1  Una Ecuaci ó n de Recurrencia Lineal de Orden n a Coeficientes Constantes se define seg ú n la ecuaci ó n: ∑ d K a K = g(n) donde d K son constantes.

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1 1  Una Ecuaci ó n de Recurrencia Lineal de Orden n a Coeficientes Constantes se define seg ú n la ecuaci ó n: ∑ d K a K = g(n) donde d K son constantes O bien: a n + ∑ c K a K = f(n) para n ≥ n 0 Definición: Ecuaciones de Recurrencia : k = n 0 n k = 0 n - 1

2 2  Si f(n) = 0 para n ≥ n 0 adicionalmente la ecuaci ó n se denomina homog é nea  En otro caso la ecuaci ó n se denomina no homog é nea  Una ecuaci ó n de recurrencia establece la variaci ó n de una cantidad a n discreta en funci ó n de t é rminos anteriores a k para n 0 ≤ k ≤ n -1  Al resolver la Ec. de Recurrencia se busca una expresi ó n de a n en funci ó n de n Definición: Ecuaciones de Recurrencia :

3 3  Ecuaci ó n de Recurrencia Lineal de Orden 2 a Coeficientes Constantes a n + c n-1 a n-1 + c n-2 a n-2 = f(n) para n ≥ n 0  Resolveremos primero el caso homog é neo y luego el no-homog é neo Técnica de Solución: Ecuaciones de Recurrencia :

4 4  Caso Homog é neo: a n + c n-1 a n-1 + c n-2 a n-2 = 0 para n ≥ n 0 (H)  Proponemos una soluci ó n no trivial de la forma: a n = r n para n ≥ n 0 Técnica de Solución: Ecuaciones de Recurrencia :

5 5  Imponiendo esta soluci ó n en la ecuaci ó n (H) : r n + c n-1 r n-1 + c n-2 r n-2 = 0 para n ≥ n 0 (H)  Tenemos que: r = ½ [ -c n-1 ± (c n-1 - 4 c n-2 ) ½ ] Técnica de Solución: Ecuaciones de Recurrencia : 2

6 6  Primer Caso: c n-1 - 4 c n-2 > 0 Entonces tenemos 2 ra í ces reales distintas: r 1 = ½ [ -c n-1 + (c n-1 - 4 c n-2 ) ½ ] r 2 = ½ [ -c n-1 - (c n-1 - 4 c n-2 ) ½ ] Y la soluci ó n de la ecuaci ó n (H) es: a n = α r 1 + β r 2 Donde las constantes α y β dependen de las condiciones iniciales: a y a Técnica de Solución: Ecuaciones de Recurrencia : 2 2 2 nn n0n0 n 0 + 1

7 7  Segundo Caso: c n-1 - 4 c n-2 = 0 Entonces tenemos una ra í z real: r 1 = - ½ c n-1 Y la soluci ó n de la ecuaci ó n (H) es: a n = αr 1 + βnr 1 Donde las constantes α y β dependen de las condiciones iniciales: a y a Técnica de Solución: Ecuaciones de Recurrencia : 2 n n n0n0 n 0 + 1

8 8  Tercer Caso: c n-1 - 4 c n-2 < 0 Tenemos 2 ra í ces complejas conjugadas: r = ½ [ -c n-1 ± i(c n-1 - 4 c n-2 ) ½ ] En coordenadas polares: r =ρcos(θ)+iρsen(θ) Y la soluci ó n de la ecuaci ó n (H) es: a n = α ρ cos(nθ) + β ρ sen(nθ) Donde las constantes α y β dependen de las condiciones iniciales: a y a Técnica de Solución: Ecuaciones de Recurrencia : 2 2 n n n0n0 n 0 + 1

9 9  Caso No - Homog é neo: a n + c n-1 a n-1 + c n-2 a n-2 = f(n) para n ≥ n 0 (NH)  Es f á cil ver que la ecuaci ó n (NH) es de la forma: a n = a n + a n para n ≥ n 0 Técnica de Solución: Ecuaciones de Recurrencia : ph

10 10  Caso No - Homog é neo:  Donde: a n : Soluci ó n de la Ecuaci ó n (H) a n : Soluci ó n Particular de la Ecuaci ó n (NH) a n Depende de la forma de f(n) Técnica de Solución: Ecuaciones de Recurrencia : p h p

