Modelos matemáticos. As necessary, the food business operators responsible for the manufacture of the product shall conduct studies in accordance with.

Presentación del tema: "Modelos matemáticos. As necessary, the food business operators responsible for the manufacture of the product shall conduct studies in accordance with."— Transcripción de la presentación:

1 Modelos matemáticos

2 As necessary, the food business operators responsible for the manufacture of the product shall conduct studies in accordance with Annex II in order to investigate compliance with the criteria throughout the shelf-life. In particular, this applies to ready-to-eat foods that are able to support the growth of Listeria monocytogenes and that may pose a Listeria monocytogenes risk for public health. COMMISSION REGULATION (EC) No 2073/2005 of 15 November 2005 on microbiological criteria for foodstuffs Article 3

3 When necessary on the basis of the abovementioned studies, the food business operator shall conduct additional studies, which may include: predictive mathematical modelling established for the food in question, using critical growth or survival factors for the micro-organisms of concern in the product, Annex II

4 Generalidades sobre los modelos matemáticos predictivos Generalidades sobre los modelos matemáticos predictivos

5 Every model is wrong. The question is, how much wrong still useful it can be. (Box and Draper)

6 MICROBIOLOGÍA PREDICTIVA Campo de estudio que combina elementos de microbiología, matemáticas y estadística para desarrollar modelos que describan y predigan matemáticamente el crecimiento o muerte de los microorganismos, cuando se les somete a condiciones medioambientales específicas (Whiting, 1995).

7  Los modelos son descripciones simplificadas de la realidad  La realidad descrita por el modelo es una parte de la realidad total llamada espacio modelo

8  Los modelos deben reflejar lo que está pasando y deben ser capaces de predecir con precisión los estados presente y futuro de las cosas que describen  Hay que ser conscientes de que un modelo no puede dar una representación total de la realidad. Un modelo particular puede describir algún aspecto de forma muy adecuada mientras que falla en la descripción de otro

9 Suposiciones en modelización Espacio Modelo: No se puede modelizar todo, hay que escoger la parte de la realidad que se quiere modelizar. A esto se le llama espacio modelo y no tiene conexión con el resto de la realidad espacio modelo realidad

10 Se define como todos los factores que juegan un papel en la determinación del fenómeno bajo estudio, los conocidos y no conocidos Espacio modelo:

11 Fenómeno: Los modelos se usan para describir relaciones entre variables dependiente e indepen- dientes. V. dependiente V. Independientes Relación Fenómeno

12 Para poder modelizar un fenómeno en un espacio modelo determinado es necesario entender la relación entre las variables depen- diente e independientes. Este ejercicio ayudará a elegir el modelo apropiado

13 Microbiología predictiva El objetivo de la microbiología predictiva es conseguir un Espacio Modelo para describir un Fenómeno de forma matemática o probabilística Espacio modelo Fenómeno Medioambiene Temperatura pH aw Respuesta microbiana Crecimiento Inactivación

14 La microbiología predictiva no revela, generalmente, comportamientos inesperados de los microorganismos. La Microbiología predictiva cuantifica los efectos de la interacción entre dos o más factores y permite la interpolación de combinaciones de factores no comprobados de forma explícita

15 Clasificación de los modelos Modelos de nivel primario: Modelos de nivel secundario: Superficie de respuesta Modelo de Bigelow Modelos de nivel terciario: Tejedor y Martínez

16 Los modelos de nivel primario describen cambios en el número de microorganismos u otras respuestas microbianas con el tiempo. inactivación crecimiento

17 Los modelos secundarios describen las respuestas de los parámetros de los modelos primarios a los cambios en las condiciones medioambientales Ln(spec.g.rate) NaCl (%) pH superficie de respuesta

18 Los modelos terciarios son programas de ordenador que transforman a los modelos primarios y secundarios en herramientas de facil uso para los usuarios del modelo Inactivación crecimiento

19 Consideraciones en el desarrollo de un modelo  Precisión en el ajuste.  Capacidad de predecir combinaciones de factores no probadas.  Incorporación de todos los factores relevantes.  Que tenga el mínimo número de parámetros.  Especificación del término de error.  Los parámetros deben tener un significado biológico y valores realistas.  Reparametrización si se mejoran las propiedades estadísticas.

