A * n=7 * * * * * Enunciado Menú 24

25 pasando una sola vez por cada lado del polígono:
Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Solución En resumen hemos llegado a un importante resultado como regla general: Para un polígono regular o irregular con un número “n” impar de lados la rana puede seguir un itinerario de Dentro (D) a Fuera (F) pasando una sola vez por cada lado del polígono: D_F_D_F_D_F_D_ _F Enunciado Menú 25

26 Solución La rana empieza dentro y termina dentro pasando una sola vez por cada lado del triángulo Parte 2 Itinerario: Dentro-Dentro ¡Una vez estudiados los casos del itinerario dentro (D)-fuera(F) parece fácil responder al itinerario dentro(D)-dentro(D) con las mismas figuras anteriores Enunciado Menú 26

27 1. El itinerario es: D-F-D-F
Parte 2 Itinerario: Dentro-Dentro Solución Solo tenemos que utilizar los resultados obtenidos; sabemos que la serie de resultados para las figuras: 1. El itinerario es: D-F-D-F 2. El itinenario es: D-F-D-F-D 3. El itinerario es: D-F-D-F-D-F 4. El itinerario es: D-F-D-F-D-F-D Enunciado Menú 27

28 Solución Parte 1 Itinerario: Dentro-Dentro
CONCLUSIÓN: Problema resuelto! Es muy fácil dar una respuesta al itinerario dentro(D)-dentro(D) Para un polígono regular e irregular con un número “n” par de lados la rana puede seguir un itinerario de Dentro (D) a Dentro (D) pasando una sola vez por cada lado del polígono: D_F_D_F_D_F_D_F_ _D Enunciado Menú 28