Vibraciones en un medio no viscoso

Presentación del tema: "Vibraciones en un medio no viscoso"— Transcripción de la presentación:

1 Vibraciones en un medio no viscoso
¿Cómo modelar un péndulo?

2 Vibraciones en un medio no viscoso
¿Cómo modelar un péndulo?

3 Vibraciones en un medio no viscoso
¿Cómo modelar un péndulo?

4 La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso)
La ecuación diferencial de Newton

5 La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso)
Simplemente reordenando términos

6 La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso)
NOVEDAD: Esta ecuación relaciona una variable con su derivada segunda. ¿Será la solución a esta ecuación tambien una exponencial?

7 La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso)
Proponemos una solución exponencial y a ver que pasa… Fijando la fuerza a 0 (por simplicidad)

8 La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso)
Matemática Física La derivada segunda de una exponencial es proporcional a ella misma, hasta aquí todo bien. Sigamos …

9 La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso)
Matemática Física Reemplazamos Siendo x una funcion generica, no queda otra que este termino sea 0

10 La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso)
Matemática Física Reemplazamos

11 La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso)
Matemática Física Reemplazamos NOVEDAD: La constante de la exponencial es imaginaria.

12 Exponenciales imaginarias, vueltas, oscilaciones y decaimientos.
Mecánica básica de la función: La mecánica de la exponencial es simple, cada vez que pasa un tiempo T multiplico por 1/e. Así se entiende que a medida que pasa el tiempo uno se va aproximando arbitrariamente al cero.

13 Exponenciales imaginarias, vueltas, oscilaciones y decaimientos.
Las multiplicaciones en el plano complejo: Contracciones y rotaciones. Conocido 1: 1 -1 i -i 2*2*2*2*2…. (Exponenciacion de 2) … 2N … infinito Conocido 2: (1/2)*(1/2)*(1/2)*… (Exponenciacion de 1/2) 1/2-1/4-1/8 … 1/2N… 0 ¿¿(i)*(i)*(i)*… (Exponenciacion de i)??

14 i : -1 : -i : 1 : i -1 : -i : 1 : : i -1 : -i : 1 : i
Sintetizando exponenciales y oscilaciones. Las oscilaciones son exponenciales imaginarias. Las multiplicaciones en el plano complejo: Contracciones y rotaciones. Conocido 1: i 2*2*2*2*2…. (Exponenciacion de 2) … 2N … infinito Conocido 2: -1 1 (1/2)*(1/2)*(1/2)*… (Exponenciacion de 1/2) 1/2-1/4-1/8 … 1/2N… 0 ¿¿(i)*(i)*(i)*… (Exponenciacion de i)?? i : -1 : -i : 1 : i -1 : -i : 1 : : i -1 : -i : 1 : i -i

15 Sintetizando exponenciales y oscilaciones
Sintetizando exponenciales y oscilaciones. Las oscilaciones son exponenciales imaginarias. Las multiplicaciones en el plano complejo: Contracciones y rotaciones. i En general, una exponencial tiene una componente real (contracción o dilatación) y una parte imaginaria (rotación). a > 0 a < 0 -1 1 Cambio en la amplitud o modulo. Amortiguación, disipación (o amplificación) Perdida del movimiento Rotaciones, oscilaciones. Movimiento periódico. -i

16 Sintetizando exponenciales y oscilaciones
Sintetizando exponenciales y oscilaciones. Las oscilaciones son exponenciales imaginarias. Las multiplicaciones en el plano complejo: Contracciones y rotaciones. Hasta ahora hemos visto una u otra proyección, ya sea movimiento exponencial u oscilatorio. En general, como veremos en el oscilador amortiguado, el movimiento se descompone en estas dos componentes, resultando en un movimiento “espiralado”. Según el ritmo (la velocidad) de rotación y el ritmo de decaimiento se dan distintos tipos de regimenes donde las oscilaciones llegan o no a hacerse evidentes.. i -1 1 -i

17 Proposición (y no demostración) de la razón de esta igualdad.
Sintetizando exponenciales y oscilaciones. Las oscilaciones son exponenciales imaginarias. Las multiplicaciones en el plano complejo: Contracciones y rotaciones. Noción de fase como el argumento de una exponencial imaginaria. i Proposición (y no demostración) de la razón de esta igualdad. -1 1 -i