20 Termoresistencia y Modelos primarios de inactivación/supervivencia

21 Obtención de datos experimentales A) Tratamiento térmico isotérmico B) Tratamiento térmico no isotérmico B.1) La temperatura de la muestra varía con el tiempo B.2)La temperatura de la muestra varía con el tiempo y después permanece constante hasta la fase de enfriamiento

22 Modelos de inactivación: Velocidad alta de muerte de los microorganismos por la acción de un agente activo Modelos de supervivencia: Disminución de la carga microbiana de forma mas lenta y no implica esterilidad comercial Los modelos matemáticos son los mismos en ambos casos

23 Capilares Data logger Baño calentamientoBaño enfriamiento

24 Capilares

25 Detalle termorresistómetro

26 Modelos primarios La modelización matemática comenzó en 1920 con los cálculos de tiempo de destrucción térmica. Los valores D y Z se usaron con éxito para asegurar que los alimentos enlatados estaban libres de riesgo de alteración por Cl. botulinum Estos modelos establecen la relación existente entre el tiempo y la inactivación de un microorga- nismo a una temperatura dada. A) Modelos logarítmicos

27 Los datos experimentales para la obtención de los parámetros, D y Z, que definen la inactivación de los microorganismos se pueden analizar de diferentes maneras:  Dos regresiones lineales consecutivas  Una regresión no lineal en un solo paso

28 DTDTDTDT Tiempo de exposición Log. supervivientes 1 2 3 Curva de supervivencia Dos regresiones lineales

29 LnN=LnNo-kt

30 lgN=lgNo-(k/2,303)t

31 z Temperatura Log D T D T1 D T2 T1T1T1T1 T2T2T2T2 Curva de muerte térmica

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33 log NNo D t R TT z R           1 10 Tratamiento isotérmico Una regresión no lineal

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36 Curvas de equivalencia

37 Residuos normales con media cero

38 Regiones de confianza conjunta

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40 D (min) Z (ºC) 12345 6 8 10 12 14 118 ºC Z (ºC) 24681012 6 8 10 12 14 115 ºC Efecto del pH sobre el valor D del B. stearothermophilus en ensaladilla D (min)

41 D (min) Z (ºC) 11,21,41,61,82 6 8 10 12 14 121 ºC D (min) Z (ºC) 012 6 8 10 12 14 125 ºC Efecto del pH sobre el valor D del B. stearothermophilus en ensaladilla

42 Tiempo de exposición Log. supervivientes 1 2 3 Diferentes tipos de curvas de supervivencia Hombro Cola Lineal Concavidad hacia abajo Concavidad hacia arriba

43 Los hombros se han atribuido:  a la necesidad de mas de un evento dañino  a la necesidad de una activación de las esporas

44 Teoría vitalista Presencia de colas Distribución de termorresistencia Teoría mecanicista La termorresistencia depende del ciclo celular en que se recoja

45 Presencia de artefactos experimentales Mezcla de poblaciones La curva de supervivencia es una forma acumulativa de distribución de eventos letales con el tiempo Cada organismo individual o espora de una población muere a un tiempo específico Otras explicaciones Nueva aproximación

46 0816243240 Time (min) 85°C 90°C 95°C 100°C S(t) (N/No) AVTZ415 strain 0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 Curvas con hombros

47 n        a t - e S(t) Función de supervivencia a= Scala n= Forma

48 El parámetro de forma “n” se puede considerar como un índice de comportamiento Si n >1 describe una curva con hombro Si n < 1 describe una curva con cola Si n = 1 la curva de supervivencia sera lineal en coordenadas semilogarítmicas y se comportará como una reacción de primer orden El parámetro de escala “a”se puede considerar como una constante de velocidad de reacción. Similar al Valor D

49 0.003.206.409.6012.8016.00 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 95°C 97.5°C 100°C 102.5°C 105°C S(t) (N/No) AVZ421 strain Curvas de supervivencia

50           n a t e 1-nn- tnaf(t) Función de densidad frecuencia de muertes por unidad de tiempo

51 0.001.803.605.407.209.00 Tiempo (min) 0.00 0.09 0.18 0.27 0.36 0.45 AVZ421 strain Frecuencia (1/min) Curva de distribución

52  n1a tc   Función Gama Medida de la resistencia térmica

53 t N (min) N obs N W N B 0 4 8 12 16 19900000 13266000 8360000 3450000 1417000 19900000 13710010 7629650 3759861 1688864 24130989 12433299 6406158 3300722 1700671 A f -1.101.20 Comparación entre el número supervivientes experimentales y predichos Comparación entre el número supervivientes experimentales y predichos

