Física Movimiento en 2 dimensiones

Presentación del tema: "Física Movimiento en 2 dimensiones"— Transcripción de la presentación:

1 Física Movimiento en 2 dimensiones
Dictado por: Profesor Aldo Valcarce 2do semestre 2014 FIS109A – 2: Física do semestre 2014 FIS190C-2: Física para Ciencias.

2 Ejemplo 1 Una piedra se deja caer de un acantilado de 100 metros de altura. Si la velocidad inicial de la piedra es nula: Determinar el tiempo que demora la piedra en llegar al suelo. Determinar la velocidad final de la piedra. Determinar cuanta distancia recorre la piedra durante el último segundo. FIS109A – 2: Física do semestre 2014

3 Ejemplo 2 Una persona lanza una piedra hacia arriba desde el techo de un edificio con una velocidad inicial de 20 m/s. Si el edificio tiene 50 m de altura y la piedra no es agarrada por la persona cayendo hacia el suelo calcule los siguientes datos de la piedra: Tiempo necesario para alcanzar la altura máxima. Altura máxima. Tiempo necesario para que la piedra regrese a la altura desde donde fue arrojada. La velocidad de la piedra en el instante de c). Velocidad y posición de la piedra luego de 5 s. Tiempo necesario para que la piedra llegue al suelo. FIS109A – 2: Física do semestre 2014

4 Ejercicio Propuesto Una persona se encuentra en el piso 8 de un edificio a 24 metros del suelo y ve pasar por afuera de su ventana un objeto hacia arriba a una velocidad de 50 metros por segundo. Determine la altura máxima a la que llega el objeto. Determine el tiempo en que el objeto llega a su altura máxima. Determine el tiempo en que el objeto llega de vuelta al suelo. FIS109A – 2: Física do semestre 2014

5 Movimiento en 2 Dimensiones
FIS109A – 2: Física do semestre 2014

6 Definición de posición y velocidad en 2D
La posición de un objeto en 2-D. y Posición 𝑟 𝑖 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑖 ∆ 𝑟 𝑟 𝑓 = 𝑥 𝑓 + 𝑦 𝑓 𝑟 𝑖 𝑟 𝑓 x ∆ 𝑥 = 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 El vector desplazamiento es ∆ 𝑟 = 𝑟 𝑓 − 𝑟 𝑖 = ∆ 𝑥 +∆ 𝑦 ∆ 𝑦 = 𝑦 𝑓 − 𝑦 𝑖 𝑣 = ∆ 𝑟 ∆𝑡 𝑣 𝑥 = ∆ 𝑥 ∆𝑡 𝑣 𝑦 = ∆ 𝑦 ∆𝑡 El vector velocidad es FIS109A – 2: Física do semestre 2014

7 Movimiento en 2-D: Ejemplo
Un explorador camina 10 km al norte y después 5 km en una dirección de 30° al sur del este. ¿Cuál es su desplazamiento total? N Si ese desplazamiento fue realizado en 4 horas ¿Cuál fue la velocidad promedio? 30° 𝑟 2 𝑟 1 ∆ 𝑟 FIS109A – 2: Física do semestre 2014

8 𝑣= 𝑣 Definición de velocidad instantánea en 2D 𝑣 = lim ∆𝑡→0 ∆ 𝑟 ∆𝑡
En la figura la velocidad instantánea sería representada por la diferencia entre un vector muy cercano al vector P y el vector P, dividido por el tiempo requerido para hacer ese desplazamiento. Se define la rapidez (𝒗) como la magnitud del vector de velocidad instantánea. 𝑣= ( 𝑣 𝑥,𝑓 − 𝑣 𝑥,𝑖 ) 2 +( 𝑣 𝑦,𝑓 − 𝑣 𝑦,𝑖 ) 2 𝑣= 𝑣 FIS109A – 2: Física do semestre 2014

