@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 8.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 8

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 CLAVE DE FUNCIONES RACIONALES Toda función de la forma: m.x + n f(x)= ------------- p.x + q Se puede, sin más que realizar la división de polinomios, expresar así: k f(x) = b + --------- x – a Hipérbola de centro (a, b) Pudiendo afirmar que: Presenta una asíntota vertical en x = a Pues f(a) = b + k / 0 = b + oo = oo Presenta una asíntota horizontal en y = b Pues y = b + k / (oo – a) = b + 0 = b Sin embargo, a la hora de dibujar la función, no es lo mismo el trazo a la derecha que a la izquierda de x=3 0 a x YbYb

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 Para ver cómo se comporta la función en las proximidades de x=a habrá que calcular sus límites laterales: Límite por la derecha: k k lím b + ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x  a + x – a +0 pues x vale algo más de a. Límite por la izquierda: k k lím b + ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = – oo x  a - x – a - 0 pues x vale algo menos de a. Los límites laterales nos ayudan a definir la tendencia de una función en determinados puntos críticos. 0 a x YbYb

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 FUNCIÓN RACIONAL En general f(x) = P(x) / Q(x) es una función racional, siendo P(x) y Q(x) dos polinomios cualesquiera, excepto Q(x) = k, pues entonces f(x) es una función polinómica. CARACTERÍSTICAS DOMINIO Dom f(x) = R – {x 1, x 2, … x n } Siendo x 1, x 2, … x n los ceros o raíces de Q(x). IMAGEN Hay que realizar la gráfica para hallarlo. CORTES CON LOS EJES Con OY: x=0  y = P(0)/Q(0)  Pc(0, P(0)/Q(0)) Con OX: y=0  P(x)/Q(x) = 0  P(x) = 0  Pc(x 1, 0), …Pc(x n, 0) siendo x 1, x 2, … x n los ceros o raíces de P(x). FUNCIONES RACIONALES

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 ASÍNTOTAS Una función racional puede tener tres tipos de asíntotas: Verticales, horizontales y oblicuas. F(x) puede tener asíntotas verticales en los puntos en que Q(x) = 0. Si en dichos puntos también P(x)=0, puede no haber asíntota vertical; en dichos casos hay que estudiar los límites laterales. Si grado de P(x) ≤ grado de Q(x) tiene una asíntota horizontal. Y además es la misma en +oo y en – oo Si grado de P(x) = 1 + grado de Q(x) tiene una asíntota oblicua. Y además es la misma en +oo y – oo EJEMPLO 1 f(x) = – 9 / (x – 3), en x = 3 hay A.V. EJEMPLO 2 f(x) = (x 2 – 9) / (x – 3), en x = 3 no hay A.V. EJEMPLO 3 f(x) = (x – 3) / (x + 3), y = – 1 es A.H. EJEMPLO 4 f(x) = (x 2 – 9) / (x – 1), y = x + 1 es A.O.

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 EJEMPLO 1 f(x) = – 9 / (x – 3) Dominio: Dom f(x) = R – {3} Cortes con ejes: Con OY: x=0  y = 3  Pc(0, 3) Con OX: y=0  – 9 = 0  No hay Asíntota Vertical: x = 3, pues es un cero de (x – 3). Asíntota Horizontal: Lím – 9 / (x – 3) = – 9 / oo = 0 x  oo y = 0 es la A.H. Recorrido: Img f(x) = R – { 0 } Tendencial: Lím – 9 / (x – 3) = – 9 / 0+ = – oo x  3+ -2 -1 0 1 2 3 4 x y

