Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Tratamiento de Discontinuidades En.

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1 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Tratamiento de Discontinuidades En esta presentación trataremos con el problema de la ocurrencia de discontinuidades en modelos. Modelos de la ingeniería exhiben frecuentemente discontinuidades que describen situaciones como la conmutación, limitadores, el rozamiento de Coulomb, impulsos y fenómenos similares. El entorno de modelado debe ser capaz de tratar con estos problemas de forma eficiente, porque influencian fuertemente el comportamiento numérico del “resolvedor” de las ecuaciones diferenciales.

2 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Contenido Resolvedores de ecuaciones diferenciales numéricosResolvedores de ecuaciones diferenciales numéricos Discontinuidades en ecuaciones de estadoDiscontinuidades en ecuaciones de estado La integración a través de discontinuidadesLa integración a través de discontinuidades Eventos en el estadoEventos en el estado El tratamiento de eventosEl tratamiento de eventos Funciones multivaloresFunciones multivalores El conmutador eléctricoEl conmutador eléctrico El diodo idealEl diodo ideal El rozamientoEl rozamiento

3 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Resolvedores de EDOs Numéricos Todos los resolvedores numéricos de EDOs en el mercado de hoy funcionan usando extrapolaciones polinomiales. El valor de una variable de estado x al instante de tiempo t+h, donde h es el paso de la integración numérica, se aproxima ajustando un polinomio de orden n tal que coincide en n+1 valores conocidos de suporte de x y de dx/dt al instante de tiempo t y a valores del pasado. El valor del polinomio de extrapolación al instante de tiempo t+h representa la solución aproximada de la ecuación diferencial ordinaria. En el caso de algoritmos implícitos de la integración se usa también el valor de la derivada del estado al instante de tiempo t+h como un valor de suporte.

4 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Ejemplos Algoritmo de integración de Euler explícito de 1 er orden: x(t+h)  x(t) + h · x(t) · Algoritmo de integración de Euler implícito de 1 er orden: x(t+h)  x(t) + h · x(t+h) ·

5 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Discontinuidades en Ecuaciones del Estado Polinomios son siempre funciones continuas y continuamente derivables. Entonces, si las ecuaciones de estado del sistema: exhiben una discontinuidad, el polinomio de extrapolación aproxima la realidad pobremente. Por consecuencia exhiben algoritmos de integración con paso fijo un error de integración largo, mientras que algoritmos de integración con paso variable tienen que reducir el tamaño del paso fuertemente en la proximidad de una discontinuidad. x(t) = f(x(t),t) ·

6 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Integración a Través de Discontinuidades Un algoritmo de integración con paso variable reduce el tamaño del paso en la proximidad de cada discontinuidad. Después de pasar por encima de la discontinuidad, el tamaño del paso tiene que alargarse lentamente, porque el algoritmo de la integración no puede distinguir entre una discontinuidad y un punto local de rigidez larga (con un valor absoluto largo de la derivada). h t Discontinuidades El paso se queda constantemente pequeño. La simulación al menos es muy ineficiente, sino incorrecta.

7 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Eventos en el Estado Estas problemas pueden evitarse si se dice al algoritmo de integración de forma explícita cuando y donde ocurren discontinuidades en la descripción del modelo. Ejemplo: El limitador x f(x) xpxp fmfm xmxm fpfp  m = tg(  ) 1 f = f m 2 f = m·x 3 f = f p f = if x < xm then fm else if x < xp then m*x else fp ;

8 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 El Tratamiento de Eventos I x f(x) xpxp fmfm xmxm fpfp  x xpxp t Umbral h Iteración h x xpxp t Cambio del modelo h h t Evento Reducción del paso durante la iteración

9 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 El Tratamiento de Eventos II h t h t Tamaño del paso en función del tiempo sin tratamiento de eventos Tamaño del paso en función del tiempo con tratamiento de eventos

