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DISEÑO DE ENGRANAJES
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Los engranajes sirven para transmitir par de torsión y velocidad angular en una amplia
variedad de aplicaciones, existiendo una gran diversidad de ellos para escoger. Es una de las invenciones más antiguas del hombre (ya en el 2600 a.c. los chinos usaron una carroza formada por una serie compleja de engranes).
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Hoy en día los engranajes están ya muy estandarizados en lo que se refiere a forma y tamaño
de dientes. La American Gear Manufacturers Association (AGMA) apoya investigaciones en el diseño, materiales y fabricación de engranes, publicando normas para su diseño, fabricación y ensamble. Aquí seguiremos dichos métodos.
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Los engranajes rectos son el tipo más simple y más común
Los engranajes rectos son el tipo más simple y más común. Se usan para transmitir movimiento entre ejes paralelos y tienen dientes que son paralelos a los ejes de las flechas. En el contacto entre las ruedas engranadas aparecen esfuerzos tangenciales y radiales. Valores Característicos: Número de dientes, z Módulo, m en mm Paso= m
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ruidosos. La disposición de los dientes
Los engranajes helicoidales y cónicos permiten la transmisión entre ejes no paralelos. El acoplamiento en los engranajes de dientes helicoidales es más gradual, por lo que son menos ruidosos. La disposición de los dientes además de los tangenciales y radiales. hace que aparezcan en el contacto esfuerzos axiales, Valores Caracteristicos: Número de dientes, z Módulo, m en mm Paso= m α, ángulo de hélice. Valores habituales de 15º 20º
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Los engranajes cónicos se utilizan para
pudiendo ser de dientes rectos o espirales. transmitir potencia entre ejes que intersectan, Valores Caracteristicos: Número de dientes, z Módulo, m medio en mm Paso= m 1 - 2, ángulos de paso. Ejes perpendiculares: 1 + 2 = 90º DIMENSIONES: • Diámetro medio: • Diámetro de cabeza: • Diámetro de fondo: D= m z D= m (z+2) D= m (z-2,5)
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En la figura se muestra una batidora industrial, en la que podemos ver los diferentes tipos de
engranajes.
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Cuando se requieren relaciones de velocidad elevadas (superior a 3) se recurre a la utilización
de tornillos sin fin. a.) de dientes cilíndricos b.) doble envolvente.
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La forma más sencilla de transferir movimiento rotatorio entre dos ejes es mediante un par
de cilindros, para lo cual es necesario que exista la suficiente fricción en el contacto. Sin embargo, su capacidad de transmisión es baja. Para aumentarla se necesita la adición de dientes de acoplamiento entre los cilindros. Entonces se convierten en engranes o ruedas dentadas, y juntos constituyen un engranaje. Normalmente se llama piñón al menor de los engranes, y rueda a la mayor.
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La ley que la ruedas fundamental de los engranajes dice razón de velocidad angular entre las debe mantenerse constante a través del acoplamiento. Cuando los perfiles de los dientes se diseñan para que esto ocurra, se dice que tienen acción conjugada. La ley básica de la acción conjugada establece que conforme giran los engranes la normal común a las superficies en el punto de contacto debe siempre cortar al eje en el mismo punto P, llamado punto de paso, que define la circunferencia de paso.
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La línea de acción del esfuerzo de
contacto es la tangente común a ambas ruedas. El ángulo entre la línea de acción y el vector de velocidad se presión φ. llama ángulo Los ángulos de presión en engranajes han sido normalizados a unos cuantos valores por los fabricantes de engranes (14.5, 20 y 25º), siendo 20º el más común. La geometría de la involuta hace que se mantenga la relación de velocidades y la línea de acción durante el acoplamiento, como muestra la siguiente figura:
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Una de las soluciones posibles la da el perfil llamado de evolvente (o involuta) que, con
algunas excepciones, es el de uso universal para dientes de engranajes. La involuta de un círculo es una curva que se genera a desenrollar una cuerda tensa en un cilindro:
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En la siguiente figura se muestran dos involutas de dos ruedas engranadas. Los cilindros a
partir de los cuales se producen las cuerdas se conocen como circunferencias de base siendo menores que las circunferencias de paso.
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sobre la circunferencia de paso.
La gran ventaja es que con una forma de diente involuta, los errores en la distancia entre centros no afectan a la razón de velocidades. La relación de velocidades entre las ruedas engranadas cumple: ω piñon = = d rueda i = cte ωrueda d piñon Circunferencia de paso: círculo teórico en que se basan todos los cálculos. Su diámetro es el diámetro de paso (d). Las circunferencias de paso de dos ruedas conectadas son tangentes. Paso circular (p): distancia entre dos puntos análogos de dos dientes consecutivos, medida sobre la circunferencia de paso. p = π d , donde N es el numero de dientes de la rueda. N Módulo (m): índice del tamaño del diente definido por m = d = p N π Dos ruedas conectadas tienen el mismo módulo, de forma que la relación de velocidades: ω p iño n = = d rued a i = cte ωrueda d piñon
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Paso diametral (P): inversa del módulo
= 1 = π P m p Paso base (pb): distancia entre los puntos de contacto de dos dientes consecutivos, medida sobre la normal común pb = p cos φ
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Entre todos los engranajes hay algo de espacio, holgura, ya que en caso contrario no podrían
girar. El resultado es que, desde que el motor comienza a girar hasta que el movimiento se transmite, transcurre un tiempo el motor debe girar una serie de grados para "comerse" las holguras. Una vez en marcha, y mientras no cambie el sentido de giro, el efecto no vuelve a apreciarse. Sin embargo, al cambiar el sentido, el proceso vuelve a comenzar.