11 11  Caso No - Homog é neo:  Veamos algunos casos: a n = An 2 + Bn + C si f(n) = αn 2 + βn + δ a n = Aρ q cos(qα) + Bρ q sen(qα) si f(n) = Cρ q cos(qα) + Dρ q sen(qα) Técnica de Solución: Ecuaciones de Recurrencia : p p

12 12  Certamen 2-2007  Resuelva la siguiente ecuación de recurrencia por método manual y obtenga el término 100 de la serie y el orden de la sucesión. Algunos Ejemplos: Ecuaciones de Recurrencia :

13 13  Bubble Sort  Relaci ó n de Fibonacci  Determinantes de matrices  Fractales  Torres de Hanoi  Saludando gente en una fiesta  Otros ejemplos Algunos Ejemplos: Ecuaciones de Recurrencia :

14 14 Cálculo de la Eficiencia de un Algoritmo:  Determinación de número de ops según modelo RAM  Análisis Asintótico del Peor caso Determinación Orden de Magnitud del número de ops en el peor caso. Ecuaciones de Recurrencia : Ecs. Recurrencia Divide & Conquer:

15 15 En base a Modelo RAM y AAPC se definen los sgtes. órdenes de mágnitud: f(n) = O (g(n))  c > 0 tal que f(n)  cg(n)  n  N 0 f(n) =  (g(n))  c > 0 tal que f(n)  cg(n)  n  N 0 f(n) =  (g(n))  c 1, c 2 > 0 tales que f(n)  c 1 g(n) y f(n)  c 2 g(n)  n  N 0 Ecuaciones de Recurrencia : Ecs. Recurrencia Divide & Conquer:

16 16 Análisis de Programas: Cálculo RAM  No Recursivos: Suma de las Partes  Recursivos: Divide & Conquer T(n) = aT(n/b) + f(n) a  1, b>1, f dado Método de Sustitución Método de Iteración Master - Método Ecuaciones de Recurrencia : Ecs. Recurrencia Divide & Conquer:

17 17 Análisis de Programas Recursivos Método de Sustitución : Se “adivina” la solución y se demuestra por inducción Método de Iteración : Se convierte la recurrencia en una sumatoria Master – Método: Se aplica teorema con 3 casos posibles Ecuaciones de Recurrencia : Ecs. Recurrencia Divide & Conquer:

18 18 Análisis de Programas Recursivos Método de Sustitución :  Veamos un ejemplo: T(n) = 2T(n/2) + n  Cambio de variables  Un error común:  Cómo hacer un buen guess ???  Otro ejemplo: T(n) = 2T(n/2) + 1 es O(log(n)) -- Ecuaciones de Recurrencia : Ecs. Recurrencia Divide & Conquer:

19 19 Análisis de Programas Recursivos Método de Iteración:  Veamos un ejemplo: T(n) = 3T(n/4) + n  Árboles de reducción:  T(n) = 2T(n/2) + n 2  T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + n  Otros ejemplos:  T(n) = 3T(n/2) + n  T(n) = T(n-a) + T(a) + n para a  1  T(n) = T(  n) + T((1-  )n) + n para 0 <  < 1 Ecuaciones de Recurrencia : Ecs. Recurrencia Divide & Conquer:

20 20 Análisis de Programas Recursivos: Teo. Master Sea a  1, b > 1, constantes. Sea f(n) una función dada y T(n) una función definida por la fórmula de recursión: T(n) = aT(n/b) + f(n)  n  n 0. Entonces: 1) Si f(n) = O(n ) para algún  >0  T(n) =  (n ) 2) Si f(n) =  (n )  T(n) =  (n log(n)) 3) Si f(n) = O(n ) para algún  >0 y af(n/b)  cf(n) para c > 0  T(n) =  (f(n)) log b (a) log b (a)-  log b (a) log b (a)+  log b (a) Ecuaciones de Recurrencia : Ecs. Recurrencia Divide & Conquer:

21 21 Análisis de Programas Recursivos Master Método: Veamos ejemplos: T(n) = 9T(n/3) + n T(n) = 2T(n/3) + 1 T(n) = 3T(n/4) + nlog(n) T(n) = 2T(n/2) + nlog(n) Otros ejemplos: T(n) = 4T(n/2) + n 2 T(n) = 4T(n/2) + n 3 Ecuaciones de Recurrencia : Ecs. Recurrencia Divide & Conquer: