1 Teoría de la Computación Enumeraciones y Numeración de Gödel.

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1 1 Teoría de la Computación Enumeraciones y Numeración de Gödel

2 2 Enumeraciones y conjuntos contables zConjuntos de cardinalidad menor o igual a  0 yconjuntos finitos yconjuntos cuyos elementos están en correspondencia uno-a-uno con los números naturales zConjuntos contables (o enumerables) ydado S, un conjunto cualquiera yS está en correspondencia uno-a-uno con    f tal que f:  S yf(0)=s 0, f(1)=s 1, f(2)=s 2, etc. yf es biyectiva yf enumera a S

3 3 Enumeraciones y conjuntos contables zSea  un alfabeto finito zSea S el conjunto de todas las palabras sobre  z¿Es S contable? y  es finito por lo tanto puede ser ordenado de alguna forma yS k, el conjunto de todas las palabras de longitud k es finito, para k=0, 1, 2,... yS k también puede ser ordenado de alguna forma zLuego S k es contable

4 4 Enumeraciones y conjuntos contables z¿Ahora, cómo ordenamos S? ySe ordena cada S k lexicográficamente, usando el orden dado a  yluego se alinean primero los elemento de , luego los de S 2, S 3, etc. zAsí, los elementos de S están ordenados por longitud y por cada longitud por orden lexicográfico zAl ordenar S, hemos mostrado que hay una correspondencia uno-a-uno con  zTeorema: El conjunto de todas las k-tuplas sobre  con k=1, 2,... es contable infinito.

5 5 Enumeraciones y conjuntos contables z  k , S k conj. De todas las k-tuplas de  es contable infinito yk=1, S 1 =  es contable yk+1, suponemos S k contable, así s k,0, s k,1... Es la enumeración de S k, (s k,i,j), j , es una k+1-tupla, entonces S k+1 ={(s k,i,j)  i, j  } yconsideremos los elementos de S k+1 en el sgte arreglo (s k1,0) (s k,0,0)(s k0,2)(s k,0,1)... (s k,1,2)(s k,1,1) (s k,2,0)(s k2,2)(s k,2,1)... (s k,3,0)(s k,3,1)... Método zig-zag

6 6 Numeraciones de Gödel zSea  un alfabeto finito zSea S el conjunto de todas las palabras sobre  zSea S* el conjunto de todas las k-tuplas, para todo k>0, de elementos de S ySi  es el alfabeto inglés,  ={a, b, c,..., z} yS contiene todas las palabras posibles de formar con el alfabeto y yS* puede entenderse como el conjunto de todas las frases posibles de formar con las palabras zComo ya se mostró, para cualquier  finito S* es contable

7 7 Numeraciones de Gödel zSi S* es enumerable tenemos yf:  S* y yf -1 : S*  z¿Son f y f -1 computables? zSupongamos ahora  cualquier conjunto contable infinito de símbolos y S y S* son los correspondientes conjuntos de palabras y k-tuplas de palabras respectivamente zCualquier mapeamiento efectivo biyectivo de S a  (o de S* a  ) se llama numeración de Gödel de S (o de S*)

8 8 Numeraciones de Gödel zConsideremos una numeración particular de Gödel que se basa en el siguiente teorema conocido como teorema fundamental de la aritmética (o de factorización única) zTeorema: cualquier entero positivo m>1 puede ser factorizado de una forma única como zEjemplo: 24 = 2 3  3 1 m=p 1 p 2...p n e2e2 e1e1 enen Donde p 1 < p 2 <...< p n son primos y cada e i > 0

9 9 Numeraciones de Gödel zDefinamos el mapeamiento  : S*  inductivamente, de los elementos de  de la siguiente manera  a i = p i donde p i es el i-ésimo primo, tomando p o = 2 zSi  S, entonces  es de la forma a i0 a i1...a ik, así definimos y  = 2 ·3 ·... ·p k ynótese que el mapeamiento  no es onto a  ynote también que en la numeración de Gödel xa i , por lo tanto  a i = p i xa i  S, por lo tanto  a i = 2 pi xa i  S*, por lo tanto  a i = ?  a i0  a i1  a ik

10 10 Numeraciones de Gödel zEjemplo y  = {a, b, c} y  a = 2  b = 3  c = 5 y  = aab  aab = 2 2 ·3 2 ·5 3 zLa numeración de Gödel establece un procedimiento a través del cual, dado un elemento de S (o S*, o S  S*), se puede computar efectivamente un número n  zInversamente, dado cualquier n  se puede decidir efectivamente si comprende a algún elemento de S (o S*, o S  S*)

11 11 Conclusión zSi podemos aplicar la numeración de Gödel a conjuntos de palabras que son de interés, por alguna razón, entonces podemos transportar nuestras investigaciones sobre estos conjuntos al marco del conjunto de los números naturales y funciones numérico-teóricas zEn particular, los problemas de decisión sobre conjuntos de palabras se transforman en problemas de decisión sobre conjuntos de números naturales