XVI Encuentro Nacional de Estudiantes de Matemáticas Salamanca

Presentación del tema: "XVI Encuentro Nacional de Estudiantes de Matemáticas Salamanca"— Transcripción de la presentación:

1 XVI Encuentro Nacional de Estudiantes de Matemáticas Salamanca - 2015
TALLER ENEM “Divertimentos cicloidales” Maria Zapatero Martín María Sánchez Jiménez Carlos Cuadrado Aboites Antonio López Almorox Departamento de Matemáticas - Facultad de Ciencias

2 La cicloide La curva cicloide se define como el lugar geométrico de un punto fijo de una circunferencia que gira sin deslizamiento a lo largo de una recta.

3 La cicloide como composición de dos movimientos
La cicloide puede entenderse como la composición de dos movimientos: el movimiento con velocidad angular constante sobre una circunferencia cuyo centro, a su vez, se desplaza con velocidad constante a lo largo de una recta.

4 Las ecuaciones paramétricas de la cicloide
Escogemos el ángulo t de rotación del círculo generador como parámetro. El segmento de recta OR es igual a la medida del arco PR puesto que el círculo rueda sin resbalarse. El arco PR es bt siendo b el radio del circulo. Un poco de trigonometría elemental conduce a las ecuaciones :

5 La Helena de la Geometría
La curva cicloide ha sido considerada durante mucho tiempo una curva muy especial por sus fascinantes propiedades geométricas y físicas (es, a la vez, la curva tautócrona y la curva braquistócrona). Es conocida también como la Helena de las curvas o la Helena de la Geometría. Este sobrenombre le fue otorgado muy probablemente por su similitud con Helena de Troya: por su gran belleza y por las disputas científicas que promovió principalmente a lo largo del siglo XVII. Aunque en la actualidad la curva cicloide resulta de poca relevancia matemática, pocas curvas en la historia han jugado un papel tan decisivo en el asentamiento de las bases de ramas de las Matemáticas como el Cálculo Infinitesimal o el Cálculo de Variaciones.

6 Matemática experimental área de la cicloide poligonal
Reto Maupertuis Matemática experimental Comprobación del área de la cicloide poligonal

7 Cicloides poligonales
Si un polígono regular de n lados rueda sobre una recta base, un vértice situado en la base termina por volver a la base después de describir (n-1) arcos. Uniendo con segmentos los extremos de cada uno de esos arcos se forma una línea poligonal (roja en la figura), de segmentos, que empieza y termina en la base y a la que llamaremos cicloide poligonal generada por el polígono regular

8 Cicloides poligonales

9 Cicloide poligonal generada por un triángulo

10 Cicloide poligonal generada por un cuadrado

11 Cicloide poligonal generada por un pentágono

12 Cicloide poligonal generada por un hexágono

13 TEOREMA DE MAUPERTUIS (1727)
Sea cual sea el número de lados del polígono regular que rueda, el área entre la cicloide poligonal y la base es el triple del área del polígono regular.

14 Si aumentamos el número de lados del polígono regular vemos que la cicloide poligonal se va aproximando cada vez más a la curva cicloide. COROLARIO : El área de la cicloide es el triple del área del círculo que la genera (considerado como un polígono de infinitos lados).

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16 Reglamento ENEM del reto Maupertuis
Cada equipo deberá comprobar que el resultado de Maupertuis es correcto para las cicloides pentagonales y hexagonales. En cada taller, se clasificarán para la final los tres equipos que, en el menor tiempo, sean capaces de encajar correctamente todas la piezas de los polígonos que se dan dentro de las dos cicloides poligonales y volver a montar los polígonos regulares tal como estaban. Se establecerá un tiempo máximo de 4 minutos para ello. Los tres equipos ganadores dela fase clasificatoria competirán en la gran final con otras pruebas cicloidales a determinar por el jurado ENEM. La decisión del jurado ENEM sobre el equipo vencedor en cada taller será inapelable (mientras no se demuestre lo contrario). Las soluciones al reto y una demostración del teorema de Maupertuis se publicará en la web del encuentro. El tiempo record del reto Maupertuis y los nombres de los componentes del equipo ganador entre todos los participantes se publicará en la web del encuentro. Y si el presupuesto lo permite, los vencedores recibirán el diploma y la condecoración Maupertuis ENEM 2015 en reconocimiento a sus grandes habilidades como matemáticos experimentales .