18 Sintetizando exponenciales y oscilaciones
Sintetizando exponenciales y oscilaciones. Las oscilaciones son exponenciales imaginarias. Las multiplicaciones en el plano complejo: Contracciones y rotaciones. i Esta igualdad puede probarse de varias maneras, aquí la propongo sin demostración. Su uso permite una gran “ventaja notacional” ya que el producto de vectores puede descomponerese naturalmente en una suma de sus angulos y el producto de sus distancias. -1 1 -i

19 Sintetizando exponenciales y oscilaciones
Sintetizando exponenciales y oscilaciones. Las oscilaciones son exponenciales imaginarias. Las multiplicaciones en el plano complejo: Contracciones y rotaciones. i -1 1 NOTAR QUE LA NORMA (RADIO, DISTANCIA) DE ESTE NUMERO COMPLEJO ES SIEMPRE 1. EL ANGULO QUEDA DETERMINADO POR LA FASE -i

20 Sintetizando exponenciales y oscilaciones
Sintetizando exponenciales y oscilaciones. Las oscilaciones son exponenciales imaginarias. Las multiplicaciones en el plano complejo: Contracciones y rotaciones. i -1 1 Un numero complejo se escribe en una notación en esencia igual a las coordenadas polares, como el producto de una fase (exponencial compleja) y un radio (valor real). -i

21 Sintetizando exponenciales y oscilaciones
Sintetizando exponenciales y oscilaciones. Las oscilaciones son exponenciales imaginarias. Las multiplicaciones en el plano complejo: Contracciones y rotaciones. i Z1 Z2 -1 1 Z1*Z2 Z1*Z2 resulta de sumar los ángulos (las fases) de Z1 y Z2 y de multiplicar sus radios. -i

22 Combinando los 3 ingredientes fundamentales, el oscilador (con masa) amortiguado
Oscilar en un mundo viscoso es difícil y requiere energía. Las oscilaciones se vuelven mas difíciles a medida que la masa decrece y se pierde inercia. En el mundo de las moléculas biológicas las oscilaciones son raras y en general requiere de un mecanismo activo (una fuerza que provee energía) que las sostenga. Los cambios conformacionales de proteínas suelen no tener rebote.

23 La dificultad de oscilar en un mundo viscoss.
¿Cómo modelar con los ingredientes mecánicos del aparato mecanico transductor de presion a corriente? Las células ciliares en la cochlea:

24 Oscilaciones en un medio viscoso: Primer punto de partida, acercamiento empírico.
F

25 Oscilaciones en un medio viscoso: Punto de partida teorico como siempre, las ecuaciones de Newton.
F La ecuación diferencial de Newton

26 Oscilaciones en un medio viscoso: Punto de partida, como siempre, las ecuaciones de Newton.
F La ecuación diferencial de Newton Expresado en terminos de una funcion incognita (x) y sus derivadas ( v y a) Resolvamos primero el caso en el que F=0. Un oscilador “solo” en un medio viscoso.

27 De ecuaciones diferenciales a un polinomio…
Y como siempre, proponemos y usamos, para pasar de la ecuación diferencial a una ecuación polinomica:

28 Yemplazando cada derivada se obtiene
De ecuaciones diferenciales a un polinomio una vez más función conocida F Yemplazando cada derivada se obtiene

29 Resolviendo el oscilador amortiguado
F Problema conocido

30 Que nos dice esta ecuacion (antes de resolverla)
Una solución conocida F Problema conocido Que nos dice esta ecuacion (antes de resolverla)

31 Que puede concluirse de esta solucion
F

32 Distintos escenarios posibles: 1) Viscosidad domina
F 1) Raiz es > 0

33 La solución no tiene componente compleja y luego no hay oscilaciones.
Raíz positiva. Un mundo viscoso (el de las proteínas) La masa y la elasticidad no llegan a generar ni una oscilación. F 1) Raiz es > 0 La solución no tiene componente compleja y luego no hay oscilaciones. Lambda es positivo (ver porque) y por lo tanto la solución es una exponencial decreciente. 3) El resultado es por lo tanto como el de un amortiguador con la constante de tiempo modificada por la presencia de la masa y de la constante elástica.

