Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de la incertidumbre Indice 1) Sucesos aleatorios. Espacio muestral. 2) Operaciones con sucesos. 3) Enfoques.

Presentación del tema: "Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de la incertidumbre Indice 1) Sucesos aleatorios. Espacio muestral. 2) Operaciones con sucesos. 3) Enfoques."— Transcripción de la presentación:

1 Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de la incertidumbre Indice 1) Sucesos aleatorios. Espacio muestral. 2) Operaciones con sucesos. 3) Enfoques de la Probabilidad. 4) Axiomas de Kolmogorov. 5) Axiomas de la Probabilidad subjetiva. 6) Resultados básicos con probabilidades. 7) Variables aleatorias. 8) Educción de probabilidades.

2 El concepto de variable aleatoria permite pasar de los resultados experimentales (E) a una función numérica (real) de los resultados Dado el espacio probabílistico (E, A, P), la aplicación  : E  ,    (  ) es un variable aleatoria si  x  , {   E:  (  )  x} es un suceso,  -1 ((- ,x])  A,  -Álgebra La probabilidad definida sobre sucesos se transforma en probabilidad de que la variable aleatoria  tome valores en (- ,x], P(   x) Se trata de un cambio de lenguaje: antes el algebra de Boole y ahora la Teoría de Funciones del Análisis (herramientas matemáticas: funciones de variable real, cálculo diferencial e integral,.....) Modelización de la incertidumbre Variables aleatorias

3 Modelización: Abstracción Modelo de distribución de probabilidad: especifiación de los posibles valores de la variable aleatoria con sus probabilidades Notación: X, Y,... variables aleatorias. X(  )=x, Y(  )=y,.... número asociado al resultado   E, cuantificación Lenguaje de sucesos  de probabilidad  de funciones reales SucesosVariable aleatoria - Venta de un productonúmero de productos vendidos - Llegada de un clientenúmero de clientes atendidos - Tamaño de un e-mailnúmero de kbytes enviados por e-mail - Fallo de un dispositivonúmero de horas hasta el fallo de un dispositivo - Curación de un pacientenúmero de años de supervivencia post-tratamiento - Incendio forestalnúmero de hectáreas quemadas (+localización) Modelización de la incertidumbre Variables aleatorias

4 Diferencias entre Estadística Descriptiva y Cálculo de Probabilidades: - La variable estadística es descriptiva, analiza hechos. - La variable aleatoria es probabilista, analiza causas potenciales, sobre el futuro, no hechos, el proceso generador de los hechos, datos Tipos de variables aleatorias: asociación entre resultado y un número real - Discreta: toma un conjunto de valores finito o infinito numerable Cardinal(E)  N - Continua: toma valores en un intervalo, Cardinal(  )  potencia del continuo Modelización de la incertidumbre Variables aleatorias

5 La variable aleatoria no se presta al Análisis Real pues son funciones reales de sucesos (conjuntos) y no de variable real, sobre  Se introduce la función de distribución de la variable aleatoria  : F:   [0,1], F(x) = P(  (  )  x) Propiedades: 1. 0  F(x)  1,  x   2. lim x  -  F(x) = 0, lim x  +  F(x) = 1 3. x 1 < x 2  F(x 1 )  F(x 2 ), monotonía no decreciente 4. lim x  a+ F(x) = F(a),  a  , continuidad por la derecha 5. P(a    b) = F(b) – F(a), probabilidad de un intervalo Modelización de la incertidumbre Variables aleatorias. Función de distribución

6 La variable aleatoria  se dice discreta si toma valores en un conjunto numerable {x 1,x 2,…x n,…}, finito o infinito. Si p i = P(   x i )  0, i=1,2,…n,… 1.  i p i = 1 2. P(   x n ) =  n i p i Se define la función de probabilidad de la variable aleatoria  : P(  =x) = P({   E:  (  )=x}) Asignación de probabilidad a los sucesos elementales sobre los que la variable aleatoria toma el valor x. Masa de probabilidad puntual Se obtiene la función de distribución de la variable aleatoria  : F(x) = P(   x j ) = P({   E:  (  )  x j }) =  xj  x P(  =x j ) =  xj  x P j La F(x) de una variable aleatoria discreta es escalonada Modelización de la incertidumbre Variables aleatorias discretas

