© Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Resolución Eficaz de Sistemas de Ecuaciones.

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1 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Resolución Eficaz de Sistemas de Ecuaciones Esta clase trata sobre la resolución simbólica/numérica eficiente de sistemas de ecuaciones algebraicamente acopladas. Los sistemas de ecuaciones que describen fenómenos físicos son casi siempre dispersos (excepción: sistemas de ecuaciones muy pequeños, de dimensión 2  2 o 3  3). Este hecho puede explotarse. Serán presentadas dos técnicas de resolución simbólica: la rasgadura de sistemas de ecuaciones y la relajación de sistemas de ecuaciones. El objetivo de ambas técnicas es “eliminar los ceros de la matriz de incidencia.”

2 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Contenido Algoritmo de rasgaduraAlgoritmo de rasgadura Algoritmo de relajaciónAlgoritmo de relajación

3 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Rasgadura de Sistemas de Ecuaciones I El método de rasgadura ya fue mostrado anteriormente en varias ocasiones. Lo explicaremos aquí nuevamente de una manera más formal para compararlo con el enfoque alternativo del método de relajación. Como se mencionó antes, la determinación sistemática del mínimo número de variables de rasgadura es un problema de complejidad exponencial. Por esto, fueron desarrolladas distintas heurísticas capaces de determinar soluciones subóptimas apropiadas.

4 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Rasgadura de Ecuaciones: Ejemplo I 1: u = f(t) 2: u – u 1 – u 2 = 0 3: u 1 – L 1 · di 1 /dt = 0 4: u 2 – L 2 · di 2 /dt = 0 5: i – i 1 = 0 6: i 1 – i 2 = 0 Ecuación de restricción 1: u = f(t) 2: u – u 1 – u 2 = 0 3: u 1 – L 1 · di 1 /dt = 0 4: u 2 – L 2 · di 2 /dt = 0 5: i – i 1 = 0 6: i 1 – i 2 = 0 7: di 1 /dt - di 2 /dt = 0 1: u = f(t) 2: u – u 1 – u 2 = 0 3: u 1 – L 1 · di 1 = 0 4: u 2 – L 2 · di 2 /dt = 0 5: i – i 1 = 0 6: i 1 – i 2 = 0 7: di 1 - di 2 /dt = 0  Integrador a eliminar di 1 /dt

5 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Rasgadura de Ecuaciones: Ejemplo II 1: u = f(t) 2: u – u 1 – u 2 = 0 3: u 1 – L 1 · di 1 = 0 4: u 2 – L 2 · di 2 /dt = 0 5: i – i 1 = 0 6: i 1 – i 2 = 0 7: di 1 - di 2 /dt = 0  1: u = f(t) 2: u – u 1 – u 2 = 0 3: u 1 – L 1 · di 1 = 0 4: u 2 – L 2 · di 2 /dt = 0 5: i – i 1 = 0 6: i 1 – i 2 = 0 7: di 1 - di 2 /dt = 0 Sistema de ecuaciones algebraicamente acopladas con cuatro incógnitas 1: u – u 1 – u 2 = 0 2: u 1 – L 1 · di 1 = 0 3: u 2 – L 2 · di 2 /dt = 0 4: di 1 – di 2 /dt = 0 elección u1u1  1: u – u 1 – u 2 = 0 2: u 1 – L 1 · di 1 = 0 3: u 2 – L 2 · di 2 /dt = 0 4: di 1 – di 2 /dt = 0  1: u 1 = u – u 2 2: di 1 = u 1 / L 1 3: u 2 = L 2 · di 2 /dt 4: di 2 /dt = di 1

6 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Rasgadura de Ecuaciones: Ejemplo III  1: u 1 = u – u 2 2: di 1 = u 1 / L 1 3: u 2 = L 2 · di 2 /dt 4: di 2 /dt = di 1 u 1 = u – u 2 = u – L 2 · di 2 /dt = u – L 2 · di 1 = u – (L 2 / L 1 ) · u 1  [ 1 + (L 2 / L 1 ) ] · u 1 = u  u1 =u1 = L1L1 L 1 + L 2 · u· u  1: u = f(t) 3: u 1 – L 1 · di 1 = 0 4: u 2 – L 2 · di 2 /dt = 0 5: i – i 1 = 0 6: i 1 – i 2 = 0 7: di 1 - di 2 /dt = 0 2: u 1 = L1L1 L 1 + L 2 · u· u

