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Relajación y procesamiento híbrido de restricciones Diferentes técnicas de relajación Algunas técnicas híbridas populares
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Relajación Consistencia de nodo Forward check Lookahead check AC1AC3 Consistencia de camino
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3 Ejemplo 4 familias A, B, C y D viven al lado una de otra en casas numeradas 1, 2, 3 y 4. D vive en una casa con numero menor que B, B vive al lado de A en una casa con número mayor, Hay al menos una casa entre B y C, D no vive en la casa con número 2, C no vive en la casa con número 4. ¿Qué familia vive en cúal casa ? El problema de las 4 casas:
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4 Representación: Las variables: A, B, C y D Los dominios: d A = d B = d C = d D = { 1, 2, 3, 4} Restricciones: unaria: r(C) = C 4 r(D) = D 2 binaria: r(A,B) = B = A + 1 r(B,D) = D B r(B,C) = |B - C| 1 r(A,C) = A C r(A,D) = A D r(C,D) = C D
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5 Consistencia de nodo: Las restricciones unarias son eliminadas por medio de reducciones del dominio: O: 1-consistencia (sólo 1 variable involucrada) r(C) = C 4 r(D) = D 2 d C = { 1, 2, 3} d D = { 1, 3, 4}
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6 La red de restricciones: AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4}
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Relajación débil Forward Check Lookahead Check
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8 Forward Check: Fijamos el valor de 1 variable zi: zi = a Forward Check(zi) = activar cada restricc. r(zi, zj) o r(zj, zi) una vez para remover los valores inconsistentes para zi = a AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D {2} { 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} Nuestro ejemplo: asumir A = 2 :
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9 Forward check: consistencia débil Requiere que 1 variable ya haya obtenido un valor AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D {2} { 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} No produce un estado consistente no se realiza toda la relajación
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Look ahead check Un método de relajación más potente (débil)
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11 Look ahead Check: Look Ahead Check = activar cada restricción r(zi, zj) exactamente una vez para remover los valores inconsistentes de los dominios Di y Dj. Nuestro ejemplo: AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3, 4}
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12 Ejemplo (continuac.): AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3} Las otras 3 restricciones:
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13 Look ahead resultados finales: AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3} { 1, 2, 3} Tampoco produce un estado consistente no se ha realizado toda la relajación Los resultados pueden depender del orden en que se procesan las restricciones. Remover primero algunos valores puede permitir encontrar otras inconsistencias
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Técnicas de consistencia de arco Tecnicas que reducen dominios a un estado que es consistente para cada restricción (o arco). También llamadas: técnicas de 2-consistencia
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15 AC 1 (Mackworth) AC1: Repeat Look ahead check; Look ahead check; If algún valor fue removido de If algún valor fue removido de algún dominio then algún dominio then Deletion_occurred := true Until (not Deletion_occurred) Fuerza Look ahead para alcanzar un estado consistente reactivando Look ahead hasta alcanzar consistencia Deletion_occurred := false ;
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16 El ejemplo (1): AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3, 4} Primer paso (== Look ahead check): AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3} { 1, 2, 3} Deletion_occurred := true
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17 El ejemplo (2): Segundo paso: AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3} { 1, 2, 3} Deletion_occurred := true AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3} { 2, 3}
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18 El ejemplo (3): Tercer paso: Deletion_occurred := false AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3} { 2, 3} Resultado: A (2 ó 3), B (3 ó 4), C (1 ó 2), D (1 ó 3) Consistente, pero NO REALMENTE UNA SOLUCIÓN !!
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19 AC-3 (Mackworth) consist. de arco más eficiente : AC3: Remover r(x,y) de COLA; Remover r(x,y) de COLA; End-While COLA := {todas las restricciones en el problema} Remover todos los valores inconsist. de los Remover todos los valores inconsist. de los dominios D x y D y con respecto a r(x,y); dominios D x y D y con respecto a r(x,y); While no vacía(COLA) DO If algún valor fué removido de D x (o D y ) If algún valor fué removido de D x (o D y ) then agregar todas las otras restricciones then agregar todas las otras restricciones que involucren a x (o y) a COLA; que involucren a x (o y) a COLA;
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20 El ejemplo (1): AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3, 4} COLA = {r(A,B), r(A,C), r(A,D), r(B,C), r(B,D), r(C,D)}: COLA = {r(A,C), r(A,D), r(B,C), r(B,D), r(C,D)} Para agregar: r(A,C), r(A,D), r(B,C), r(B,D) ¡ Ya todas en la COLA !
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21 El ejemplo (2): AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3} COLA = {r(A,C), r(A,D), r(B,C), r(B,D), r(C,D)}: COLA = {r(B,C), r(B,D), r(C,D)}
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22 El ejemplo (3): AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3} COLA = {r(B,C), r(B,D), r(C,D)}: COLA = {r(B,D), r(C,D), r(A,B), r(A,C)} Para agregar: r(A,B), r(A,C), r(B,D), r(C,D)
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23 El ejemplo (4): AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3} COLA = {r(B,D), r(C,D), r(A,B), r(A,C)}: COLA = {r(C,D), r(A,B), r(A,C), r(A,D)} Para agregar: r(A,D), r(C,D)
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24 El ejemplo (5): AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3} { 1, 2, 3} COLA = {r(C,D), r(A,B), r(A,C), r(A,D)}: COLA = {r(A,C), r(A,D)} Para agregar: r(A,C), r(A,D)
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25 El ejemplo (6): AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3} { 2, 3} COLA = {r(A,C), r(A,D)}: COLA = vacía ¡PARAR!