7 Modelización de la incertidumbre Variables aleatorias continuas Una variable aleatoria es continua si toma valores en un intervalo (x a,x b )   Se dice absolutamente continua si P(x    x+dx) = f(x)dx, donde f es su función de densidad (generaliza el histograma con infinitas clases) Propiedades: 1. f(x)  0,  x 2.  +  -  f(x)dx = 1 3. F(x) = P(-     x) =  x -  f(t)dt 4. f(x) = dF(x)/dx  el modelo de probabilidad se define con f o F. Los puntos o valores discretos de la variable aleatoria continua no tienen masa de probabilidad. La probabilidad de un valor x=a es la del intervalo [a-1/2,a+1/2] La probabilidad de un intervalo [a,b] es P(a    b) =  b a f(t)dt Variable aleatoria mixta: F(x) =  F 1 (x)+(1 -  )F 2 (x), 0    1, F 1 vad, F 2 vac F(x) x f(x)

8 Modelización de la incertidumbre Variables aleatorias. Características Esperanza E[X], medida de centralización, promedio de los valores de la variable con su probabilidad (va discreta) o densidad de probabilidad (va continua). Es un operador lineal E[aX+b]=aE[X]+b, E[h(X)] =  +  -  h(t)f(t)dt Varianza Var(X), medida de dispersión asociada a la Esperanza Var(X) =  2 = E[(X-E[X]) 2 ], promedio con su probabilidad (va discreta) o densidad de probabilidad (va continua). Var(X) = E[X 2 -E[X] 2 ]. Var((aX+b) = a 2 Vax(X) Cuantiles de orden p  [0,1], valores de la variable aleatoria que son la raiz de la ecuación F(x p ) = p, p  {1/4,1/2,3/4} x p cuartiles, p  {1/10,1/5,…9/10} xp deciles, p  {1/100,1/50,…99/100} xp percentiles Momentos de orden k: 0,1,3,4,5,… E[X k ],  k = E[(X-E[X]) k ], E[(X-x * )k]. CAs =  3 /  3, CAp = (  4 /  4 ) – 3, CV =  /  Mediana: cuartil x 1/2, Moda: Máximo de P j (va discreta) o de f(x) (va continua) Tipificación:  va X, Y=(X-E[X])/Var(X) presenta E[Y]=0 y Var(Y)=1.

9 Modelización de la incertidumbre Variables aleatorias Teorema de Markov Dada la variable aleatoria  y g(  )  0,  K > 0, P(g(  )  K)  E[g(  )]/K Desigualdad de Chebyschev Dadas E[  ] y  de cualquier variable aleatoria,  K > 0 P(|  - E[  ]| < K  )  1 – 1/K 2 P(|  - E[  ]|  K  ) < 1/K 2

10 Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades Estimación de probabilidades Estimación objetiva (frecuencia relativa) y subjetiva (expertos) Asignación de probabilidades: tarea compleja. Métodos rigurosos y sistemáticos Métodos directos e indirectos Probabilidades para variables discretas y continuas Morgan y Henrion (1990)

11 Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades. Métodos de asignación Datos. Momentos (Pearson) Los k parámetros  son funciones de los momentos m 1,…m k Los momentos muestrales definen k ecuaciones. Estimaciones insesgadas (E[  ’]=  ), efiecientes (min Var(  )), consistentes (E[  ’ n ]   )y robustas ((1-  )f(X)+  g(X)). ECM(  ’) = E[(  -  ’) 2 ] EMV (Fisher) Maxima verosimilitud, estimar los parámetros de la distribución que maximizan la probabilidad de la muestra observada. Se supone que los datos son variables aleatorios identicamente distribuidas e independientes. Estimaciones insesgadas (E[  ’]=  ) Otros métodos.

