ESTADÍSTICA: VARIABLES

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1 ESTADÍSTICA: VARIABLES
DÍA * 1º BAD CT ESTADÍSTICA: VARIABLES

2 ESTADÍSTICA La palabra estadística viene de Estado, ya que surgió por la necesidad de éstos de hacer un censo de personas a las que administraban. La estadística descriptiva se ocupa de recoger, describir, y analizar los datos de un colectivo o población, con el fin de descubrir las regularidades o características existentes en sus elementos. Por población o colectivo se entiende todo conjunto de personas, animales u objetos sobre el que se va a llevar a cabo una investigación. Se denomina elemento de una población a cada una de las unidades, individuos o entes que la componen. Tamaño de una población es el número de elementos que la integran. De cada elemento de una población interesará estudiar, en función del objetivo perseguido, una o más características. Estas características se denominan caracteres.

3 VARIABLES Las modalidades son las diferentes situaciones posibles de un carácter. Los caracteres de una población pueden ser de dos tipos: cualitativos o atributos y cuantitativos o variables. Dentro de las variables estadísticas hay dos grupos: variables discretas y variables continuas. Variable discreta es aquella que toma un número finito de valores dentro de un intervalo finito. (Ejemplo; Edad de una persona.) Variable continua es aquella que puede tomar infinitos valores en un intervalo finito en el que esté definida. (Ejemplo: Estatura de una persona.)

4 EJEMPLOS DE CARACTERES ESTADISTICOS
Carácter cualitativo ( de cualidad ) o atributo: 1.- Color de cabello de una persona. Modalidades: Rubio, moreno, pelirrojo, castaño, etc. 2.- Raza o etnia de una persona. Modalidades: Europeo, africano, chino, hindú, etc. Carácter cuantitativo ( de cantidad ) o variable: 1.- Variable DISCRETA: Edad de una persona. Modalidades: 12, 13, 14, 15, 16, 17, etc. 2.- Variable CONTÍNUA: Peso de una persona. Modalidades: (30, 40] , (40, 50] , (50, 60] , (60, 70] , etc. En las variables continuas se utilizan intervalos para agrupar los datos. Dichos intervalos se llaman clases.

5 Tablas de Frecuencias Son Tablas que presentan múltiples columnas:
vi = Columna de modalidades del carácter cualitativo o atributo. xi = Columna de modalidades de la variable discreta. ( , ) = Columna de las clases si la variable es continua. COLUMNA 2 m.c. = Marca de clase. Es el valor medio del intervalo de valores que toma xi, cuando xi es una variable continua. Si el intervalo es (3 , 7), entonces m.c.=5 A efectos prácticos m.c. es igual que xi. COLUMNA 3 ni = Frecuencia o cantidad de veces que se repite cada modalidad.

6 Tablas de Frecuencias COLUMNA 4
fi = Frecuencia relativa de dicha modalidad, o sea la cantidad de veces que se repite en relación al total. COLUMNA 5 fi % = Igual que fi, pero expresarse en porcentaje en lugar del número decimal que resulta fi. COLUMNA 6 Ni = Frecuencia acumulada , que es la acumulación o suma de todas las modalidades anteriores. COLUMNA 7 Fi = Es la frecuencia relativa acumulada, la frecuencia relativa a la suma de todas las modalidades anteriores.

7 Tablas de Frecuencias COLUMNA 8
xi.ni = Columna del producto o peso real de la modalidad. COLUMNA 9 |xi – x| = Columna de las desviaciones. COLUMNA 10 ni.xi2 = Columna del producto de la varianza. Y además, en las siguientes columnas es muy necesario hallar el sumatorio, la suma de todos los valores que existen en dicha columna: ni , xi.ni , ni.xi2 Para el sumatorio, ∑, se reserva la última fila de la tabla de frecuencias.