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Esfuerzos admisibles en las ruedas dentadas.
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tangencial dadas por el ángulo de presión:
Debido a la forma de los dientes, el esfuerzo de contacto tendrá componentes radial y tangencial dadas por el ángulo de presión: * d M =W ; W =W t t tan φ r t 2
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El análisis de tensiones en engranajes se basa en modificaciones sobre la fórmula de Lewis,
publicada en Para deducir la ecuación básica de Lewis se considera un voladizo como el de la figura, con dimensiones de su sección transversal F y t, longitud l y una carga Wt uniformemente distribuida en toda la distancia F. La tensión en el punto más desfavorable: Wt
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La tensión en el punto más desfavorable:
c M = z = Wt l t = 6 Wt l σ y a max I F t 3 2 F t 2 Z 12 Y por triángulos semejantes t / 2 = l = t 2 ⇒ x x t / 2 4 l Wt 2 x con lo cual: σ a = y definiendo el factor de forma (y) de Lewis: y = , queda 2 F x 3 p 3 Wt Wt P σa = F o utilizando el paso diametral en vez del circular: σ a = p y F γ siendo Y =π ⋅ y , un factor adimensional que depende la forma de diente, variando por tanto con el número de dientes del engranaje.
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En el análisis que se ha realizado se han considerado distintas simplificaciones:
- La carga se aplica en la punta de un solo diente - La componente de esfuerzo radial no se ha considerado - Carga distribuida a lo largo de todo el ancho del diente - No se han considerado las concentraciones de tensiones
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Factor de Lewis para distintos dientes
Number of Lewis form Number of Lewis form Te e tch Factor Te e th factor 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 26 28 30 0.176 0.192 0.210 0.223 0.236 0.245 0.256 0.264 0.270 0.277 0.283 0.292 0.302 0.308 0.314 0.318 34 36 38 40 45 50 55 60 65 70 75 80 90 100 150 200 0.325 0.329 0.332 0.336 0.340 0.346 0.352 0.355 0.358 0.360 0.361 0.363 0.366 0.368 0.375 0.378
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Los procedimientos de diseño tienen en cuenta factores adicionales:
- Efectos dinámicos (vibraciones y ruido por imprecisión en la fabricación) - Concentración de esfuerzos - Relación de contacto (número de dientes en contacto a la vez) Como se ha indicado anteriormente, la AGMA propone una serie de normas y de diseño. La fórmula de Lewis modificada se calcula entonces de la siguiente forma: recomendaciones = Wt P K a K s K m σ F J K v donde: J es el factor de Lewis modificado para tener en cuenta la concentración de esfuerzos y la relación de contacto Ks factor de tamaño Ka factor de aplicación Km factor de distribución de carga Kv factor dinámico
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Factor Geométrico J
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Ka es el factor de aplicación
Ks es el factor de tamaño que tiene en cuenta la falta de uniformidad de las propiedades del material. Normalmente se considera la unidad.
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desalineaciones de los ejes, deflexiones, etc.
Km es el factor de distribución de carga, que tiene en cuenta las posibles desalineaciones de los ejes, deflexiones, etc.
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Kv es el factor dinámico tiene en cuenta las imprecisiones de fabricación. Se define el índice de calidad Qv, siendo las clases 3-7 las de los engranes de calidad comercial, y de de calidad de precisión. El factor dinámico se basa en este índice de calidad.
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Por tanto, las tensiones en el diente varían entre 0 y este valor, con lo cual
se habrá de realizar un análisis de fatiga. El método AGMA propone una la resistencia de comparación de tensión anterior con una tensión máxima admisible (St) para una vida de 107 ciclos de carga, y confiabilidad del 99%:
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Esta resistencia las tendremos que modificar para otros requerimientos:
K L σ = S * adm t K * K T R siendo: KL el factor de duración KT el factor de temperatura (si T<120º, KT = 1) KR el factor de confiabilidad
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KL el factor de duración
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Cp el coeficiente elástico
KR el factor de confiabilidad Pero el diente también puede fallar a causa de la compresión en las zonas de contacto (fenómeno de picadura). El estudio de este fenómeno se basa en las tensiones de contacto de Hertz. La recomendación de la AGMA es considerar una tensión de contacto: Siendo Cp el coeficiente elástico
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establecidos, utilizar mayor que 1), I - factor geométrico: Cf -
Ca - factor de aplicación (ver tabla Ka anterior), Cs - factor de tamaño (=1), Cm - factor de distribución de carga (ver tabla Km anterior), Cv - factor dinámico (ver tabla Kv anterior), establecidos, utilizar mayor que 1), I - factor geométrico: Cf - factor de superficie (no Y esta tensión tendremos que compararla con * C L * C H σ = S c ,adm c C * C T R siendo: CL el factor de duración (ver tabla KL anterior) CT el factor de temperatura (si T<120º, KT = 1) CR el factor de confiabilidad (ver tabla KR anterior) CH el factor de relación de dureza. El piñón tiene menos dientes que la rueda, y por tanto está sujeto a mayor número de ciclos de esfuerzo de contacto. Para equiparar la resistencia a superficie en piñón rueda el piñón se hace más duro que el engrane. Este factor se utiliza sólo para la rueda, para ajustar las resistencias: grados de dureza Brinell con bola de 10mm y carga de 3000kg del piñón y la rueda, respectivamente.
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