Sobre borrachos que caminan y porque son un modelo adecuado de transporte molecular.

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1 Sobre borrachos que caminan y porque son un modelo adecuado de transporte molecular.

2 Robert Brown Rutheford Gilbert (El presi) Dalton Cavendish Ronalds (Telegrafo) Amigotes arrancando el siglo XIX

3 La génesis del Movimiento Browniano: Hipótesis 1: Es movimiento vital. En contra? Hipótesis 2: Es movimiento de un baño de moleculas. En contra: 1)Como pueden moléculas tan pequeñas desplazar cuerpos tan grandes 2)Cada choque se produce cada 10 -12 segundos. El ojo resuelve (ergo el cine) cada 30 milisegundos. Como podemos ver este movimiento?

4 Simulando movimiento Browniano

5 Modelando (matematizando, conceptualizando) el movimiento Browniano

6 Jugándose el destino al azar ¿A donde se va? A diferencia de la física que vimos hasta aquí, el resultado de este proceso es probabilístico. Comprender el problema ya no se trata de responder: “En 10 segundos llega a Mar del Plata” sino en 10 segundos lo mas probable es que este en Mar del Plata, es posible (estrellitas prohibidas!) que este en Chascomus, e imposible que este....

7 RANDOM WALKS: ¿a dónde se va cuando uno camina al azar? Posición en función del tiempo para 10 caminatas distintas ¿Como caracterizar este proceso? ¿cómo hacer para visualizar miles de caminatas?

8 RANDOM WALKS: ¿a dónde se va cuando uno camina al azar? Posición en función del tiempo para 10 caminatas distintas ¿Como caracterizar este proceso? ¿cómo hacer para visualizar miles de caminatas?

9 RANDOM WALKS: ¿a dónde se va cuando uno camina al azar? Posición en función del tiempo para 5000 caminatas distintas ¿Como caracterizar este proceso? ¿cómo hacer para visualizar miles de caminatas?

10 RANDOM WALKS: ¿a dónde se va cuando uno camina al azar? Posición en función del tiempo para 5000 caminatas distintas ¿Como caracterizar este proceso? ¿cómo hacer para visualizar miles de caminatas? T=20

11 RANDOM WALKS: ¿a dónde se va cuando uno camina al azar? Posición en función del tiempo para 5000 caminatas distintas ¿Como caracterizar este proceso? ¿cómo hacer para visualizar miles de caminatas? T=100

12 RANDOM WALKS: ¿a dónde se va cuando uno camina al azar? Posición en función del tiempo para 5000 caminatas distintas ¿Como caracterizar este proceso? ¿cómo hacer para visualizar miles de caminatas? T=200

13 RANDOM WALKS: ¿a dónde se va cuando uno camina al azar? ¿cuál es el desplazamiento medio del ensamble?

14 RANDOM WALKS: ¿a dónde se va cuando uno camina al azar? ¿cuál es la dispersión (std)? Las distribuciones suelen ser mas ricas (e informativas) que lo que resumen un par de números. En este caso, entendiendo la media y la std entendemos casi todo. Std(random walk)

15 Oda al Maestro ¿Qué es esto? {1,4,7,10,13,16,19,22,25,28…}

16 partícula i es independiente de la partícula j Paro donde estoy, tiro una moneda. Si sale cruz – un paso para la derecha. Si sale cara – un pasito para la izquierda RANDOM WALKS: Un poco de álgebra, y ejercicio de lectura. La derivada! Una ecuación diferencial estocástica.

17 ¿cómo demostrar que el promedio es cero? RANDOM WALKS: Un poco de álgebra, y ejercicio de lectura. Esto es cero por definición de random-walk. Demostración por inducción: 1)Vale para el primero. 2)Si vale para (n-1) vale para (n)

18 ¿cómo demostrar la dispersión de un RW? RANDOM WALKS: Un poco de álgebra, y ejercicio de lectura. Demostración por inducción: 1)Vale para el primero. 2)Si vale para (n-1) vale para (n) ¿Cual de estos dos es fácil de calcular? ¿por qué estas dos cantidades son distintas?

