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Tópico 1 2ª Presentación Ecuación clásica del calor Fabián A. Torres R. Profesor: Sr. Juan Morales
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Programa Ecuación de difusión del calor. Aplicaciones de la ecuación sin fuentes térmicas.
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Repaso La ecuación que describe la difusión del calor en un material es: Si k,c y son constantes entonces la ecuación queda como:
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Aplicaciones sin fuentes térmicas Región donde 0<x<L con temperatura en los extremos igual a cero y distribución inicial de temperatura f(x). Ecuación : Condiciones de contorno e inicial:
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En este caso, utilizando las series de Fourier, se puede expresar f(x) y T(x,t) como: El factor exponencial del tiempo nos asegura una convergencia uniforme para todo x siempre que t>0 Los coeficientes a n se determinan: Estas expresiones claramente satisfacen las condiciones iniciales y de contorno
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Dos casos especiales: 1.-f(x)=A (constante). En este caso, se tiene que: Luego la expresión para T es :
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2.-f(x)=kx (dependencia lineal) En este caso se tiene que: Y T(x,t) queda como: Gráfico de Convergencia de la serie de Fourier
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Región 0 < x < L con distribución inicial de temperatura f(x) y temperatura constante en los extremos o aislados térmicamente. Ecuación : Condiciones de contorno e inicial:
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En este caso suponemos la temperatura como la suma de dos funciones tal que :
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De esta manera, se obtiene: Ahora, los términos a n están dados por: Expresión para T :
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Región 0 < x < L con distribución inicial de temperatura f(x) y temperaturas 1 (t) y 2 (t) en los extremos. Ecuación : Condiciones de contorno e iniciales:
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Utilizando el mismo método anterior, definimos T como: donde
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De los casos anteriores se puede escribir u(x,t) como: Utilizando el teorema de Duhamel’s podemos escribir v como:
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De donde se obtiene que : Reemplazando luego estas expresiones en T se obtiene la solución. con Luego, la expresión para v es
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Utilicemos el resultado anterior para el caso en que T(x,0)=0 1 = 0 y 2 varía como sen(wt+ ). Luego la solución es:
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donde
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