10 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Representación de Discontinuidades En Modelica, discontinuidades se representan por cláusulas if. En el proceso de la transformación del modelo, estas cláusulas se transformen en descripciones de eventos correctos (conjuntos de modelos con condiciones de cambios). El usuario no tiene que ocuparse de los mecanismos de la descripción adecuada de eventos. Estos se esconden detrás de las cláusulas if. f = if x < xm then fm else if x < xp then m*x else fp ;

11 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Problemas El usuario tiene que tomar en cuenta que la solución numérica temporáneamente sale de la región física durante la iteración. puede ser peligroso, porque abs  p puede asumir temporáneamente un valor negativo. resuelve el problema. q =  |  p |  p = p 1 – p 2 ; abs  p = if  p > 0 then  p else –  p ; q = sqrt(abs  p) ;   p = p 1 – p 2 ; abs  p = noEvent( if  p > 0 then  p else –  p ) ; q = sqrt(abs  p) ;

12 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 La Construcción “noEvent” La construcción noEvent tiene el efecto que cláusulas if y expresiones Booleanas, que normalmente se traducen a códigos de simulación conteniendo descripciones de eventos correctos, se trasfieren directamente a la integración numérica sin modificarlas. De esa forma se pospone el tratamiento de la discontinuidad hasta el tiempo de la simulación cuando se ocupa el algoritmo de control del paso del problema.  p = p 1 – p 2 ; abs  p = noEvent( if  p > 0 then  p else –  p ) ; q = sqrt(abs  p) ;

13 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Funciones Multivalores I Las construcciones sintácticas que introdujimos hasta ahora no sirven para la descripción de funciones multi- valores, como por ejemplo la función de histéresis seca enseñada por debajo. Si x se hace más grande que x p, f debe cambiar su valor de f m a f p. Si x se hace más pequeño que x m, f debe cambiar su valor de f p a f m. x f(x) xpxp xmxm fpfp fmfm

14 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Funciones Multivalores II x f(x) xpxp xmxm fpfp fmfm when initial() then reinit(f, fp); end when; when x > xp or x < xm then f = if x > 0 then fp else fm; end when; } Esa cláusula se ejecuta solamente cuando x se hace más grande que x p o cuando x se hace más pequeño que x m. Ejecutado al principio de la simulación. se hace más grande es más grande

15 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Funciones Multivalores III

16 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 El Conmutador Eléctrico I i u Si el conmutador está abierto, la corriente es i=0. Si el conmutador está cerrado, el voltaje es u=0. 0 = if open then i else u ; La cláusula if de Modelica es no causal. Se ordena en mismo tiempo que todas las demás ecuaciones.

17 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 El Conmutador Eléctrico II Implementación posible:Conmutador abierto: s = 1 Conmutador cerrado: s = 0  0 = s · i + ( 1 – s ) · u  Sw s e f La causalidad del elemento de conmutación es una función del valor de la señal s. Sf Se f = 0 e = 0 Conmutador abierto: Conmutador cerrado:

18 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 El Diodo Ideal I u i Conmutador cerrado Conmutador abierto i u Si u < 0, el conmutador está abierto. No corre ninguna corriente. Si u > 0, el conmutador está cerrado. Corriente puede correr. El diodo ideal se comporta como un corte. open = u < 0 ; 0 = if open then i else u ; D e f

19 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 El Diodo Ideal II Como corriente que corre a través de un diodo no puede interrumpirse es necesario modificar el modelo del diodo levemente. La variable open tiene que declararse como Booleana. El valor a la derecha de la expresión Booleana se asigna a ella. open = u 0 ; 0 = if open then i else u ;

20 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 La Característica del Rozamiento I Fenómenos más complejos, como la característica del rozamiento, tienen que analizarse con mucho cuidado caso por caso. Se habla aquí de como puede hacerse usando el ejemplo del rozamiento. fBfB v R0R0 RmRm -R m -R 0 Rozamiento viscoso Rozamiento seco Si v  la fuerza de rozamiento es una función de la velocidad. Si v , la fuerza de rozamiento se calcula tal que la velocidad mantiene un valor de 0.