19 RANDOM WALKS: Un poco de álgebra, y ejercicio de lectura. Cero. La clave es que el paso es independiente. Para cada trayectoria, de un valor x, con un pasito para lante, existe otra con un pasito para atrás … ¿cómo demostrar como crece la varianza?

20 RANDOM WALKS: Un poco de álgebra, y ejercicio de lectura. Es decir, la varianza aumenta una cantidad fija en cada paso Si el numero de pasos es proporcional al tiempo entonces

21 ¿cómo demostrar como crece la varianza? RANDOM WALKS: Un poco de álgebra, y ejercicio de lectura. (Tiempo entre dos colisiones) (Distancia entre dos colisiones)

22 Causas y azares: Un poquito quien sabe para donde, y otro poquito para alla Reglas del juego: Cada paso me muevo D para arriba, tiro una moneda y me muevo R para arriba si sale cara y R para abajo si sale estrella. ¿A dónde llego? D, el paso determinista. R, el paso azaroso.

23 RANDOM WALKS: ¿a dónde se va cuando uno camina al azar? Posición en función del tiempo para 10 caminatas distintas ¿Como caracterizar este proceso? ¿cómo hacer para visualizar miles de caminatas?

24 RANDOM WALKS FORZADOS: ¿a dónde se va cuando se camina con algo de orden y algo de azar? Aun cuando la marcha determinista era hacia “arriba” existen caminatas que luego de un largo rato se encuentran abajo. ¿Es esto posible? ¿Hasta cuando?

25 RANDOM WALKS: ¿a dónde se va cuando uno camina al azar? Posición en función del tiempo para 5000 caminatas distintas

26 RANDOM WALKS: ¿a dónde se va cuando uno camina al azar? Posición en función del tiempo para 5000 caminatas distintas

27 partícula i es independiente de la partícula j La memoria RANDOM WALKS: Un poco de álgebra, y ejercicio de lectura. La derivada! Una ecuación diferencial estocástica. La componente determinista (D) La estocasticidad, el ruido, la temperatura, las fluctuaciones (R) Un numero importante

28 1) Ciencia “Aplicada”. Ejercicio de transporte arquetípico: moléculas, pensamientos, finanzas, nanocosas y otras tantas yerbas. 2) Ciencia básica. ¿ cuándo llego a destino si marcho en una caminata al azar? ¿Y a que destino llego? 3) Héroes de la historia contemporanea. Europa-Europa. Engima y la pertinencia de decidir bien y a tiempo.

29 El maestro: Alan Turing Enigma Implementación neuronal de los tres pasos: 1)Un método para cuantificar el peso de la evidencia de un evento individual a favor de distintas alternativas. (EL VOTO) 2)Un método para acumular y actualizar el peso proveniente de eventos múltiples. (LA ACUMULACION DE VOTOS) 3)Una regla de decisión para determinar si la evidencia era suficiente para determinar la hipótesis mas probable. (LA RESOLUCION)

30 PLANTEANDO EL PROBLEMA Usted es un Romano y esta aquí Usted quiere llegar acá (meta) Usted NO quiere llegar acá. Esta flecha representa el tiempo. + Usted hace una caminata al azar con un forzado Preguntas: 1)¿Cuánto tiempo tarda en llegar? 2)¿Cuál es la probabilidad de llegar al lugar equivocado?

31 Las reglas del juego Esta flecha representa el tiempo. E: El paso determinista (tiene una dirección) T: El paso estocástico (se da con igual probabilidad en ambos sentidos) B A (umbral) Res=A Tiempo=t t Res=B Tiempo=t2 t2

32 “Las neuronas que votan” “Las neuronas que integran o acumulan el voto” “Las neuronas que determinan el umbral”

33 La neurofisiología de la toma de decisiones Simulacro en el laboratorio de la toma de decisiones en un mundo incierto.