7 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Rasgadura de Ecuaciones: Ejemplo IV 1: u = f(t) 3: u 1 – L 1 · di 1 = 0 4: u 2 – L 2 · di 2 /dt = 0 5: i – i 1 = 0 6: i 1 – i 2 = 0 7: di 1 - di 2 /dt = 0 2: u 1 = L1L1 L 1 + L 2 · u· u  1: u = f(t) 3: u 1 – L 1 · di 1 = 0 4: u 2 – L 2 · di 2 /dt = 0 5: i – i 1 = 0 6: i 1 – i 2 = 0 7: di 1 - di 2 /dt = 0 2: u 1 = L1L1 L 1 + L 2 · u· u   Pregunta: ¿Que tan complejas pueden resultar las expresiones simbólicas para la variable de rasgadura? 1: u = f(t) 3: di 1 = u 1 / L 1 4: di 2 /dt = di 1 5: u 2 = L 2 · di 2 /dt 6: i 1 = i 2 7: i = i 1 2: u 1 = L1L1 L 1 + L 2 · u· u

8 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Rasgadura de Sistemas de Ecuaciones II En el proceso de rasgar un sistema de ecuaciones, se van determinando las expresiones algebraicas para las variables de rasgadura. Esto corresponde a la aplicación simbólica de la Regla de Cramer. A·x = b  x = A -1 ·b A -1 = A†A† |A| (A † ) ij = (-1) (i+j) · |A  j,i | ;

9 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Rasgadura de Ecuaciones: Ejemplo V 11001100 0 - L 1 1 0 - L 2 10011001. u1u2u1u2 = u000u000 di 1 di 2 /dt  u1 =u1 = 11001100 0 - L 1 1 0 - L 2 10011001 0 - L 2 001001 - L 1 1 0 · u = L1L1 L 1 + L 2 · u· u

10 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Rasgadura de Sistemas de Ecuaciones III La Regla de Cramer tiene complejidad polinomial. Sin embargo, la carga computacional crece con la cuarta potencia del tamaño del sistema de ecuaciones. Por este motivo, la determinación simbólica de una expresión para las variables de rasgadura tiene sentido sólo para sistemas relativamente pequeños. En el caso de sistemas de ecuaciones más grandes, el método de rasgadura es aún atractivo, pero las variables de rasgadura deben determinarse numéricamente.

11 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Relajación de Sistemas de Ecuaciones I El método de relajación es una versión simbólica de la Eliminación de Gauss sin pivote. El método sólo puede aplicarse en sistemas de ecuaciones lineales. Todos los elementos de la diagonal principal de la matriz del sistema deben ser  0. El número de elementos no nulos por encima de la diagonal principal debe minimizarse. Desafortunadamente, el problema de minimizar el número de elementos no nulos por encima de la diagonal principal tiene nuevamente complejidad exponencial. Por este motivo, deben encontrarse heurísticas que permitan reducir el número de elementos por encima de la diagonal principal, aunque éstas no resulten óptimas.

12 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Relajación de Ecuaciones: Ejemplo I 1: u – u 1 – u 2 = 0 2: u 1 – L 1 · di 1 = 0 3: u 2 – L 2 · di 2 /dt = 0 4: di 1 – di 2 /dt = 0  u 1 + u 2 = u u 1 - L 1 · di 1 = 0 di 2 /dt - di 1 = 0 u 2 - L 2 · di 2 /dt = 0  11001100 0 - L 1 1 0 - L 2 10011001. u1u2u1u2 = u000u000 di 1 di 2 /dt Los elementos no nulos por encima de la diagonal corresponden conceptual- mente a las variables de rasgadura del método de rasgadura.