12 Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades. Métodos de asignación Discretas Asignación directa (simple y poco fiable) Asignación basada en apuestas (motivación económica, punto de indiferencia, favorable  desfavorable  favorable  …. Convergencia) Asignación basada en loterías (comparar sorteos con uno de referencia) Representación con árboles de sucesos Continuas Utilizar los métodos anteriores para asignar ciertas probabilidades acumuladas y ajustar una función de distribución Solicitar ciertos cuantiles (percentiles y cuartiles) y ajustar la F

13 Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades Otros métodos - mejoras Método de la probabilidad: sesgo de confianza y anclaje, construir la F en ciertos intervalos, contrastar y revisar los resultados Método de las alturas relativas: escalas termométricas. P j, f(x) Método de Raiffa-Schlaifer: moda, hipótesis de apuntamiento elevado y probabilidad baja de valores alejados de la moda Descomposición y asignación de probabilidades: puede ser en principio más sencillo asignar probabilidades condicionadas y tendencias. Árboles de probabilidad – escenarios condicionantes Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades. Métodos de asignación

14 Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades Fases de educción Adquisición de conocimiento (PROBABILISTICO) – Inteligencia Artificial. Marco: encuesta / entrevista + diseño y preparación y ejecución y análisis 1. Motivación: importancia y propósito 2. Estructuración: definición de las variables y distribuciones de interés. Escalas, tablas, parametros, características, funciones,… Dependencias. 3. Condicionamiento: identificar sesgos y las causas (experto, técnicas,…) Tarea compleja en tiempo. SRI: fases 1, 2, 3 y 4. Codificación: valores extremos (sesgos), redundancia (inconsistencias), revisión, sensibilidad del experto al nivel de información o evidencia 5. Verificación: refleja la asignación las creencias del experto? Cuestionario derivado del modelo de probabilidad asignado. Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades. Métodos de asignación

15 Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades Comparativa de métodos. - Depende del problema, del experto/decisor - Recomendado: utilizar variso métodos. Contraste de Consistencia de los resultados o juicios. Las inconsistencias pueden resolverse o no en el marco del modelo. Contraste de Coherencia entre sucesos complementarios. El espacio muestral tiene probabilidad 1. Calibración: ensayar el método/técnica en un problema sencillo no trivial antes de atacar la asignación en el problema real Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades. Métodos de asignación

16 Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades Sucesos muy raros Asignación de probabilidades pequeñas de sucesos sin precentes. Estimaciones subjetivas muy sensibles al sesgo (infra/sobrestimación) Difícil discriminar ordenes de magnitud en las probabilidad pequeñas. Procedimientos de asignación: descomposición e identificación de factores que determinan escenarios con probabilidades significativas del suceso raro Arboles de sucesos: árboles de probabilidad, etapa ~ factor. El Cálculo de Probabilidades suministra la probabilidad global a partir de las de los factores. Sucesos raros (sr)  hojas Arboles de fallos: descomposición causal del suceso raro. Causas  hojas. Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades. Métodos de asignación sr 1 ¬sr sr 2 ¬sr sr o y c1c1 c3c3 c2c2 c 32 c 31

17 Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades Heurísticas y sesgos 1.Disponibilidad de la heurística. Recuerdos fuertes, Imaginación, correlaciones falsas 2. Representividad de la heuristica. Ignorancia de las tasas frecuencia, secuencias de artefactos o patrones previos, ignorancia de la regresión a la media, conjunción de falacias 3. Ajuste de la heurística. Insuficiencia, sobreestimación de conjunción de eventos, infraestimación de disyunciones de eventos. 4. Otros sesgos en los juicios. Sobre estimar los sucesos deseables, propagar la covarianza entre sucesos Calidad de los juicios probabilísticos: expertos reales, problemas reales no de laboratorio, asignación comprensible, motivación, frecuencia ~ probabilidad Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades. Métodos de asignación

18 Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades. Discretización Características de variables aleatorias continuas Simulación, integración, discretización Discretización: perdida de información mínima Por niveles en cada nivel la media o mediana Uniforme, ajuste de error No Uniforme, para variables aleatorias multidimensionales Divergencia de Kullback y Leibler