9 Definición de aceleración en 2D
𝑎 = ∆ 𝑣 ∆𝑡 = 𝑣 𝑓 − 𝑣 𝑖 𝑡 𝑓 − 𝑡 𝑖 𝑎 = lim ∆𝑡→0 ∆ 𝑣 ∆𝑡 Pueden ocurrir varios cambios cuando un cuerpo se acelera: La magnitud del vector velocidad (la rapidez 𝑣) puede cambiar con 𝑡. La dirección del vector velocidad puede cambiar con 𝑡, pero su magnitud (𝑣) permanece constante. La magnitud como la dirección pueden cambiar simultáneamente. FIS109A – 2: Física do semestre 2014

10 Velocidad en 2D con aceleración constante
La velocidad final 𝒗 𝒇 de un cuerpo con velocidad inicial 𝒗 𝒊 y una aceleración constante 𝒂 será: 𝒗 𝒇 = 𝒗 𝒊 + 𝒂 ×𝒕 𝒗 𝒇 = 𝒗 𝒙,𝒊 𝒊 + 𝒗 𝒚,𝒊 𝒋 + 𝒂 𝒙 𝒊 + 𝒂 𝒚 𝒋 ×𝒕 𝒗 𝒇 = 𝒗 𝒙,𝒊 + 𝒂 𝒙 ×𝒕 𝒊 + 𝒗 𝒚,𝒊 + 𝒂 𝒚 ×𝒕 𝒋 Eje x 𝑣 𝑦,𝑓 = 𝑣 𝑦,𝑖 + 𝑎 𝑦 ×𝑡 Eje y 𝑣 𝑥,𝑓 = 𝑣 𝑥,𝑖 + 𝑎 𝑥 ×𝑡 FIS109A – 2: Física do semestre 2014

11 Posición en 2D con aceleración constante
La velocidad final 𝑣 𝑓 de un cuerpo con posición inicial 𝑟 𝑖 , velocidad inicial 𝑣 𝑖 y una aceleración constante 𝑎 será: 𝑟 𝑓 = 𝑟 𝑖 + 𝑣 𝑖 ×𝑡 𝑎 × 𝑡 2 𝑟 𝑓 = 𝑥 𝑖 𝑖 + 𝑦 𝑖 𝑗 + 𝑣 𝑥,𝑖 𝑖 + 𝑣 𝑦,𝑖 𝑗 ×𝑡 𝑎 𝑥 𝑖 + 𝑎 𝑦 𝑗 × 𝑡 2 𝑟 𝑓 = 𝑥 𝑖 + 𝑣 𝑥,𝑖 ×𝑡 𝑎 𝑥 × 𝑡 2 𝑖 + 𝑦 𝑖 + 𝑣 𝑦,𝑖 ×𝑡 𝑎 𝑦 × 𝑡 2 𝑗 Eje x Eje y 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 𝑣 𝑥,𝑖 ×𝑡 𝑎 𝑥 × 𝑡 2 𝑦 𝑓 − 𝑦 𝑖 = 𝑣 𝑦,𝑖 ×𝑡 𝑎 𝑦 × 𝑡 2 FIS109A – 2: Física do semestre 2014

12 Ecuaciones de Movimiento en 2D
Eje x Eje y 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 𝑣 𝑥,𝑖 + 𝑣 𝑥,𝑓 ×𝑡 𝑦 𝑓 − 𝑦 𝑖 = 𝑣 𝑦,𝑖 + 𝑣 𝑦,𝑓 ×𝑡 𝑣 𝑥,𝑓 = 𝑣 𝑥,𝑖 + 𝑎 𝑥 ×𝑡 𝑣 𝑦,𝑓 = 𝑣 𝑦,𝑖 + 𝑎 𝑦 ×𝑡 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 𝑣 𝑥,𝑖 ×𝑡 𝑎 𝑥 × 𝑡 2 𝑦 𝑓 − 𝑦 𝑖 = 𝑣 𝑦,𝑖 ×𝑡 𝑎 𝑦 × 𝑡 2 𝑣 𝑥,𝑓 2 = 𝑣 𝑥,𝑖 𝑎 𝑥 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 𝑣 𝑦,𝑓 2 = 𝑣 𝑦,𝑖 𝑎 𝑦 𝑦 𝑓 − 𝑦 𝑖 FIS109A – 2: Física do semestre 2014 FIS190C-2: Física para Ciencias.