17 Solución del reto Maupertuis para la cicloide octogonal

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19 Demostración del teorema de Maupertuis (D. W. DeTemple
Demostración del teorema de Maupertuis (D.W. DeTemple. ``The Generalized Poligonal Cycloid’’. The College Mathematics Journal, vol. 19, nº 5, Nov. 1988, pp ) (T.M. Apostol and M. A. Minatsakanian. ``Cycloidal Areas without Calculus’’. Math. Horizons , Seprtember 1999, pp.12-16) (C. Alsina and R.B. Nelsen. ``Charming proofs: A Journey into Elegant Mathematics’’. Dolciani Mathematical Expositions nº 42 , MAA, 2010) Descomponemos el área bajo la cicloide poligonal en dos partes: Una formada por el área de los triángulos (azules) que tienen por vértices los extremos y el centro de cada arco recorrido por el vértice al rodar el polígono, es decir sus lados son un segmento de la cicloide poligonal y dos diagonales iguales del polígono, y la otra formada por el área de los triángulos (rosados) restantes. Estos triángulos (rosados) restantes tienen por lados un lado del polígono y dos diagonales consecutivas, de las trazadas desde un vértice, y es claro que su área total es igual a la del polígono que genera la cicloide poligonal.

20 Basta entonces con demostrar que el área total de los triángulos (azules) que tienen un lado en la cicloide poligonal es el doble de la del polígono rodante. Los lados iguales de esos triángulos isósceles son iguales a las sucesivas diagonales trazadas desde un vértice del polígono regular. Esos triángulos azules son isósceles, semejantes entre sí y semejantes al triángulo formado por un lado del polígono y dos radios de la circunferencia circunscrita.

21 Euclides : "Las áreas de los triángulos semejantes son entre sí como los cuadrados de dos lados homólogos." Si A = n T es el área del polígono regular de n lados, se tiene que sumando las áreas de los (n-1) triángulos azules ya que la suma de los cuadrados de todas las diagonales (incluidos los lados) con extremo en un vértice de un polígono regular de n lados es igual al doble del número de lados por el cuadrado del radio de la circunferencia circunscrita: (Ver los detalles de la demostración de este sencillo hecho en las referencias citadas ). Quedando con ello probado

22 por vuestro interés y participación en el taller
Gracias por vuestro interés y participación en el taller

23 Los nombres de los equipos del reto Maupertuis
Un poco de historia de la cicloide

24 Un poco de historia de la cicloide
La aparición de la curva cicloide por primera vez en la escena matemática no tiene una fecha clara. Debemos notar que esta curva no había sido considerada previamente por los matemáticos de la Grecia Clásica. Parece ser que el filósofo y teólogo francés Charles de Bouvelles ( ) fue pionero en trabajar con la curva cicloide, orientando sus estudios sobre dicha curva en relación con el problema de la cuadratura del círculo. En 1501, tratando de resolver este problema, introdujo además la hipotrocoide, esto es, la curva trazada por un punto P de un círculo que gira sin deslizamiento dentro de otro círculo fijo .

25 Un poco de historia de la cicloide
Alrededor de 1599, Galileo acuña el término cicloide para la curva que nos ocupa y se encarga de estudiar por primera vez el área que encierra un arco de dicha curva en base a consideraciones de carácter mecánico. En particular, Galileo efectuó la comparación entre las área de dos figuras, hechas de idéntico material, para la región que encierra un arco de cicloide y la región circular de la circunferencia que genera a la cicloide.

26 Un poco de historia de la cicloide
En el primer cuarto del siglo XVII, el monje francés Marin Mersenne ( ) había establecido la igualdad entre la longitud de la circunferencia generatriz y la base de un arco de cicloide. Hacia 1628, Gilles Personne de Roberval ( ) ingresa en la academia de Mersenne quien le propone estudiar la cicloide como elemento de prueba para los recientes métodos que trataban con cantidades infinitesimales.

27 Un poco de historia de la cicloide
Pronto se convertiría la cicloide en una de las curvas más estudiadas provocando agrias disputas entre diversos matemáticos, justificando así el sobrenombre de “Helena de la Geometría” : En particular, en 1634, Roberval logró calcular el área encerrada por un arco de cicloide usando su método de indivisibles, hallando que en efecto el área encerrada por un arco de cicloide era igual al triple del área del círculo que genera la cicloide. En la misma época, Descartes, Fermat y Roberval habían resuelto el problema de determinar la recta tangente a un arco de cicloide, siendo el método de tangentes e Fermat un claro precursor del actual cálculo de tangentes basado en el cálculo diferencial . . La no publicación de estos resultados le involucraría en una desagradable disputa con Evangelista Torricelli ( ) en relación con la prioridad en la justificación de tal propiedad.