8 Ejemplo_1 Color de ojos de los 50 alumnos de ESPAD III y ESPAD IV VARIABLE CUALITATIVA O ATRIBUTO vi ni fi fi % Ni Fi Claros 7 7 / 50 = 0,14 14 Verdes 3 3 / 50 = 0,06 6 7+3=10 14+6=20 Azules 5 5 / 50 = 0,10 10 10+5=15 20+10=30 Marrones 25 25 / 50 = 0,50 50 15+25=40 30+50=80 Negros 10 / 50 = 0,20 20 40+10=50 80+20=100 1 100

9 Ejemplo_2 Procedencia de alumnos en un IES de Bachillerato Internacional VARIABLE CUALITATIVA O ATRIBUTO vi ni fi fi % Ni Fi Francia 50 50 / 200 = 0,25 25 Alemania 35 35 / 200 = 0,175 17,5 85 42,5 España 65 65 / 200 = 0,325 32,5 150 75 Italia 30 30 / 200 = 0,15 15 180 90 Portugual 20 20 / 200 = 0,10 10 200 100 1

10 Calificaciones de 100 alumnos de una clase en Matemáticas
Ejemplo_3 Calificaciones de 100 alumnos de una clase en Matemáticas VARIABLE DISCRETA xi ni fi fi(%) Ni Fi(%) xi.ni ni xi 2 3 0,03 3% 1 5 0,05 5% 8 2 0,08 8% 16 32 11 0,11 11% 27 33 99 4 15 0,15 15% 42 60 240 18 0,18 18% 90 450 6 13 0,13 13% 73 78 468 7 10 0,10 10% 83 70 490 91 64 572 9 0,06 6% 97 54 486 100 30 300 100% 500 3142

11 Ejemplo_4 Cantidad, en ml, de soluto en un litro de agua. VARIABLE DISCRETA xi ni fi fi(%) Ni Fi(%) ni.xi ni.xi2 0,10 2 0,08 8 0,20 0,02 0,30 6 0,24 24 32 1,80 0,54 0,50 9 0,36 36 17 68 4,50 2,25 0,70 5 20 22 88 3,50 2,45 0,90 3 0,12 12 25 100 2,70 2,43 1 12,70 7,69 Importante: La variable xi toma sólo 5 valores posibles. Luego, aunque haya decimales, es discreta.

12 Ejemplo_5 Calificaciones de un trabajo a 40 alumnos. Variable discreta. xi ni fi fi(%) Ni Fi(%) ni.xi ni xi 2 3 5 0,125 12,5 12,50 15 45 20 0,500 50 25 62,50 100 500 7 0,375 37,5 40 105 735 1 220 1280 Nota: En este ejemplo el profesor, al corregir un trabajo, sólo pone a cada alumno un 3, un 5 o un 7.

13 Muestras Nº de hijos de una muestra de 80 familias
1 2 3 4 5

14 Sólo hay 6 posibles resultados. Es pues VARIABLE DISCRETA
Ejemplo_6 Sólo hay 6 posibles resultados. Es pues VARIABLE DISCRETA xi ni fi fi(%) Ni Fi(%) xi.ni ni xi 2 17 0,2125 21,25 1 8 0,10 10 25 31,25 2 27 0,3375 33,75 52 65 54 108 3 69 86,25 51 153 4 9 0,1125 11,25 78 97,50 36 144 5 0,025 2,5 60 100 50 80 159 463

15 TABLAS CON VARIABLES CONTINUAS
Cuando la variable es continua, en lugar de xi se pondrá el intervalo que abarca en la primera columna, y de forma ordenada. En la siguiente columna se pone la marca de clase (m.c.) correspondiente a cada intervalo, o sea el valor medio de los valores que limitan el intervalo. Ejemplos (2 , 7)  m.c. = (2+7)/2 = 9/2 = 4,50 (0’14 , 0’ 56)  m.c. = (0,14+0,56)/2 = 0,70/2 = 0,35 Para elaborar el resto de la tabla, nos olvidamos de la primera columna (las clases o intervalos) y trabajamos como si la marca de clase (m.c.) fuera el valor de xi. Es decir, si hay 25 alumnos cuyo peso está entre 60 kg y 62 kg, al ser m.c.= 61 kg, trabajamos como si TODOS los 25 alumnos pesaran 61 kg.

16 Cantidad, en gr, de cacao en un litro de leche. VARIABLE CONTINUA
Ejemplo_1 Cantidad, en gr, de cacao en un litro de leche. VARIABLE CONTINUA Clases m.c. ni fi fi(%) Ni Fi(%) ni.xi ni.xi2 [0,00-0,02) 0,010 20 0,08 8 0,20 0,002 [0,02-0,04) 0,030 60 0,24 24 80 32 1,80 0,054 [0,04-0,06) 0,050 90 0,36 36 170 68 4,50 0,225 [0,06-0,08) 0,070 50 220 88 3,50 0,245 [0,08-0,10) 0,090 30 0,12 12 250 100 2,70 0,243 1 12,70 0,769 Importante: La variable xi puede tomar hasta 250 valores diferentes. Luego, al ser demasiados, procede a considerarla variable continua y hacer intervalos o clases. Aunque no es obligado, suelen ser del mismo ancho.

