En la Edad Media calcular era una forma de poder; los notarios dependían de quienes supieran contar; en esa época muy pocos eran los que poseían esta habilidad.

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1 En la Edad Media calcular era una forma de poder; los notarios dependían de
quienes supieran contar; en esa época muy pocos eran los que poseían esta habilidad. Para efectuar cálculos se empleaba fundamentalmente el ábaco de fichas y como forma de representar los números, se recurría a la numeración romana. Las operaciones aritméticas con el ábaco requerían numerosos ejercicios de aprendizaje, especialmente para las incómodas operaciones de multiplicación y división El ábaco de fichas

2 Números romanos en un manuscrito del siglo XVI.

3 Alrededor del año 825, en Bagdad, Muhammad Ibn Musa
(780?-850?), llamado Al-Khwarizmi, reveló al mundo el contenido de los trabajos indues sobre aritmética, en los que los números se representan con nueve cifras y un cero. Los orígenes de esta numeración se remontan al siglo II, pero sólo empezaron a conocerse seis siglos después en el mundo árabe y sólo hasta el siglo XII en el mundo católico occidental sin mucha difusión y con mucha resistencia. Al-Khwarizmi (780? -850) Dado que los copistas occidentales escribían de izquierda a derecha, mientras que los árabes lo hacían de derecha a izquierda, las cifras fueron modificándose hasta la forma actual que se remonta al siglo XV. En su obra Algorithmi de numero Indorum introdujo la numeración empleada por los matemáticos de la India y algunos procedimientos para realizar cálculos aritméticos, que posteriormente se conocerían con el nombre de algoritmos, siendo este término una latinización del nombre del autor

4 En la Alta Edad Media existía una forma
práctica de representar los números mediante posiciones especiales de los dedos de ambas manos, lo cual facilitaba la memorización de las cantidades llevadas en las operaciones de cálculo mental y a la vez con el ábaco, por lo menos cuando en las fichas no había indicación de números. Este tipo de numeración con los dedos fue llamado numeración digital a quién se atribuye la creación de este simbolismo es al monje inglés Beda el Venerable ( ); este tipo de numeración fue muy útil hasta antes de que se hiciera corriente el uso de la tinta y el papel.

5 El empleo de las diez cifras o dígitos para expresar un número entero o
fraccionario cualquiera es uno de los acontecimientos más importante en la matemática de la Edad Media, por los siguientes motivos: Se muestra claramente la relación finito-vs-infinito: con sólo diez cifras o dígitos es posible nombrar cualquier número. Las secuencias de cifras crecen indefinidamente, se tiene entonces un ejemplo de infinito manejado con un sistema finito de símbolos. Se introduce el cero, hasta entonces inusitado, cuyo nombre inicial era circulus (círculo pequeño), posteriormente cifra (el vacío del árabe assifr) y también figura nihili (cifra de nada). Se introducen por primera vez las fracciones decimales.

6 En 1202, Leonardo Pisano (1170-1240) más conocido como
Fibonacci (hijo de Bonacci), publicó una obra titulada El libro sobre el ábaco, en la cual describió unos métodos para realizar operaciones aritméticas especialmente de multiplicación, los cuales denominó “métodos indios” y se propuso oponerlos a los que se empleaban con el ábaco Fray Luca Paccioli ( )escribió en 1494 Summa Arithmetica, A partir de esta obra se empezaron A popularizar los métodos que hoy conocemos para realizar operaciones aritméticas y representa el triunfo de los algoristas sobre los abacistas.