34 Mov = 11 Acum = 11 11 22 Mov = 6±ε Acum = 6 ±ε 33 11 44 11 ε cuantifica las fluctuaciones y por lo tanto Su peso relativo disminuye con el numero de partículas

35 Mov = 6±ε Acum = 6 ±ε

36 “Las neuronas que votan”

37 Neuronas que codifican la cantidad y dirección de movimiento Estas neuronas pueden dar un voto en favor de una decisión. La magnitud del “voto” es proporcional a la cantidad de movimiento. Neuronas en MT Un clásico de la fisiología tiempo Potenciales de acción (intensidad de la repuesta neuronal) Primer ensayo (cada punto representa un disparo) Décimo ensayo (el estimulo es el mismo, la respuesta ligeramente variable)

38 Neuronas que codifican la cantidad y dirección de movimiento Estas neuronas pueden dar un voto en favor de una decisión. La magnitud del “voto” es proporcional a la cantidad de movimiento. Neuronas en MT Un clásico de la fisiología Cada línea es un ensayo. Las respuestas de las neuronas son ruidosas y por lo tanto hay que promediarlas. El experimentador hace esto midiendo muchas veces. Y un sujeto decidiendo: ¿Como resuelve el ruido? Promedio tiempo Potenciales de acción (intensidad de la repuesta neuronal) Flucutuaciones

39 Neuronas que codifican la cantidad y dirección de movimiento Estas neuronas pueden dar un voto en favor de una decisión. La magnitud del “voto” es proporcional a la cantidad de movimiento. Neuronas en MT Un clásico de la fisiología Neuronas de derecha. Neuronas de izquierda (no responden al movimiento a la derecha) Las neuronas responden gradualmente a la cantidad de movimiento. Dan un voto “graduado”.

40 Un codificador de movimiento provee el sustrato necesario para decidir hacia donde se mueven los puntos ¿Falta algo? Neuronas en MT Un clásico de la fisiología En cada momento estas neuronas reportan el estado del presente perceptual

41 “Las neuronas que integran o acumulan el voto”

42 Cuando se llega a suficiente evidencia ¿cuánto es suficiente? Se ejecuta la decisión. Neuronas en LIP Integracion ruidosa: Un random-walk forzado integra (promedia en el tiempo) la evidencia provista por las neuronas de MT EL ACUMULADOR: Conteo de todos los votos en el tiempo. Como los votos son ruidosos, esto resulta en un random walk. Estimulo Respuesta

43 Neuronas en LIP EL ACUMULADOR: Conteo de todos los votos en el tiempo. Como los votos son ruidosos, esto resulta en un random walk. El proveedor y el acumulador de votos. ¿Hasta cuando acumulan? El estimulo, luego de una latencia, empiezan a acumular. Un Random Walk forzado. La pendiente indica el forzado y es proporcional a la coherencia. Cuanto mayor la pendiente, se llega antes al umbral y el tiempo de respuesta es menor.

44 Neuronas en LIP EL ACUMULADOR: Conteo de todos los votos en el tiempo. Como los votos son ruidosos, esto resulta en un random walk. El estimulo, luego de una latencia, empiezan a acumular. Un Random Walk forzado. La pendiente indica el forzado y es proporcional a la coherencia. Cuanto mayor la pendiente, se llega antes al umbral y el tiempo de respuesta es menor.

45 Respuestas agrupadas en el momento de la respuesta. Todas las respuestas se realizan cuando el integrado neuronal llega al umbral. Existe de hecho otro circuito que responde en el momento que el integrador alcanza el umbral, lanzando la respuesta. Para aquel entonces –pese a que uno no lo supiese – la decision estaba tomada. Puede de hecho manipularse una decisión. ¿Se puede hackear el codigo?

46 Poniendo a prueba la teoría: ¿Se puede forzar una decisión estimulando una neurona? Estimulo en MT – Es “como si” cambiase la evidencia con que se nutre al random walk. Como si el detector de movimiento detectase mayor coherencia. Resultado: Aumenta la pendiente.

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50 La carrera entre una partícula a velocidad constante y una caminata al azar.

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62 EL RESULTADO DE MUCHAS CARRERAS Física del CBB Mecánica Determinista Rectilineus uniformus El destino de una caminata al azar, diluirse es una forma (extremadamente lenta) de moverse. δ Para una molécula en agua a temperatura ambiente, D es aproximadamente

63 TRANSPORTE TERMICO Y ACTIVO, COLECTIVOS, KINESINAS Y LAS CALLES DE PARIS El problema mixto. En este ejemplo sencillo se factoriza la media y la varianza.

