Grafos planos Jose hungria.

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1 Grafos planos Jose hungria

2 Grafos planos En teoría de grafos, un grafo plano (o planar según referencias) es un grafo que puede ser dibujado sin que ninguna arista se intersete,(una definición más formal puede ser que este grafo pueda ser "embebido" en un plano).

3 Grafos planos Un grafo no es plano si no puede ser dibujado sobre un plano sin que sus aristas se interseten. Los grafos K5 y el K3,3 son los grafos no planos minimales, lo cual nos permitirán caracterizar el resto de los grafos no planos.

4 grafos no planos grafos k5 y k3,3

5 Grafos planos figura 1 figura 2

6 Grafos planos Teorema de Kuratowski
El matemático polaco kazimierz kuratowski encontró una caracterización de los grafos planos, conocida como el teorema de Kuratowski

7 Grafos planos Un grafo es plano si y solo si no contiene un subgrafo que es una subdivision elemental de K5 (el grafocompleto de 5 vertices) o K3,3 (elgrafo bipartito completo de 6vertices).

8 Grafos planos Una subdidivision elemental de un grafo resulta de insertar vértices en las aristas (por ejemplo, cambiando •——• por •—•—•). Una formulación equivalente a este teorema es:

9 grafos planos Un grafo es plano sí y solo sí no contiene ningún subgrafo homeomorfo a K5 ó K3,3.

10 grafos planos La fórmula de Euler enuncia que si un grafo conexo, plano es dibujado sobre un plano sin intersección de aristas, y siendo v el número de vértices, e el de aristas y f la cantidad de caras (regiones conectadas por aristas, incluyendo la región externa e infinita), entonces: v − e + f = 2,

11 grafos planos En un grafo simple, conexo y plano, cualquier región (posiblemente exceptuando la exterior) está conectada por al menos tres aristas y cada arista toca como mucho dos regiones. Usando la fórmula de Euler, se puede demostrar que estos grafos son escasos en el sentido que e ≤ 3v - 6 si v ≥ 3..

12 grafos planos Se le dice plano maximal al grafo que es plano pero al agregarle cualquier arista dejase de serlo. Todas las regiones (incluso la externa) están conectadas por tres aristas, explicando la definición alternativa de triangular para este tipo de grafos. Si un grafo triangular tiene v vértices con v > 2, entonces tiene exactamente 3v - 6 aristas y 2v - 4 regiones.

13 grafos planos En la práctica, es difícil usar el teorema de Kuratowski para decidir rápidamente si un grafo es plano. Sin embargo, existe un algoritmo rápido para este problema: dado un grafo de n vértices y e el número de aristas, es posible determinar en tiempo O(n) (lineal) si el grafo es plano o no, utilizando los dos teoremas siguientes:

14 Teorema 1. Si n ≥ 3 entonces e ≤ 3n - 6
grafos planos Teorema 1. Si n ≥ 3 entonces e ≤ 3n - 6 Teorema 2. Si n > 3 y no existen ciclos de longitud 3, entonces e ≤ 2n - 4

15 grafos planos El grafo K3,3, por ejemplo, tiene 6 vértices, 9 aristas y ningún ciclo de longitud 3. Por el teorema 2, no puede ser plano. Nótese que estos teoremas están construidos con una implicación unidireccional (si), y no bicondicional (si y solo si) y por tanto, solamente pueden ser usados para probar que el grafo no es plano, pero no que sea plano. Si ambos teoremas fallan, deben usarse otros métodos

16 grafos planos Tomado de wikipedia