34 Distintos escenarios posibles: 2) La masa y la elasticidad llegan a oscilar superando la viscosidad.
F 2) Raiz es < 0 < 0

35 Entonces la raiz es positiva por -1.
Raíz negativa, como resolverla... F 2) Raiz es < 0 > 0 Entonces la raiz es positiva por -1.

36 i factoriza como la raiz de -1
Raíz (negativa) imaginaria luego oscilaciones F 2) Raiz es < 0 i factoriza como la raiz de -1

37 El reino de las oscilaciones.
F 2) Raiz es < 0 Oscilaciones con periodo Decaimiento exponencial con constante:

38 El reino de las oscilaciones.
F 2) Raiz es < 0 La solución tiene componente compleja y luego resulta de una mezcla de oscilaciones y un decrecimiento exponencial. Las constantes de tiempo se factorizan: oscilador con masa por un lado y amortiguador con masa por el otro. La constante de tiempo del decaimiento aumenta con la masa y decrece con la velocidad. La constante de tiempo de la oscilación aumenta con la masa y decrece con k

39 El compromiso entre dos términos.
F 2) ¿Por qué? La física de este problema queda establecida por un compromiso entre la disipación (dada por la viscosidad) y la tendencia a oscilar que aumenta con la elasticidad y la masa. Todo el problema se reduce esencialmente a comparar los dos tiempos críticos (el decaimiento exponencial y el periodo de la oscilación) y a entender que contribuye a cada tiempo critico.

40 Tiempo de experimentos (simulaciones) Segunda parte, validación de un modelo teorico.
F

41 Energía en un oscilador viscoso
F Conocido x(t) podemos calcular también v(t) y por lo tanto la energía, según la fórmula: Reemplazando la educación del movimiento se obtiene la siguiente formula para la energía:

42 Energía en un oscilador viscoso
F Dos conclusiones importantes dos: 1) La energía no se conserva, o, dicho de otra manera, oscilar (y en general moverse) en un mundo viscoso cuesta. 2) La perdida de energía no depende de la constante elástica.

43 Energía en un oscilador viscoso
F 2) La perdida de energía no depende de la constante elástica. Vimos que el movimiento puede factorizarse en el producto de un decaimiento exponencial y de una oscilación. El decaimiento exponencial es el único de estos factores que altera la energía. La oscilación establece un proceso conservativo de flujo de energía cinética a potencial (y la velocidad de este flujo SI depende de k) conservando el total de energía. De hecho en el caso extremo en el que la viscosidad es cero, el problema es conservativo, cada ciclo de la oscilación tiene la misma energía y, por lo tanto, la misma amplitud.

44 Inyectar energía en un oscilador viscoso, el oscilador amortiguado y forzado alcanza un estado estacionario. F Si un agente externo es capaz de entregar en cada ciclo la misma cantidad de energia que disipa el sistema, entonces se alcanza un estado oscilatorio estacionario de amplitud constante.

45 Inyectar energía en un oscilador viscoso, el oscilador amortiguado y forzado alcanza un estado estacionario. F Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?

46 Inyectar energía en un oscilador viscoso, el oscilador amortiguado y forzado alcanza un estado estacionario. F Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones? Respuesta: NO. Ya vimos anteriormente que el trabajo de una fuerza constante a lo largo de un ciclo es necesariamente cero (esencialmente porque en la mitad del ciclo empuja (fuerza en mismo sentido que el desplazamiento, trabajo positivo) inyectando energía y en la otra mitad del ciclo frena (fuerza en el sentido inverso al desplazamiento, trabajo negativo) quitando por lo tanto energía.

47 Respuesta: NO. Versión grafica del mismo argumento.
Inyectar energía en un oscilador viscoso, el oscilador amortiguado y forzado alcanza un estado estacionario. F Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones? Respuesta: NO. Versión grafica del mismo argumento. Velocidad F

48 El oscilador amortiguado disipa energía porque la fuerza viscosa es SIEMPRE opuesta a la velocidad.
La fuerza viscosa esta “contra fase” con la velocidad, resultando en una perdida de energia (disipacion) en cada ciclo. Debido a esta perdida de energia la velocidad disminuye con lo que la perdida de energia en el proximo ciclo es menor y asi siguiendo resultando, como ya vimos, en una exponencial. Velocidad F