64 TRANSPORTE TERMICO Y ACTIVO, COLECTIVOS, KINESINAS Y LAS CALLES DE PARIS: Descubriendo la maquinaria viendo su trayectoria. En física “Newtoniana” velocidad constante equivale a ausencia de fuerzas. Con disipacion (viscosidad, rozamiento, friccion, todo lo que sucede en la escala molecular) esto equivale a fuerza constante (que hace trabajo). Por lo tanto, si veo una particula moviendose a velocidad constante puedo inferir (AUNQUE NO LA VEA!) la existencia de un mecanismo activo, que consume energia, que media el transporte. (siguiente capitulo)

65 TRANSPORTE TERMICO Y ACTIVO, COLECTIVOS, KINESINAS Y LAS CALLES DE PARIS: Descubriendo la maquinaria viendo su trayectoria. Transporte térmico. 1)No es dirigido – algunas particulas llegan y otras se pierden (la esperanza de los ratchets). 2)Es lento … progresivamente lento (x(t)/t) decrece… 3)Puede ser pasivo (por difusion) o activo (por propulsion) en una trama intrincada como el citoesqueleto, o las calles de Paris

66 Dos versiones canónicas de caminatas al azar: 1) Por fluctuaciones térmicas 2) Por movimiento en un espacio “laberintico” El autentico, verdadero, genuino. Un coeficiente de difusión con pedigrí kT, densidad, masa... Uno define un coeficiente de difusión a partir de esta relación, como una suerte de abuso de notación.

67 Arrastrando moléculas en un baño térmico. Aprox 14 hs para recorrer 1cm. ¿Y cuanto tiempo para recorrer 10 cm?

68 Alexander Fleming Alexander Fleming y su Lisozima ¿Cuanto tiempo tarda esta molécula en cruzar (sin obstrucciones) de un lado al otro del aula? A) 1ms B) 1s C) 1 minuto D) 1 hora E) 1 día F) 1 año G) 1 siglo And the answer is…. (la velocidad de una moto)

69 El recetario del Dr Cureta (algunas ecuaciones para ir recordando)

70 Sedimentos, atmósferas, orbítales, potenciales, temperatura y sueños. Una ecuación importante. Feynman (Cap 40) Nelson (Cap 3.2)

71 Planck Perrin Marie Curie Alberto Poincare Rutheford Solvay 1911

72 Una atmósfera en un baño térmico (aproximación 1 – temperatura constante) El pequeño agujero negro que todos llevamos adentro. Mg Aproximación 2 – Fuerza gravitatoria constante Pregunta 1: ¿Que distribución tienen estas partículas? Pregunta 2: ¿Que tiene que ver con esto?

73 Mg Caso extremo I: No hay temperatura (Símil Física I)

74 Mg Caso extremo I: No hay temperatura (Símil Física I) Se van todas para el fondo (porque el medio, o la superficie tiene rozamiento, si no oscilarían...)

75 Caso extremo II: No hay gravedad (Símil Física II – Primeros dias) El gas esta en equilibrio. La densidad es uniforme

76 T Mg Aproximación 2 – Fuerza gravitatoria constante ¿Y en este juego de dos jugadores (Gravedad y Temperatura)?¿Que?

77 T Mg Aproximación 2 – Fuerza gravitatoria constante ¿Y en este juego de dos jugadores (Gravedad y Temperatura)?¿Que? Compromiso platónico: Mas abajo que arriba, de hecho a media que uno sube la densidad disminuye exponencialmente. Este decrecimiento ha de estar ponderado por algo del estilo g/T.

78 h h+dh En ausencia de gravedad Es decir P es constante Y dado que P constante, equivale a n (es decir, la densidad) constante.

79 Mg h h+dh Con gravedad La diferencia de presiones a de compensar la fuerza gravitatoria “El paso magico, hemos puesto en relación g (mecánica) con P (termodinámica)

80 Mg h h+dh (Equilibrio) (Newton) (Gases) dh - - (Dividiendo)

81 La solución Compromiso salomónico: Mas abajo que arriba, de hecho a media que uno sube la densidad disminuye exponencialmente. Este decrecimiento ha de estar ponderado por algo del estilo g/T. T E(h) p (para una partícula, esto es una probabilidad)

82 Sedimentos, atmósferas, orbítales, potenciales, temperatura y sueños. Una ecuación importante.

83 El recetario del Dr Cureta (algunas ecuaciones para ir recordando) MgMg h h+dh El equilibrio en presencia de fuerzas y agitación térmica Relación entre cinética y temperatura Sobre el movimiento de partículas en un baño térmico

84 Mas sobre fuerzas (a la newton) y termodinámica. Arrastrando una partícula en un baño térmico. El caso general, otra ecuación importante de personaje celebre. Feynman (Cap 43) Berg (Cap 4) Nelson (Cap 4) Extra Extra: Buscar en la web teoremas de fluctuación-disipación.