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 EJEMPLO 2 f(x) = (x 2 – 9) / (x – 3) Dominio: Dom f(x) = R – {3} Cortes con ejes: Con OY: x=0  y = 3  Pc(0, 3) Con OX: y=0  (x 2 – 9) = 0  x = 3 (No vale) ; y x = – 3  Pc(– 3, 0) Asíntota Vertical: Lím (x 2 – 9) / (x – 3) = [0 / 0] x  3 Lím (x +3).(x – 3) / (x – 3) = 3+3 = 6 x  3 x = 3 No es A.Vertical Asíntota Horizontal: Lím (x +3).(x – 3) / (x – 3) = x+3 = oo  No hay A.H. x  oo Asíntota Oblicua: (x 2 – 9) / (x – 3) = x + 3  y = x + 3 es la A. Oblicua - 3 -2 -1 0 1 2 3 4 x y

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 EJEMPLO 3 f(x) = (x – 3) / (x + 3) Dominio: Dom f(x) = R – {– 3} Cortes con ejes: Con OY: x=0  y = – 1  Pc(0, – 1) Con OX: y=0  x = 3  Pc(3, 0) Asíntota Vertical: x = – 3 es la A.Vertical Asíntota Horizontal: Lím (x – 3) / (x + 3) = [oo/oo] = 1 x  oo y=1 es la A. Horizontal Tendencia: Lím (x – 3) / (x + 3) = – 6 / 0+ = – oo x  – 3+ Lím (x – 3) / (x + 3) = – 6 / 0- = + oo x  – 3- -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x y

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 EJEMPLO 4 f(x) = (x 2 – 9) / (x – 1) Dominio: Dom f(x) = R – {1} Cortes con ejes: Con OY: x=0  y = 9  Pc(0, 9) Con OX: y=0  x 2 = 9  Pc(3, 0) y Pc(– 3, 0) Asíntota Vertical: x = 1 es la A.Vertical Asíntota Oblicua: (x 2 – 9) / (x – 1) = x + 1 de cociente. y=x+1 es la A. Oblicua Tendencia: Lím (x 2 – 9) / (x – 1) = – 8 / 0+ = – oo x  1+ Lím (x 2 – 9) / (x – 1) = – 8 / 0- = + oo x  – 3- -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x y

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I10 EJEMPLO 5 Sea f(x) = x /(x 2 + 1) Dominio: Dom f(x) = R Simetría: f(x) = – f (– x) Hay simetría impar. Cortes con ejes: Con OY: x=0  y = 0  Pc(0, 0) Con OX: y=0  x = 0  Pc(0, 0) Asíntota Vertical: No hay Asíntota Horizontal: Lím x / (x 2 + 1) = [oo/oo] = 1/oo = 0  y=0 es la A. Horizontal x  oo Signo: En (-oo, 0)  f(-1) = - 1 / 2 < 0 ; En (0, +oo)  f(1) = 1 / 2 > 0 Tabla de valores: x-2-1-0,500,512 y-0,4-0,5-0,400,40,50,4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x y Máx Mín

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I11 EJEMPLO 6 f(x) = (x 3 – x) / (x 2 – x – 6) Factorizados numerador y denominador: x 3 – x = 0 ; x 2 – x – 6 = 0 f(x) = x.(x + 1).(x – 1) / (x + 2).(x – 3) Dominio: Dom f(x) = R – {– 2, 3} Cortes con ejes:Con OY: x=0  y = 0  Pc(0, 0) Con OX: y=0  Pc(0, 0), Pc(– 1, 0) y Pc(1, 0) Asíntota Vertical: x = – 2 y x = 3 son las A.Verticales Asíntota Oblicua (al ser grado P(x) = 1 + grado de Q(x)): (x 3 – x) / (x 2 – x – 6) = x + 1 de cociente. y=x+1 es la A. Oblicua Signo (hay que tener en cuenta los ceros y las A. Verticales): En (-oo, -2)  f(-3) = - 24 / 6 < 0 En (-2, -1)  f(-1,5) = -1,875 / (-2,25) > 0 En (-1, 0)  f(-0,5) = 0,375 / (-5,25) < 0 En (0, 1)  f(0,5) = -0,375 / (-6,25) > 0 En (1, 3)  f(2) = 6 / (- 4) < 0 En (3, oo)  f(4) = 60 / 6 > 0

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I12 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x y