De π a la tomografía computada

Presentación del tema: "De π a la tomografía computada"— Transcripción de la presentación:

1 De π a la tomografía computada

2 π, la longitud de una circunferencia de diámetro 1

3 Euclides y π 2cm Euclides fue el primero en demostrar que la relación entre una circunferencia y su diámetro es una cantidad constante. Se puede calcular π en cualquier circunferencia, dividiendo el perímetro por la longitud del diámetro. 3cm

4 ¿Cómo calcular π? Hay muchas formas de calcular π, algunas de ellas son a través de sumas infinitas. Usando una serie podemos calcular la función inversa de la tangente: Como tan(π/4) = 1, podemos obtener π por la fórmula

5 ¿Cómo calcular π? En este gráfico vemos la cantidad de dígitos de π que obtenemos calculando solo los primeros términos de las series anteriores. Te invitamos a que elijas uno de los métodos y te fijes cuántos dígitos correctos pudiste calcular.

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7 El método Monte Carlo Elegimos un punto al azar en el cuadrado (podemos pensar que lanzamos un dardo) y calculamos la distancia al (0, 0). Si la distancia es menor o igual a 1, el punto está dentro del círculo (el dardo dio en el blanco). Si repetimos este experimento varias veces, podemos estimar π por la fórmula En el ejemplo obtenemos

8 La aguja de Buffon Dibujamos en el piso rectas paralelas a distancia d. Tiramos muchas agujas, de longitud l, y contamos cuántas agujas tocan a alguna recta. Podemos estimar π por la fórmula

9 Luis A. Santaló Profesor emérito de la UBA Padre de la Geometría Integral Cuando se habla de los recursos de un país hay uno, por lo general escaso, que no es costumbre mencionar: los talentos matemáticos. Es deber de la escuela descubrirlos y guiarlos; es obligación de la sociedad el ofrecerles oportunidad para su desarrollo. Desconocer el lenguaje a que aspiran las ciencias y usan las técnicas es encerrarse en una manera de analfabetismo. Aquí el precio de la incuria es la dependencia, la pérdida de la soberanía. Luis A. Santaló.

10 Un teorema de Santaló La cantidad de figuras que corta una línea elegida al azar es, en promedio N = cantidad de figuras u = perímetro de las figuras U = perímetro del rectángulo que las contiene Este tipo de teoremas formaron la base para la geometría integral de Santaló, que permitió el desarrollo de dos técnicas de gran importancia: la estereología y la tomografía computada.

11 Estereología Conjunto de métodos para la exploración del espacio tridimensional a partir del conocimiento de secciones bidimensionales o de proyecciones sobre el plano. Es una rama interdisciplinaria cuyas técnicas son útiles en una gran variedad de disciplinas, como la biología, la mineralogía y la metalurgia. Imaginemos una roca con pedazos de minerales en su interior. El problema consiste en averiguar la proporción del volumen de los minerales dentro de la roca, a partir de la proporción de las áreas en las secciones por planos. Se puede medir la proporción de las áreas en los planos y, a partir de allí, mediante geometría integral, deducir la proporción entre el volumen de los minerales y el volumen de la roca.

12 Tomografía computada Se lanzan rayos en muchísimas direcciones y se determina qué “objetos” intersecaron esos rayos. Se divide al cuerpo en “fetas” y usando geometría integral se reconstruye la imagen.