17 Calificaciones de un trabajo a 40 alumnos. Variable discreta. Clases
Ejemplo_2 Calificaciones de un trabajo a 40 alumnos. Variable discreta. Clases m.c. ni fi fi(%) Ni Fi(%) ni.xi ni xi 2 [2 , 4) 3 5 0,125 12,5 12,50 15 45 [4 , 6) 20 0,500 50 25 62,50 100 500 [6 , 8] 7 0,375 37,5 40 105 735 1 220 1280 Nota: En este ejemplo la nota del alumno puede ser cualquier valor entre el 2 y el 8. Para evitar que nos salgan 40 resultados distintos, se agrupan en clases. Si un alumno saca un 4,00 se le contaría en el intervalo [4 , 6) y no en el [2 , 4).

18 Ejemplo_3 Calificaciones de 200 alumnos de una clase en Matemáticas VARIABLE CONTINUA ( notas con decimales) Clases m.c. ni fi fi(%) Ni Fi(%) ni.xi ni.xi2 [0 , 2] 1 15 0,075 7,50 (2 , 4] 3 50 0,250 25 65 32,50 150 450 (4 , 6] 5 75 0,375 37,50 140 70 375 1875 (6 , 8] 7 40 0,20 20 180 90 280 1960 (8 , 10] 9 0,10 10 200 100 1620 1000 5920

19 Muestras 1 2,01 1,00 8,01 3,91 3,01 1,01 2,05 7,05 8,09 8,05 3,15 8,75 8,15 2,55 1,15 2,07 7,07 8,77 3,07 1,07 8,07 5,07 3,74 4,00 8,37 8,34 3,34 5,54 1,34 2,25 7,75 1,55 5,55 6,65 2,38 7,18 2,18 5,18 5,88 1,18 2,11 3,31 2,31 1,11 3,11 6,11 3,14 7,14 2,14 6,34 1,14 2,21 7,71 6,61

20 Nos dan, en una tabla, el peso en gramos de 80 insectos, para su
Ejemplo_4 Nos dan, en una tabla, el peso en gramos de 80 insectos, para su Tabulación y posterior estudio estadístico. Localizamos la medida menor y la mayor. Determinamos la cantidad de intervalos o clases. Fijamos los límites de cada clase, todas de igual ancho generalmente. Y contamos los datos (pesos) correspondientes a cada clase. clases m.c. ni fi fi(%) Ni Fi(%) ni.xi ni xi 2 [1 , 3] 2 33 0,4125 41,25 66 132 (3 , 5] 4 12 0,15 15 45 56,25 48 192 (5 , 7] 6 0,1875 18,75 60 75 90 540 (7 , 9] 8 20 0,25 25 80 100 160 1280 1 364 2144

21 Muestras 2 261 140 201 100 102 110 265 405 245 305 205 317 315 345 312 335 375 267 207 227 204 237 277 374 400 474 372 404 334 480 225 445 425 500 418 248 238 218 211 331 221 311 431 314 214 316 264 444

22 Nos dan, en una tabla, la precipitación (litros de lluvia por metro
Ejemplo_5 Nos dan, en una tabla, la precipitación (litros de lluvia por metro cuadrado) en 80 lugares diferentes de un pais para su Tabulación y posterior estudio estadístico. Localizamos la medida menor y la mayor. Determinamos la cantidad de intervalos o clases. Fijamos los límites de cada clase, todas de igual ancho generalmente. Y contamos los datos (litros) de cada clase. clases m.c. ni fi fi(%) Ni Fi(%) ni.xi ni xi 2 [100 , 200) 150 4 0,05 5 600 90000 [200 , 300) 250 41 0,5125 51,25 45 56,25 10250 [300 , 400) 350 20 0,25 25 65 81,25 7000 [400 , 500] 450 15 0,1875 18,75 80 100 6750 1 24600