85 Un gas de juguete (en una dimensión) en el que las cuentas son sencillas. La partícula choca a un tiempo promedio T. Los choques térmicos se modelan sencillamente como una inversión de la velocidad (v+ o v-). La partícula además esta sometida a una fuerza externa F. F δV-V+

86 F δV-V+ El camino recorrido es: Con lo que el camino, en promedio, recorrido por una partícula en un tiempo T es: Que expresado en términos de la fuerza es: Ergo, la velocidad media es: Y por ende, primer resultado importante con En un flipper, la pelota cae, en promedio con velocidad proporcional a la pendiente.

87 Un modelo un poco mas sencillo de visualizar: en cada choque una partícula entrega toda la energía cinética al medio. (Entre choques) (En cada choque ) F V-V+ t v Partícula Newtoniana La velocidad aumenta con pendiente F/m Partícula en un campo de Fuerza F sumergida en un baño térmico.

88 (Entre choques) (En cada choque ) t v Partícula en un campo de Fuerza F sumergida en un baño térmico. Si observo en una escala de tiempo pequeña (menor que el tiempo típico de choques) parece un problema Newtoniano. La fuerza realiza trabajo, inyectando energía que la particula absorbe acelerandose y aumentando la energia cinetica. En una escala de tiempo microscópica (mayor que el tiempo típico de choques) la partícula avanza fluctuando alrededor de una velocidad media constante, que llamamos v_arrastre. ¿Cuánto vale?

89 F δV-V+ I. Lectura de la ecuación Un modelo molecular “de juguete” de viscosidad. En un arrastre con choques térmicos, la velocidad (y no la aceleración) es proporcional a la fuerza. II Pregunta: ¿Se podrá encontrar una relación termodinámica entre el coeficiente de arrastre y variables termodinámicas como la temperatura o la difusión? Respuesta: SI

90 F δV-V+ Las ecuaciones necesarias del recetario C: De este problema especifico. Cinética Difusión “ A traves de v” relacionar los  y  con KT Relacionar los  y  con D Llegamos a una relación simple entre D, f y T. Ahora parar y mirar.

91 Marian Smoluchowski La relacion de Einstein - Smoluchowski Einstein haciendo la gran Laplagne

92 La relacion de Einstein - Smoluchowski Lo que NO esta NI de un lado NI del otro de la ecuación (las cantidades ausentes) Por ejemplo la masa o el tamaño de la partícula. D y f, si dependen de estos valores, pero su producto no. Esta ecuación indica que la relación entre D y f es independiente de estos factores haciendo, relacionando ambos como emergentes de una física estadística común. Partículas menores tendrán mayor difusión, pero menor arrastre. Lo que esta de un lado y otro de la ecuación (las cantidades relacionadas) Esta ecuación establece una relación entre dos cantidades que, a priori son independientes. “El arrastre”, f y la difusión D. Establece además que estas dos cantidades están relacionadas por la temperatura. Esta ecuación es universal (lo cual aquí no les muestro) y relaciona propiedades de equilibrio del sistema – La temperatura, las fluctuaciones, con la disipacion (la perdida de energia) la viscosidad, cuando se lo saca del equilibrio. A estos teoremas que hoy siguen siendo objeto de investigacion moderna se los llama genericamente: TEOREMAS DE FLUCTUCACION DISIPACION

93 El recetario del Dr Cureta (algunas ecuaciones para ir recordando) MgMg h h+dh El equilibrio en presencia de fuerzas y agitación térmica Relación entre cinética y temperatura La relación entre fluctuaciones térmicas y resistencia al arrastre F V-V+ Sobre el movimiento de partículas en un baño térmico