MATEMÁTICA FINANCIERA

Presentación del tema: "MATEMÁTICA FINANCIERA"— Transcripción de la presentación:

1 MATEMÁTICA FINANCIERA
TEMA 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

2 Matemáticas Aplicadas CS I
AMORTIZACIÓN TEMA 2.7 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

3 Amortización de préstamos
Para la amortización de un préstamo mediante varios pagos aplazados se tiene en cuenta que: 1.- Cada pago salda los intereses que produce la deuda en ese periodo y amortiza parte de la misma. 2.- El último pago salda los intereses que produce la deuda en el último periodo y amortiza lo que falta de la misma. 3.- Lo habitual es que la cantidad a pagar en cada periodo sea la misma. De esa cantidad, al principio se emplea la mayoría para cubrir los intereses, descendiendo progresivamente dicho porcentaje a favor de amortizar la deuda. 4.- Para que sea viable un préstamo, el pago de cada periodo debe cubrir, al menos, el importe de los intereses. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

4 Matemáticas Aplicadas CS I
1.- Tabla de AMORTIZACIÓN Pedimos un préstamo personal de € que nos dejan a un interés fijo del 10% anual. Si podemos devolver € anuales, ¿cuántos años pasarán hasta amortizar toda la deuda contraída?. Año Deuda Intereses Pago Amortizada Pendiente , , ,5 ,5 267, , ,45 ,45 194, , ,20 ,20 114, , ,40 , , @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

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2.- Tabla de AMORTIZACIÓN Pedimos un préstamo personal de € que nos dejan al 25% anual. Si podemos pagar ( amortizar ) € anuales, ¿cuántos años pasarán hasta amortizar toda la deuda contraída?. Año Deuda Intereses Pago Amortizada Pendiente , , ,5 ,5 609, , ,9 ,9 511, , ,62 ,62 389, , ,27 ,27 237, , ,34 ,34 46, , , Nótese que la cantidad pagada es más del doble que el préstamo inicial. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

6 Anualidades de amortización
Si pedimos un crédito a una entidad financiera, para montar un negocio, comprar un piso, un coche o cualquier otro bien, deberemos devolver lo pedido más los intereses. Para ello suponemos que podemos devolver todos los años un cierto capital , A, llamado anualidad, para pagar la deuda , D, contraída. Al comienzo debemos D Al año debemos D +D.r - A = D.(1+r) - A A los dos años debemos [D.(1+r) - A] + [D.(1+r) - A].r - A = … = D.(1+r)2 - A(1+r) – A A los tres años debemos [D.(1+ r)2 - A(1+r) – A] + [D.(1+r)2 - A(1+r) – A].r - A = = D.(1+r)3 - A(1+r)2 - A(1+r) - A Al cabo de “t” años habremos devuelto todo el capital prestado más los intereses producidos. Es decir, ya no deberemos nada; luego: t t t -2 D.(1+r) - A(1+r) A(1+r) A = 0 t t t-2 D.(1+r) = A(1+r) A(1+r) A(1+r) + A @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

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t t t-2 D.(1+i) = A(1+i) A(1+i) A(1+i) + A En la ecuación anterior la parte de derecha es la suma de los términos de una progresión geométrica de razón (1+r) y cuyo primer término vale A Aplicando la suma de los términos de una progresión geométrica queda: t t t A.(1+r) - A A [ (1+r) ] D.(1+r) = = (1+r) r A [ (1+r)t ] D.(1+r)t = r Que es la fórmula a emplear en las anualidades de amortización, como por ejemplo al pedir un crédito hipotecario, donde todos los años aportamos una cantidad fija (aunque normalmente esté dividida en letras o pagarés mensuales), A. El valor de r dependerá del periodo entre pagarés, años, trimestres o meses. Evidentemente cuando el rédito es variable hay que recalcular todo cada año. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

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EJEMPLO_1_ DE ANUALIDAD Pedimos un préstamo hipotecario de €, que nos ponen a un 6% fijo anual. Hallar la anualidad a pagar para poder amortizar el préstamo en 20 años. t t A [ (1+i) ] D.(1+i) = , donde D=200000, t = 20 y i = 6/100 i 20 A [ (1+ 0,06) ] (1+ 0,06) = 0,06 ,2071 = A [3,2071 – 1 ] / 0,06 = A.36,  A = / 36,5856 = ,91 € En total hemos pagado, por el préstamo de €: 17436,91x20 = € Nota: Habríamos pagado menos empleando mensualidades. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

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EJEMPLO_2_ DE ANUALIDAD CON PAGO MENSUAL Pedimos un préstamo hipotecario de €, que nos ponen a un 6% fijo anual. Hallar la mensualidad a pagar para poder amortizar el préstamo en 20 años (240 meses). t t A [ (1+i) ] D.(1+i) = , donde D=200000, t = 240 y i = 6/1200 i 240 A [ (1+ 0,005) ] (1+ 0,005) = 0,005 ,3102 = A [3,3102 – 1 ] / 0,005 662040,89 = A . 462,  A = ,89 / 462,0409 = 1431,72 € En total hemos pagado, por el préstamo de €: 1431,72 x 12 x 20 = € Nota: Habríamos pagado unos € menos que por anualidades. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

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EJEMPLO_3_DE ANUALIDAD Necesitamos urgentemente un préstamo personal de €, que nos ofrecen al 24% fijo anual. Si podemos devolver 1000 € al mes, ¿cuánto tiempo estaremos pagando hasta amortizar toda la deuda?. A [ (1+r)t ] D.(1+r) t = , donde D=30000, A= y i = 24/1200 r 1000 [ (1+ 0,02) t ] 30000.(1+ 0,02) t = 0,02 ,02t . 0,02 = 1000 [1,02t – 1 ] 600. 1,02t = 1,02t –  0,6. 1,02t = 1,02t – 1  1 = 1,02t - 0,6.1,02t 1000 1 = 0,4 . 1,02t  1 / 0,40 = 1,02t  2,5 = 1,02t Tomando logaritmos decimales: log 2,5 = t . log 1,02  t = log 2,5 / log 1,02 = 46,27 meses. Habremos pagado € por un préstamo de € @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I