13 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Relajación de Ecuaciones: Ejemplo II Técnica de eliminación de Gauss: 11001100 0 - L 1 1 0 - L 2 10011001. u1u2u1u2 = u000u000 di 1 di 2 /dt  - L 1 1 0 - L 2 c101c101. di 1 di 2 /dt = c200c200 u2u2 c 1 = -1 c 2 = -u

14 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Relajación de Ecuaciones: Ejemplo III - L 1 1 0 - L 2 c101c101. di 1 di 2 /dt = c200c200 u2u2  - L 2 c31c31. di 2 /dt u 2 = c40c40 c 3 = c 1 / L 1 c 4 = c 2 / L 1 - L 2 c31c31. di 2 /dt u 2 = c40c40  c5c5. u2u2 = c6c6 c 5 = 1 - L 2 · c 3 c 6 = - L 2 · c 4

15 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Relajación de Ecuaciones: Ejemplo IV Técnica de eliminación de Gauss: c5c5. u2u2 = c6c6  u 2 = c 6 / c 5 - L 2 c31c31. di 2 /dt u 2 = c40c40  di 2 /dt = (c 4 – c 3 ·u 2 ) / (- 1) - L 1 1 0 - L 2 c101c101. di 1 di 2 /dt = c200c200 u2u2  di 1 = (c 2 – c 1 ·u 2 ) / (-L 1 )

16 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Relajación de Ecuaciones: Ejemplo V 11001100 0 - L 1 1 0 - L 2 10011001. u1u2u1u2 = u000u000 di 1 di 2 /dt  u 1 = u – u 2  Ahora, ya se han encontrado todas las ecuaciones necesarias. Sólo resta ensamblarlas.

17 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Relajación de Ecuaciones: Ejemplo VI 1: u – u 1 – u 2 = 0 2: u 1 – L 1 · di 1 = 0 3: u 2 – L 2 · di 2 /dt = 0 4: di 1 – di 2 /dt = 0  c 1 = -1 c 2 = -u c 3 = c 1 / L 1 c 4 = c 2 / L 1 c 5 = 1 - L 2 · c 3 c 6 = - L 2 · c 4 u 2 = c 6 / c 5 di 2 /dt = (c 4 – c 3 ·u 2 ) / (- 1) di 1 = (c 2 – c 1 ·u 2 ) / (-L 1 ) u 1 = u – u 2  u = f(t) c 1 = -1 c 2 = -u c 3 = c 1 / L 1 c 4 = c 2 / L 1 c 5 = 1 - L 2 · c 3 c 6 = - L 2 · c 4 u 2 = c 6 / c 5 di 2 /dt = (c 4 – c 3 ·u 2 ) / (- 1) di 1 = (c 2 – c 1 ·u 2 ) / (-L 1 ) u 1 = u – u 2 i 1 = i 2 i = i 1

18 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Relajación de Sistemas de Ecuaciones II El método de relajación puede aplicarse simbólicamente en sistemas de tamaño algo mayor que el método de rasgadura ya que la carga computacional crece más lentamente. En algunas clases de aplicaciones, el método de relajación genera soluciones muy elegantes. Sin embargo, el método de relajación puede aplicarse sólo en sistemas lineales. Por esto, usualmente se prefiere utilizar el algoritmo de rasgadura en combinación con la iteración de Newton numérica.

19 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Referencias Elmqvist H. and M. Otter (1994), “Methods for tearing systems of equations in object-oriented modeling,” Proc. European Simulation Multiconference, Barcelona, Spain, pp. 326-332.Methods for tearing systems of equations in object-oriented modeling Otter M., H. Elmqvist, and F.E. Cellier (1996), “Relaxing: A symbolic sparse matrix method exploiting the model structure in generating efficient simulation code,” Proc. Symp. Modelling, Analysis, and Simulation, CESA'96, IMACS MultiConference on Computational Engineering in Systems Applications, Lille, France, vol.1, pp.1-12.Relaxing: A symbolic sparse matrix method exploiting the model structure in generating efficient simulation code