@ Angel PrietoMatemáticas Aplicadas CS I1 COMPOSICIÓN Y TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES U.D. 8 * 1º BCS.

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1 @ Angel PrietoMatemáticas Aplicadas CS I1 COMPOSICIÓN Y TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES U.D. 8 * 1º BCS

2 @ Angel PrietoMatemáticas Aplicadas CS I2 U.D. 8.7 * 1º BCS OTRAS FUNCIONES

3 FUNCIÓN PARTE ENTERA Sea f(x) = Int (x) Asigna a cada valor de x el entero más próximo, menor o igual a x. [ Un ejemplo práctico lo tenemos en la edad de una persona: Tendrá 16 años de forma continua y constante hasta el día que cumpla los 17.] Se expresa así: -10 si -10 ≤ x < -9 - 9 si - 9 ≤ x < - 8 ……….. f(x) = 1 si 1 ≤ x < 2 2 si 2 ≤ x < 3 3 si 3 ≤ x < 4 ……….. -2 0 1 2 -2 2 1 @ Angel PrietoMatemáticas Aplicadas CS I3

4 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 Otro ejemplo Sea f(x) = int (2.x - 3) Asigna a cada valor de x el entero más próximo, menor o igual a 2.x-3 Se expresa así: ………….. - 4 si -0,5 ≤ x < 0 - 3 si 0 ≤ x < 0,5 - 2 si 0,5 ≤ x < 1 - 1 si 1 ≤ x < 1,5 f(x) = 0 si 1,5 ≤ x < 2 ……….. -4 2 1 -2 @ Angel PrietoMatemáticas Aplicadas CS I4

5 @ Angel PrietoMatemáticas Aplicadas CS I5 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Sea f(x) = |x| Asigna a cada valor de x su imagen positiva. Esto significa que: x, si x>=0 f(x) = -x, si x<0 Dom f(x) = R Img f(x) = R+ Simetría: PAR Mínimo: Mín (0,0), en el vértice. Decreciente en (-oo, 0) Creciente en (0, +oo) R- R+ Mín(0,0)

6 @ Angel PrietoMatemáticas Aplicadas CS I6 Sea f(x) = | 2x –3 | 2x – 3, si x ≥ 1,5 f(x) = - 2x +3, si x < 1,5 Dom f(x) = R Img f(x) = R+ Simetría: No hay Mín (1,5, 0), que es el vértice. Decreciente en (-oo, 1,5) Creciente en (1,5, +oo) Tabla de Valores: x -1 0 1 2 3 f(x) 5 3 1 1 3 –1 0 1 2 3 531531 x f(x)

7 @ Angel PrietoMatemáticas Aplicadas CS I7 Sea f(x) = | x 2 –9 | x 2 –9, si x 2 ≥ 9  en (- oo, -3)U(3, oo) f(x) = 9 - x 2, si x 2 < 9  en (- 3, 3) Dom f(x) = R Img f(x) = R+ Simetría: Hay simetría PAR pues f(x) = f(-x) Decreciente en (-oo, -3) y en (0, 3) Creciente en (-3, 0) y en (3, + oo) Tabla de Valores: x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 f(x) 7 0 5 8 9 8 5 0 7 -4 -3 -2 –1 0 1 2 3 4 98759875

8 @ Angel PrietoMatemáticas Aplicadas CS I8 Seno de un ángulo SENO DE UN Á NGULO Sea el tri á ngulo rect á ngulo ABC. La raz ó n entre el cateto AB y la hipotenusa OA se llama: SENO DEL Á NGULO µ sen µ = AB / OA µ Se llama raz ó n trigonom é trica. Ese valor s ó lo depende del á ngulo, no de la medida del tri á ngulo. O A B

9 @ Angel PrietoMatemáticas Aplicadas CS I9 Función Seno Sea x el á ngulo que var í a de 0 º a 360 º e y= sen x x0 3060 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 y0 0,5 0,86 1 0,86 0,5 0 -0,5 -0,86 -1 -0,86 -0,5 0 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 1 0,5 0 -0,5 Dom f(x) = R Img f(x) = [-1, 1] F. Peri ó dica de periodo T=360 º M á x(90,1), Min(270, -1), PI(180, 0)

10 @ Angel PrietoMatemáticas Aplicadas CS I10 Coseno de un ángulo COSENO DE UN Á NGULO Sea el tri á ngulo rect á ngulo ABC. La raz ó n entre el cateto OB y la hipotenusa OA se llama: COSENO DEL Á NGULO µ cos µ = OB / OA µ Se llama raz ó n trigonom é trica. Ese valor s ó lo depende del á ngulo, no de la medida del tri á ngulo. O A B

11 @ Angel PrietoMatemáticas Aplicadas CS I11 Función Coseno Sea x el á ngulo que var í a de 0 º a 360 º e y= cos x x0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 y1 0,86 0,5 0 -05 -086 -1 -0,86 -0,5 0 0,5 0,86 1 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 1 0,5 0 -0,5 Dom f(x) = R Img f(x) = [-1, 1] F. Peri ó dica de periodo T=360 º M á x(0,1), Min(180, -1), PI(90, 0)

12 @ Angel PrietoMatemáticas Aplicadas CS I12 Tangente de un ángulo TANGENTE DE UN Á NGULO Sea el tri á ngulo rect á ngulo ABC. La raz ó n entre el cateto AB y el cateto OB se llama: TANGENTE DEL Á NGULO µ tg µ = AB / OB µ Se llama raz ó n trigonom é trica. Ese valor s ó lo depende del á ngulo, no de la medida del tri á ngulo. O A B

13 @ Angel PrietoMatemáticas Aplicadas CS I13 Función Tangente Sea x el á ngulo que var í a de 0 º a 360 º e y= sen x x0 3060 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 y0 0,58 1,72 oo -1,72 -0,58 0 0,58 1,72 oo -1,72 -0,58 0 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 1,72 0,58 0 -1,72 -0,58 F. Peri ó dica T=180 º Creciente en R. PI(90, 0),PI(270,0) Dom f(x) = R Img f(x) = [-1, 1]

14 @ Angel PrietoMatemáticas Aplicadas CS I14 y=sen x, y=sen 2x, y=2.sen x Sea x el á ngulo que var í a de 0 º a 360 º Sean las funciones y = sen x, y = 2.sen x, y = sen 2.x 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 2 1 0 -2 y = sen 2.x y = 2.sen x y = sen x

15 @ Angel PrietoMatemáticas Aplicadas CS I15 2 y=cos x, y=-cos x/2, y=|3.cos x| Sea x el á ngulo que var í a de -90 º a 270 º Sean las funciones y = cos x, y = |3.cos x|, y = - cos x/2 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 1 0 -2 y = - cos x/2 y = |3.cos x| y = cos x 3

16 @ Angel PrietoMatemáticas Aplicadas CS I16 y = sen x La función y = sen (x – 60) será idéntica a y = sen x, aunque trasladada 60º a la derecha (л/3 rd). 0 90 180 270 360 450 540 630 720 2 1 0 -2 3 Sea y = sen x La función y = 2 + sen x será idéntica a y = sen x, aunque trasladada 2 unidades arriba. y = sen x y = 2 + sen x y = sen (x – 60)