Cálculo diferencial (arq) Concavidad y puntos de inflexión.

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1 Cálculo diferencial (arq) Concavidad y puntos de inflexión

2 ¿Qué dice f’’ acerca de f?

3 A B f ab A B g ab (a)(b) La figura muestra las gráficas de dos funciones que unen A con B, pero se ven distintas porque se tuercen, la primera hacia arriba y la segunda hacia abajo. ¿Qué características de las funciones f y g nos permiten establecer diferencias entre sus comportamientos?

4 A B f ab (a) A B g ab (b) Al trazar las tangentes vemos que en (a), la curva queda arriba de las tangentes y se dice que f es cóncava hacia arriba en (a; b). En (b) la curva esta abajo de sus tangentes, y se dice que g es cóncava hacia abajo en (a; b) Cóncava hacia arribaCóncava hacia abajo

5 Definición Si la gráfica de f está arriba de sus tangentes en un intervalo I, se dice que es cóncava hacia arriba en I. Si queda debajo de sus tangentes en I, se llama cóncava hacia abajo en I. abcdepq A B C D E P Q abcdepq A B C D E P Q CAB CAR

6 Prueba de concavidad a)Si f  (x) > 0 para toda x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en I. b)Si f  (x) < 0 para toda x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en I. Definición Un punto P de una curva se llama punto de inflexión si en él la curva tiene recta tangente única y pasa de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo y viceversa.

7 Ejemplo Dibuje una gráfica posible para una función f sujeta a las siguientes condiciones: i.f(x) > 0 en (-∞; 1), f(x) < 0 en (1; ∞) ii.f  (x) > 0 en (-∞; -2) y (2; ∞), f  (x) < 0 en (-2; 2) iii.

8 Prueba de la segunda derivada Si f  es continua en la vecindad de c: a)Si f (c) = 0 y f  (c) > 0, f tiene un mínimo local en c. b)Si f (c) = 0 y f  (c) < 0, f tiene un máximo local en c. Ejemplo 6, página 299

9 Ejemplo 7, página 300 Ejemplo 8, página 301