54 TWeibull distributionBigelow model (ºC)scale (a)shape (n)tc (min)D (min) 95.0 97.5 100.0 102.5 105.0 8.3 4.5 2.10 1.35 0.65 1.36 1.72 1.58 2.03 1.69 8.0 4.0 1.85 1.20 0.58 14  5 a 5.9  1.5 2.5  0.5 1.5  0.5 0.76  0.18 z (ºC)(8.9)8.1 Parámetros para la distribución de Weibull y valor D Parámetros para la distribución de Weibull y valor D

55 0.002.404.807.209.6012.00 Tiempo (min) 0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 Fracción supervivientes Curva de supervivencia para Bacillus pumillus en condiciones isotérmicas Curva de supervivencia para Bacillus pumillus en condiciones isotérmicas

56 )(              t tLnS Función de supervivencia n a

57 0.00 2.20 4.40 6.60 8.80 11.00 Tiempo( min ) -15 -12 -9 -6 -3 0 90 º C a =5.47, n =0.32 Ln fraction of survivors Curva de supervivencia para Bacillus pumillus mediante Weibull en condiciones isotérmicas Curva de supervivencia para Bacillus pumillus mediante Weibull en condiciones isotérmicas

58 Ventajas de los métodos no isotérmicos  Se obtiene una gran información de cada experimento  Se ahorra tiempo  Se ahorra material y costo en mano de hobra  Son mas cercanos a lo que en realidad pasa en un proceso industrial Métodos no isotérmicos

59 Tratamiento no isotérmico                             n i z TT R t D Log N No Log R 1 10 1 Ecuación 1

60 a z TT z TT D z N No Log R R 110 ln 0 0                    a=Velocidad de calentamiento Ecuación 2

61 Cálculo de las regiones de confianza conjunta

62 Temperature (°C) Isothermic heating D values (min)Non-isothermic heating D values (min) 1189.0310.49 1213.084.38 1250.931.37 z (°C)77.90 No isotérmico con tramo isotérmico

63 0 1 2 3 4 5 6 7 116118120122124126128 Temperatura (ºC) Log N experimental predicho Bacillus stearothermophilus

64 Distribución de residuos

65 Regiones de confianza conjunta

66 TemperatureD (min) (ºC) non-isothermalIsothermal a 85 90 95 100 16.0 3.93 0.96 0.236 17.1 a 4.04 a 0.95 a 0.225 a z (  C) 8.197.97 a A f b 1.11 Bacillus cereus

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68 Modelos secundarios de inactivación

69 Modelos secundarios Tanto los parámetros que definen las curvas de Inactivación D ó z, como los que definen las curvas De crecimiento , se ven afectados por factores Mediombientales pH, ClNa, aw, entre otros.

70 Los modelos probabilísticos o matemáticos que relacionan las variables dependientes, parámetros cinéticos, con los factores medioambientales son los denominados modelos secundarios

71 Modelos secundarios de inactivción Modelo basado en la ecuación de Arrhenius (Davey, 1993) Lnk = c 0 +(c 1 /T)+c 2 pH+c 3 (pH) 2 + 

72 Modelo basado en la ecuación de Bigelow (Mafart y Leguérinel, 1998) LogD = LogD*-(1/z T )(T-T*)-(1/z pH ) 2 (pH-pH*) 2 + 

73 Modelo cuadrático polinomial (Fernández y col., 1996) LogD = c 1 +c 2 T+c 3 pH+c 4 (T  pH)+c 5 T 2 +c 6 (pH) 2 + 

74 Modelo básico (Fernández y col., 1996) LogD = c 1 +c 2 T+c 3 pH+ 

75 Curvas con colas o con hombros Modelo basado en la distribución de Frecuencia de Weibull (Fernández y col., 2001)

76 VALIDACIÓN Y EVALUACIÓN DE LOS MODELOS  Con nuevos datos obtenidos de forma independiente  En condiciones reales de elaboración del alimento  A través de ciertos índices (Estadísticamente)

77 ANÁLISIS DE LOS MODELOS Indices estadísticos  Coeficiente de determinación  Estudio de los residuos  Datos influyentes  Multicolinealidad  Índices para evaluar modelos en microbiología de alimentos

78 Coeficiente de determinación Este coeficiente indica la proporción de variabilidad de las observaciones de la variable dependiente (lnK) explicada por el conjunto de las variables independientes consideradas en cada caso.

79 Estudio de los residuos Los residuos se definen como la diferencia entre el valor observado de la variable dependiente y el valor ajustado en el modelo.

80 Pruebas habituales para los residuos Descriptivas básicas Test de normalidad (Kolmogorov-Smirnov) Linealidad, homocedasticidad y valores atípicos Autocorrelación entre residuos consecutivos (Durbin-Watson)

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