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26 Comparación: Los mismos resultados: consistencia de arco completa: A = {2,3}, B = {3,4}, C= {1,2}, D = {1,3} Eficiencia: AC1: 3 veces 6 verificaciones = 18 AC3: 9 verificaciones de restricciones
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27 Consistencia K: 1-consistencia (consistencia de nodo): restricc. unarias (sobre 1 variable) son consistentes 2-consistencia (consistencia de arco): restricc.binaria(sobre 2 variables) son consistentes 3-consistencia: todas las restricc.que comprenden.3var.son consist. AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3, 4} Un valor permanece en el dominio si hay valores consistentes en los dominios de las otras 2 variables (para todas las restricciones que conectan) Ejemplo:
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28 Practicidad de consistencia k: Verificar consistencia k para k 2 es muy difícil de hacer eficientemente !! Ejemplo: consistencia 4 para el problema de las 4 casas es equivalente a hallar soluciones al problema original.
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Procesamiento híbrido de restricciones Combina el poder de Búsqueda exhaustiva (backtrack) con (relajación) poda
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Forward checking Backtracking combinado con Forward Check
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31 Forward checking: Forward Checking: Ejecuta Standard Backtracking Después de cada asignac. de un Después de cada asignac. de un valor a una variable zi DO valor a una variable zi DO Forward Check(zi) PERO
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32 1A Forward checking B2 AB CD{1}{1,2,3,4}{1,2,3} {1,3,4} B=A+1 ADADADAD ACACACAC AB CD{1}{2}{2,3} {3,4} |B-C| 1 D BD BD BD B falla AB CD{2}{1,2,3,4}{1,2,3} {1,3,4} B=A+1 ADADADAD ACACACAC 2 B3 AB CD{2}{3}{1,3} {1,3,4} D BD BD BD B C1 AB C D{4}{3}{1}{1} CDCDCDCD falla AB CD{3}{1,2,3,4}{1,2,3} {1,3,4} B=A+1 ADADADAD ACACACAC 3 B4 AB CD{3}{4}{1,2} {1,4} D BD BD BD B AB C D{3}{4}{1}{1} CDCDCDCD AB C D{3}{4}{2}{1} CDCDCDCD 1C 2fallaéxito
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Lookahead checking Backtracking combinado con Look ahead check
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34 Lookahead checking: Ejecuta Standard Backtracking Look Ahead Check PERO Look Ahead Check ; Lookahead Checking: Después de cada asignac. de un Después de cada asignac. de un valor a alguna variable DO valor a alguna variable DO
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35 Lookahead checking AB C D{1,2,3,4}{1,2,3,4}{1,2,3}{1,3,4} B=A+1 ADADADAD ACACACAC D BD BD BD B |B-C| 1 CDCDCDCD AB CD{1}{3,4}{1,2} {1,3} B=A+1 falla AB C D{2}{3,4}{1,2}{1,3} B=A+1 ADADADAD ACACACAC D BD BD BD B CDCDCDCD falla AB C D{3}{3,4}{1,2}{1,3} B=A+1 ADADADAD ACACACAC D BD BD BD B CDCDCDCD AB C D{3}{4}{2}{1} D BD BD BD B CDCDCDCD AB C D{3}{4}{2}{1} CDCDCDCD 1A 2 3 B4 C2 éxito
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36 ¿Cuál es mejor? Forward checking: hace menos verificación de consistencia tiene más ramificación más cercano a backtracking Lookahead checking: requiere más trabajo con consistencia prueba menos valores alternativos Usualmente:forward checking es el mejor trade-off Para problemas MUY marcadamente restringidos: se necesita Lookahead checking para podar más
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37 Aplicaciones: Todos los problemas de búsqueda combinatoria Problemas de asignac. de horarios(scheduling): Ej.: reasign. de horarios de trenes cuando ha ocurrido algún problema en las vías Problemas de horarios de trabajo: Ej.: computar rotacs. de trabajo, dadas varias restricc. de expertise y preferencias personales Planeamiento de producción: Ej.:asign.el recorr. óptimo en el lugar de trabajo Problemas de carga: Ej.: optimizar el espacio en un camión dados varios tipos de cargas
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38 Técnicas alternativas Programación lineal técnicas numéricas para resolver sistemas de ecuaciones lineales (e inecuac.) + problemas de optimización Ej.: algoritmo simplex Trabaja MUY bien con restricciones ‘lineales’ 4*X - 3*Y Z + 2 X 3 - 3*Y Z 2 + 2 ¡ SI ! ¡ NO ! Trabaja, pero no MUY bien, con problemas discretos En tales casos: Procesam.de Restricc. es mejor opción También: para problemas de restricciones en datos no numéricos!
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