INTEGRALES.

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1 INTEGRALES

2 Introducción El cálculo diferencial es, básicamente, un método para encontrar la velocidad de un movimiento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado. Este problema se resuelve por "derivación" y es completamente equivalente al problema de dibujar una tangente a la curva que representa la dependencia de la distancia respecto del tiempo.

3 Introducción La velocidad en el instante t es igual a la pendiente de la tangente a la curva en el punto correspondiente a t.

4 Introducción

5 Introducción El cálculo integral es en esencia un método para encontrar la distancia recorrida cuando se conoce la velocidad, y en general, de encontrar el resultado total de la acción de una magnitud variable. Evidentemente, este problema es recíproco del problema de cálculo diferencial (el problema de encontrar la velocidad), y se resuelve por "integración".

6 Introducción Resulta que el problema de la integración es en todo equivalente al de encontrar el área bajo la curva que representa la dependencia de la velocidad respecto al tiempo. La distancia recorrida en el intervalo de tiempo t1 a t2 es igual al área bajo la curva entre las rectas que corresponden en la gráfica a los valores t1 a t2.

7 Introducción

8 Introducción Fundamental para el cálculo como para todo el desarrollo posterior del análisis, es el concepto de límite, que fue formulado algo más tarde que los otros conceptos fundamentales de variable y función. En los primeros días del análisis el papel que más tarde desempeñaría el límite, corrió a cargo de ese concepto algo nebuloso que es el infinitésimo.

9 Introducción Los métodos para el cálculo real de la velocidad, conocida la distancia recorrida (a saber, la derivación), y de la distancia, conocida la velocidad (integración), se basaban en la unión del álgebra con el concepto de límite. El análisis se originó por la aplicación de estos conceptos y métodos a los referidos problemas de la mecánica y la geometría (y también a otros problemas: por ejemplo, los de máximos y mínimos).

10 Integrales Indefinidas
Estamos familiarizados con algunas operaciones inversas. La adición y la sustracción son operaciones inversas, la multiplicación y la división son también operaciones inversas, así como la potenciación y la extracción de raíces.

11 Integrales Indefinidas
Ahora, conoceremos la operación inversa la de derivación o diferenciación denominada antiderivación o antidiferenciación, la cual implica el cálculo de una antiderivada, concepto que conoceremos a continuación.

12 Antiderivada La antiderivada de una función f en un intervalo I, es otra función F tal que para todo x I , F’(x)= f (x).

13 Antiderivada Ejemplo. Si F es la función definida por F(x)= 4x3 + x2 +5, entonces F’(x) =12x2 + 2x. De modo que si f(x) = 12x2 + 2x, entonces f es la derivada de F, y F es la antiderivada de f.

14 Antiderivada Si G es la función definida por G(x)= 4x3 + x2 -17, entonces G también es una antiderivada de f, porque G’(x) = 12x2 + 2x.

15 Antiderivada En realidad, cualquier función H definida por H(x) = 4x3 + x2 + C, donde C es una constante, es una antiderivada de f.

16 Antiderivada Teorema 1. Si f y g son dos funciones definidas en el intervalo I, tales que f ‘(x) = g’(x) para todo x I , entonces existe una constante K tal que f (x) = g(x) + K para todo x  I.

17 Antiderivada “La antiderivación o antidiferenciación es el proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas de una función dada.

18 ∫ f (x) dx = F(x) + C, Antiderivada
El símbolo ∫ denota la operación de antiderivación, y se escribe ∫ f (x) dx = F(x) + C, donde F’(x) = f (x) y d (F(x))= f (x) dx ”.

19 Antiderivada En la igualdad ∫ f (x) dx = F(x) + C, x es la variable de integración, f (x) es el integrando y la expresión F(x) +C recibe el nombre de antiderivada general o “integral indefinida” de f.

20 Antiderivada Si {F(x) +C} es el conjunto de todas las funciones cuyas diferenciales sean f (x) dx, también es el conjunto de todas las funciones cuya derivada es f (x).

21 ∫af (x) dx = a∫ f (x) dx, donde a es una constante.
Antiderivada Teorema 2. ∫dx = x + C. Teorema 3. ∫af (x) dx = a∫ f (x) dx, donde a es una constante.

22 ∫[ f (x) + g(x)]dx =∫ f (x) dx +∫g(x) dx.
Antiderivada Teorema 4. Si las funciones f y g están definidas en el mismo intervalo, entonces ∫[ f (x) + g(x)]dx =∫ f (x) dx +∫g(x) dx.

23 Antiderivada Teorema 5. Si las funciones f1, f2, f3, …… fn, están definidas en el mismo intervalo y c1, c2, c3, …… cn son constantes, entonces

24 ∫[c1 f1(x) + c2 f2 (x) + c3 f3 (x) + ….. + cn fn (x) ]dx =
Antiderivada ∫[c1 f1(x) + c2 f2 (x) + c3 f3 (x) + ….. + cn fn (x) ]dx = c1∫ f1(x) dx + c2∫ f2(x) dx + c3∫ f3(x) dx + …….. + cn∫ fn(x) dx

25 Antiderivada

26 Ejemplos Evaluar ∫(5x4 -8x3 + 9x2 -2x + 7)dx

27 Ejemplos Solución ∫(5x4 -8x3 + 9x2 -2x + 7)dx = 5∫x4dx - 8∫x3dx + 9∫x2dx - 2∫xdx + 7∫dx

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