21 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 La Característica del Rozamiento II Distinguimos entre cinco situaciones: Pegado:La fuerza de rozamiento compensa la suma de todas las fuerzas conectadas, salvo si |  f | > R 0. Avanzando: La fuerza de rozamiento se calcula usando: f B = R v · v + R m. Retrocediendo: La fuerza de rozamiento se calcula usando: f B = R v · v  R m. Empezando a avanzar: La fuerza de rozamiento se calcula usando: f B = R m. Empezando a retroceder: La fuerza de rozamiento se calcula usando: f B =  R m. v = 0 a = 0 v = 0 a > 0 v = 0 a < 0 v > 0 v < 0

22 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 El Diagrama de Transición entre Estados El conjunto de eventos puede describirse por un diagrama de transición entre estados. Principio Movimiento hacia atrás (v < 0) Aceleración hacia atrás (a < 0) Pegado (a = 0) Aceleración hacia adelante (a > 0) Movimiento h. adelante (v > 0) v < 0v > 0 v = 0  f <  R 0  f >  R 0 a  0 and not v < 0a  0 and not v > 0 v <  v >  v  0 v  0

23 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 El Modelo del Rozamiento I model Friction; parameter Real R0, Rm, Rv; parameter Boolean ic=false; Real fB, fc; Boolean Sticking (final start = ic); Boolean Forward (final start = ic), Backward (final start = ic); Boolean StartFor (final start = ic), StartBack (final start = ic); fB = if Forward then Rv*v + Rm else if Backward then Rv*v - Rm else if StartFor then Rm else if StartBack then -Rm else fc; 0 = if Sticking or initial() then a else fc;

24 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 El Modelo del Rozamiento II when Sticking and not initial() then reinit(v,0); end when; Forward = initial() and v > 0 or pre(StartFor) and v > 0 or pre(Forward) and not v <= 0; Backward = initial() and v < 0 or pre(StartBack) and v < 0 or pre(Backward) and not v >= 0;

25 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 El Modelo del Rozamiento III StartFor = pre(Sticking) and fc > R0 or pre(StartFor) and not (v > 0 or a 0); StartBack = pre(Sticking) and fc < -R0 or pre(StartBack) and not (v = 0 and not v < 0); Sticking = not (Forward or Backward or StartFor or StartBack); end Friction;

26 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Referencias I Cellier, F.E. (1979), Combined Continuous/Discrete System Simulation by Use of Digital Computers: Techniques and Tools, PhD Dissertation, Swiss Federal Institute of Technology, ETH Zürich, Switzerland.Combined Continuous/Discrete System Simulation by Use of Digital Computers: Techniques and Tools Elmqvist, H., F.E. Cellier, and M. Otter (1993), “Object- oriented modeling of hybrid systems,” Proc. ESS'93, SCS European Simulation Symposium, Delft, The Netherlands, pp.xxxi-xli.Object- oriented modeling of hybrid systems Cellier, F.E., M. Otter, and H. Elmqvist (1995), “Bond graph modeling of variable structure systems,” Proc. ICBGM'95, 2 nd SCS Intl. Conf. on Bond Graph Modeling and Simulation, Las Vegas, NV, pp. 49-55.Bond graph modeling of variable structure systems

27 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Referencias II Elmqvist, H., F.E. Cellier, and M. Otter (1994), “Object- oriented modeling of power-electronic circuits using Dymola,” Proc. CISS'94, First Joint Conference of International Simulation Societies, Zurich, Switzerland, pp. 156-161.Object- oriented modeling of power-electronic circuits using Dymola Glaser, J.S., F.E. Cellier, and A.F. Witulski (1995), “Object-oriented switching power converter modeling using Dymola with event-handling,” Proc. OOS'95, SCS Object-Oriented Simulation Conference, Las Vegas, NV, pp. 141-146.Object-oriented switching power converter modeling using Dymola with event-handling