13 Ejemplo: Mov. 2D con 𝒂 constante
Una partícula parte del origen en 𝑡=0 con una velocidad inicial que tiene una componente 𝒙 de 20 m/s y una componente 𝒚 de -15 m/s. La partícula se mueve en el plano 𝑥𝑦 solo con una componente de aceleración 𝒙, dada por 𝒂 𝒙 =4,0 m/s2. Determine las componentes del vector velocidad en cualquier tiempo y el vector velocidad total en cualquier tiempo 𝑡. Calcule la velocidad y la rapidez de la partícula en 𝑡=5 s. FIS109A – 2: Física do semestre 2014

14 Proyectiles Movimiento 2-D Aceleración vertical 𝑎 𝑦 =−𝑔
Aceleración horizontal 𝑎 𝑥 =0 FIS109A – 2: Física do semestre 2014

15 Componentes de 𝑣 en proyectiles
𝒂 =−𝒈 𝒋 En este caso, con el sistema de coordenadas que se muestra FIS109A – 2: Física do semestre 2014

16 Independencia de las componentes
Fotografía de múltiple exposición que muestra la posición de dos esferas a intervalos iguales de tiempo. Una se dejó caer desde una posición de reposo y la otra se lanzó horizontalmente. Se ve que la altura (y por lo tanto el desplazamiento vertical) de las esferas es la misma. El movimiento en la dirección vertical no se entera de lo que pasa en la dirección horizontal. Los movimientos vertical y horizontal son independientes. FIS109A – 2: Física do semestre 2014

17 Componente horizontal no cambia
𝒗 𝒙 y 𝒗 𝒚 son independientes: 𝒗 𝒙 es constante (𝑎 𝑥 =0). 𝑣 𝑦,𝑓 = 𝑣 𝑦,𝑖 −𝑔 ∆𝑡 𝒗 = 𝒗 𝒙 𝒊 + 𝒗 𝒚 𝒋 Entonces, la magnitud de 𝑣 aumenta y su dirección cambia. FIS109A – 2: Física do semestre 2014

18 Proyectiles: Ejemplo 1 ∆x 1,5 m
2,0 m/s ∆x 1,5 m Una pelota rueda sobre una mesa con velocidad 2,0 m/s. Cae del borde da la mesa. ¿A qué distancia, ∆𝑥, de la mesa llega la pelota al suelo? FIS109A – 2: Física do semestre 2014

19 Proyectiles: Ejemplo 2 y x
Se lanza una pelota al aire y 5,0 s después llega al suelo a una distancia horizontal de 30 m. ¿Con qué ángulo fue lanzada? y x ∆x=30 m a FIS109A – 2: Física do semestre 2014

20 Proyectiles: Ejemplo 3 100 m/s
37° 140 m Se dispara un proyectil desde la orilla de un acantilado de 140 m de altura con una velocidad de 100 m/s a un ángulo de 37° con la horizontal. a) Calcule el alcance ∆x, del proyectil. b) Calcule el tiempo que tarda el proyectil en llegar al nivel del acantilado c) Calcule la rapidez y la dirección de la velocidad final. FIS109A – 2: Física do semestre 2014

21 Proyectiles: Ejercicio 4
¿Qué ángulo de lanzamiento maximiza el alcance de un proyectil? (se supone ∆y =0) FIS109A – 2: Física do semestre 2014

22 Resumen Se definieron los vectores posición 𝑟 , desplazamiento ∆ 𝑟 , velocidad 𝑣 y aceleración 𝑎 en 2 dimensiones. El movimiento en 2 dimensiones se puede descomponer como si fuese un vector. La posición está definida como: 𝑟 𝑓 = 𝑥 𝑖 + 𝑣 𝑥,𝑖 ×𝑡 𝑎 𝑥 × 𝑡 2 𝑖 + 𝑦 𝑖 + 𝑣 𝑦,𝑖 ×𝑡 𝑎 𝑦 × 𝑡 2 𝑗 En el movimiento de proyectiles: 𝒗 𝒙 es constante (𝑎 𝑥 =0) 𝑣 𝑦,𝑓 = 𝑣 𝑦,𝑖 −𝑔 ∆𝑡 FIS109A – 2: Física do semestre 2014