3. Funciones discriminantes para la f.d.p normal.

3. Funciones discriminantes para la f.d.p normal.
El clasificador de mínimo error (Bayes) se puede expresar en términos de funciones discriminantes: Forma general de las funciones discriminantes asumiendo f.d.p. normales Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

Casos particulares: - Caso 1. i = 2 I (Clasificador . Lineal) - Caso 2. i =  ( Clasificador Lineal) - Caso 3. i arbitrarias ( Clasificador Cuadrático) Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

3.1 Clasificadores lineales 3.1.1 Caso 1: i = 2 I Variables estadísticamente independientes (no correlacionadas) y todas tienen la misma varianza, 2(Homocedasticas) Las matrices de covarianza son diagonales con valor 2 i = Diagonal(2 ,,,2) Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

Clasificador lineal con i = 2 I Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

Simplificaciones de las funciones discriminantes. - En este caso Sustituyendo en (10): - Considerando que ||  || es la norma Euclídiana Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

- Si i son iguales, no son significativas para : Alternativamente, Regla de mínima distancia Euclídiana Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

Funciones discriminantes lineales: Superficies de decisión: donde: Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

Front. de dec. Para un clasificador de mín. distancia Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

3.1.2 Caso 2: i =  Las variables no son estadísticamente independientes (correlacionadas) y las varianzas individuales son diferentes. Geométricamente: patrones distribuidos en agrupamientos hiperelipsoidales de igual tamaño y forma. Cada agrupamiento centrado en su media correspondiente, i Clasif. Lineal con i= (120,12) Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

Clasif. Lineal con i= (12=0,12) Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

Simplificación de las funciones discriminantes. Si i son iguales, no son significativas para : Alternativamente, Regla de mínima distancia Mahalanobis. Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

Funciones discriminantes lineales: Superficies de decisión. Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

3.2 Clasificadores cuadráticos 3.2.1 Caso 3: i arbitrarias Fronteras de decisión expresadas como una función cuadrática (círculos, elipses, parábolas, hipérbolas). Este es el caso más general (i arbitrarias ), del cual se derivan como casos particulares los dos estudiados anteriormente. i = 2 I i =  Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

Clasificadores Cuadráticos Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

Simplificación de las funciones discriminantes. Si i son iguales, no son significativas para : Funciones discriminantes cuadráticas: donde: Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

Fronteras de decisión (en dos dimensiones) Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

4. Diseño de clasificadores de mínima distancia
Motivación: ¿Porqué no usar el caso i arbitrarias siempre? Rpta: Dimensión del espacio de parámetros 1. Considerar los costes computacionales de calcular: Caso 3: Caso 2: Caso1: Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

2. Estabilidad de los estimadores (Representatividad ; sesgo,variancia, eficiencia robustez) Etapas: 1. Análisis del conjunto de aprendizaje. ( Consistencia Número de prototipos ) 2. Aprendizaje. ( Estimación de Parámetros) 3. Clasificación. ( Regla de decisión) Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

1. Análisis del conjunto de aprendizaje. Estudiar y sacar conclusiones sobre los conjuntos de aprendizaje: test de normalidad, comprobación de la suficiencia del número de muestras de entrenamiento para estimaciones y estudio de la estructura y propiedades estadísticas estadísticas de las clases. En resumen: Decidir el clasificador (casos 1,2 ó 3). Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

2. Aprendizaje. Estimación de los parámetros de cada clase 1.- Caso 1 : Estimar i (i = 1,2, ..., J) y 2  2.- Si acaso 2 ó 3, Estimar i y i para (i = 1,2, ..., J) Si i =  Calcular  = 3. Clasificación. Calcular para i=1,2,...,J (según el caso) Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

Casos particulares de los clasificadores estudiados como los casos 1 y 2 cuando no se consideran las probabilidades a priori (todas son iguales) 1. Distancia Euclídea: - Variables estadísticamente independientes - Variables igualmente escaladas en todas las direcciones 2= cte 2. Distancia de Mahalanobis: - Variables correlacionadas. - Variables escaladas de forma diferente (2 distinto) Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

4.2.1 Clasif. de mínima distancia Euclídea. Cálculo de la distancia Euclídiana Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

4. Diseño de clasificadores. Clasif. de mín. distancia
Regla óptima de clasificación donde Clasificador de mínima distancia Euclídiana Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

Estamos “resumiendo” una clase por su valor medio: toda la información de interés de una clase (para la clasificación) está concentrada en su media Un clasificador Euclídiana para tres clases Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

Derivación de funciones discriminantes lineales para el clasificador de mínima distancia Euclídiana Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

Expresado en forma de funciones discriminantes: De manera aún más compacta: Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

Demostración: Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

4.2.2 Clasif. de mínima distancia de Mahalanobis. Distancia de Mahalanobis. Regla óptima de clasificación: donde Clasificador de mínima distancia Euclídiana Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

Dist. de Mahalanobis frente a dist. Euclídiana Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

Dist. de Mahalanobis frente a dist. Euclídiana(2) Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

5. El problema de la estimación de parámetros
En teoría, el error de Bayes decrece conforme la dimensionalidad de los datos se incrementa. En la práctica, se usa un número fijo de muestras, N, para construir el clasificador: los estimadores están sesgados por las muestras disponibles. Si suponemos distribuciones normales se requiere: - Clasificador. Cuadrático: estimaciones - Clasificador. Lineal: estimaciones Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

Fenómeno de Hughes. Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

Interpretación: Existe un valor óptimo de dimensionalidad que es función del tamaño del conjunto de entrenamiento. Si el número de muestras de entrenamiento es suficiente y la dimensionalidad de los datos es alta el fenómeno de Hughes se manifiesta debido a que los estimadores obtenidos son inestables y segados. Este fenómeno es más acusado cuanto mayor sea la dimensionalidad. Diferencia entre las curvas: - Clasificador cuadrático: proporcional a d2/N - Clasificador lineal: proporcional a d/N Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

Conclusiones: Aunque la decisión de adoptar un clasificador cuadrático o un clasificador lineal depende fundamentalmente de la forma de las matrices de covarianza de las clases, el clasificador cuadrático requiere muchas más muestras de entrenamiento que un clasificador lineal para conseguir resultados similares. Soluciones: 1. Obtener más muestras de entrenamiento 2. Utilizar las variables más relevantes (selección y/o extracción de características) Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

6. Detección de puntos dudosos
Motivación: Algunos patrones deben descartarse (asignarse a w0) Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

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Técnica: Umbralización Sea wc tal que P(x | wc) = Cálculo del umbral para el clasificador cuadrático. Sea wc tal que = Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

La clasificación es aceptable (d(X) = wc) si Sigue una distribución 2 con d grados de libertad si X está normalmente distribuida. Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

- Procedimiento: 1.- Consultar la tabla 2 para determinar el valor de (X- c)Tc-1(X-  c) por debajo del cual hay un determinado porcentaje de puntos. En esta figura, indicamos el valor de la 2 que tiene la probabilidad P de ser sobrepasada (la proporción de la población con un valor 2 mayor que un valor determinado) Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

2.- Una vez consultado el valor, , 3.- El valor exacto de Tc se calcula directamente, conociendo las probabilidades a priori y las matrices de covarianza de esa clase. Reconocimiento de Formas en Data Mining Prof: Héctor Allende

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