7 = {0, 1,2, 3, … , n, … }. Propiedades de la suma :
Propiedades del producto: Propiedad distributiva

8 = {…, -3, -2, -1, 0, 1,2, 3, … , n, … }. Propiedades de la suma :

9 Propiedades del producto:
Propiedad distributiva

10 Propiedades de la suma :

11 Propiedades del producto:
Propiedad distributiva

12 a b Suma al estilo Griego Resta al estilo Griego b a

13 Multiplicación al estilo Griego
1 a b

14 División al estilo Griego
1 a b b b a a O O 1 1 x x

15 Raíz cuadrada al estilo Griego
1

16 Raíces de la ecuación de 2º grado con regla y compás
1 b a P

17 1 1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -3 -5/2 -2 -3/2 -1 -1/2 1/2 1 3/2 2 5/2 3 7/2 4 9/2

18 1 Hipasus de Metaponto,

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20 Desarrollo decimal de los
números racionales Al realizar la división del número racional encontramos la expresión decimal del número. Dicha división puede terminar, como en = 0,625 o puede ser infinita, pero con un tramo de cifras que se repite, como en = 0, , podemos decir entonces, que los números racionales son aquellos cuya expresión decimal es finita o periódica.

21 Encontrar el número racional r cuya representación decimal es:
Si un número tiene una expresión racional periódica o finita entonces es racional. Ejemplo: Encontrar el número racional r cuya representación decimal es: r= … Desarrollo: Como son 3 las cifras que se repiten, multiplicamos r por 1000 y restamos. r1000-r = … … así obtenemos: 999r= 2313 Por lo tanto: r=

22 !Los números irracionales no tienen un desarrollo decimal periódico!.
Desarrollo decimal del número En el año 2004 empleando un computador Hitachi se obtuvo las primeras cifras decimales del desarrollo decimal de = … !Los números irracionales no tienen un desarrollo decimal periódico!.

23 Relación de orden en a>0 a>b a<b a b
Se dice que el número real a es mayor que 0, si a está a la derecha de 0. Se nota: a>0 Se dice que el número real a es mayor que b, si a-b>0. Se nota: a>b Se dice que el número real a es menor que b, si b>a. Se nota: a<b Se dice que el número real a es menor o igual que b, si a<b o a=b. Se nota: a b Se dice que el número real a es mayor o igual que b, si a>b o a=b. Se nota: Relación de orden en

24 Ordenar las fracciones:
Ejercicio Ordenar las fracciones: Primero reducimos a común denominador. Para ello, calculamos el m.c.m. de los denominadores:                           . Obtenemos fracciones equivalentes a las dadas con denominador 20. Para ello dividimos 20 entre cada denominador y lo multiplicamos por el nume- rador. Las fracciones obtenidas son:      Estas fracciones las podemos ordenar fácilmente porque tienen el mismo denominador: Así obtenemos:               

25 Primero se encuentra el desarrollo decimal de cada uno
Ejercicio Organice los siguientes números en orden ascendente: Desarrollo: Primero se encuentra el desarrollo decimal de cada uno = = = = = = = <

26 Desigualdades e intervalos
Conjunto Intervalo Gráfico { x | a < x < b } ( a , b ) { x | x < b } ( -  , b ) {x | a ≤ x} [ a ,  ) { x | a ≤ x < b } [ a , b ) { x | x ≤ b } ( -  , b ] { x | a ≤ x ≤ b } [ a , b ] {x | a < x} ( a ,  ) ( ) a b ) b [ a [ ) a b ] b [ ] a b ( a

27 Valor Absoluto Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real a está definido por:                            Note que por definición el valor absoluto de a siempre será mayor o igual que cero, y nunca negativo.

28 Propiedades fundamentales
2. |a| = 0 ⇔ a = 0 3. |ab| = |a| |b| 4. |a+b| ≤ |a| + |b| Otras propiedades 1. |-a| = |a| 2. |a-b| = 0 ⇔ a = b 3. |a-b| ≤ |a-c| + |c-b| 4. |a-b| ≥ ||a| - |b|| 5. |a/b| = |a| / |b| (si b ≠ 0)

29 Distancia entre dos números reales
Para a > 0, |x| < a si y sólo si -a < x < a. Ejemplo: Distancia entre dos números reales Si a y b son dos números reales, se define la distancia entre a y b como d(a,b)=|a-b| Propiedades fundamentales 1. d(a, b) ≥ 0 2. d(a, b )= 0 ⇔ a = b 3. d(a, b)= d(b,a) 4. d(a, b) ≤ d(a, c)+ d(c, b)

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