28 Un poco de historia de la cicloide
En 1638, Mersenne comunicó a Galileo tanto la resolución de la cuadratura de la cicloide como la determinación de la tangente en los puntos de la curva. Debido a su avanzada edad, Galileo deja estos resultados en manos de su discípulo Torricelli, quien, sobre 1641, establecería sus propias demostraciones de estos resultados. En el año 1644, Torricelli publica como apéndice de su obra “De parabole” tanto la cuadratura como el cálculo de la tangente de la cicloide, sin citar los métodos de Roberval. Aunque no parece haber dudas de que Torricelli llegó al mismo resultado de forma independiente, la controversia sobre la primicia de la solución se prolongó hasta su muerte. En 1658, Christopher Wren demostró que la longitud de la cicloide es igual a cuatro veces el diámetro de la circunferencia generatriz.

29 Un poco de historia de la cicloide
El péndulo cicloidal de Huygens : La medición de la longitud La propiedad tautócrona de la cicloide, fue descubierta por Christian Huygens ( ) unos años antes del enunciado del famosos problema de la braquistócrona. Fue utilizado por el mismo para la construcción del primer reloj de péndulo. Horologium oscillatorium

30 La curva braquistócrona ‘’Tanquam ex ungue leonem’’ (Por las garras se conoce al león)
En junio de 1696, el matemático suizo Johann Bernoulli propone, en la revista Acta Eruditorum, un reto a la comunidad matemática de su época que pasará a la Historia de la Ciencia: EL PROBLEMA DE LA BRAQUISTÓCRONA Determinar la curva por la que un cuerpo desciende en el menor tiempo posible entre dos puntos, que no están ni en posición vertical ni horizontal, movido únicamente por efecto de la gravedad.

31 Respuesta errónea de Galileo un arco de circunferencia
El problema de la curva de tiempo más breve ya había sido considerado en 1638 (casi sesenta años antes) por el físico Galileo Galilei, quien había propuesto erróneamente que dicha curva debía ser un arco de circunferencia. Utilizando sus resultados sobre la caída de objetos dedujo que no era la recta que unía dichos puntos. Galileo estudia el tiempo de caída a lo largo de poligonales hallando que, en el límite de la familia de poligonales, el tiempo a lo largo de una recta es superior al obtenido a lo largo de una circunferencia. Pero ello no demuestra si ese arco de circunferencia sea la curva braquistócrona. ¡Tened en cuenta que todavía no se había inventado el Cálculo infinitesimal ! .

32 La curva braquistócrona ‘’Tanquam ex ungue leonem’’
Solo cinco de los mejores matemáticos del siglo XVII contestaron acertadamente en el tiempo establecido: Gottfried Wilhelm Leibniz Los hermanos Jakob y Johann Bernouilli Guillaume de L´Hôpital Pero una respuesta matemática fue enviada, el 30 de enero de 1697, por un autor anónimo a las Philosophical Transactions de la Royal Society inglesa. Tras leer la misma y comprobar la elegancia de la solución, Johann Bernouilli identificó inmediatamente al autor exclamando la celebre frase ‘’Por las garras se conoce al león’’ … era Sir Isaac Newton .

33 La naturaleza opera siempre con la máxima economía
En 1744, Pierre-Luís de Maupertuis, propuso su gran esquema del mundo ‘’La naturaleza opera siempre con la máxima economía”. El principio de mínima acción Geométricamente, los hexágonos rellenan el plano sin dejar huecos y las espirales ahorran espacio; La circunferencia y la esfera tienen la máxima simetría y cumplen los principios de optimización de sus áreas. Hay otras situaciones en las que la naturaleza parece que actúa de manera que minimiza longitudes y superficies, por ejemplo, la línea recta para un rayo de luz y una esfera para una burbuja.

34 El origen del Cálculo de Variaciones
La solución del problema de Jakob Bernouilli fue la que tuvo mayores repercusiones matemáticas ya que la generalización de sus ideas fue el camino seguido por Leonhard Euler ( ) y Joseph Louis de Lagrange ( ) para desarrollar una nueva rama de las Matemáticas denominada Cálculo de Variaciones.

35 El Cálculo de variaciones: las matemáticas de los problemas de optimización Problema de Pierre Fermat ( ): “ Dado un triángulo de ángulos agudos localícese un punto P tal que la suma de distancias a los vértices sea lo más pequeña posible”. Problemas de Jacob Steiner ( ): “De todas las curvas de perímetro dado el círculo es la de área máxima”. “Encontrar la red de líneas que conecte varios puntos y cuya longitud total sea la mínima posible”. Problema de Joseph A. Plateau ( ): “Determinar la superficie de área mínima limitada, en el espacio, por un contorno cerrado”. Estas técnicas e ideas darían lugar a lo que actualmente se conocen como Mecánica Lagrangiana y Teoría de Campos en Física.