Formulación Hamiltoniana para un sistema no conservativo

Presentación del tema: "Formulación Hamiltoniana para un sistema no conservativo"— Transcripción de la presentación:

1 Formulación Hamiltoniana para un sistema no conservativo
Elizabeth Galindo Linares Asesor: Dr. Gerardo F. Torres del Castillo CAP - marzo 2010

2 Contenido Resumen Objetivo Antecedentes Trabajo actual Bibliografía
Helmholtz Douglas Pardo Torres y Rubalcava Trabajo actual Bibliografía CAP - marzo 2010

3 Resumen Se busca al menos una expresión hamiltoniana clásica que reproduzca a un sistema de 2n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. CAP - marzo 2010

4 Objetivo Comprobar que todo sistema de 2n ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE’s) de primer orden, puede escribirse en forma Hamiltoniana. CAP - marzo 2010

5 Antecedentes (1) H. Helmholtz (1887) CAP - marzo 2010

6 Antecedentes (1a) Condiciones de Helmholtz CAP - marzo 2010

7 Antecedentes (2) Douglas
Buscar la función lagrangiana para el sistema de ecuaciones anterior Las derivadas temporales de primer término son cero, por lo tanto las G’s son constantes de movimiento. CAP - marzo 2010

8 Antecedentes (3) Pardo CAP - marzo 2010

9 A L T O Si no existe una lagrangiana que dependa de las coordenadas o simplemente no existe una lagrangiana. ¿Puede existir al menos una expresión Hamiltoniana? CAP - marzo 2010

10 Formulación hamiltoniana Vs. lagrangiana
Más amplia: Independencia entre coordenadas y momentos generalizados. Posibilidad de mezclar las variables de maneras infinitas. Lagrangiana natural (Arnold). CAP - marzo 2010

11 Antecedentes (4) Torres del Castillo y Rubalcava (2006)
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12 Antecedentes (4a) Por una parte se toma a g y h como funciones de las variables canónicas, por otra parte x y y son las variables de las funciones g y h; entonces, es posible considerar la forma diferencial CAP - marzo 2010

13 Antecedentes (4b) Por otra parte:
la ecuación del jacobiano que relaciona a las variables (x, y) con (q,p) y la diferencial de la hamiltoniana es CAP - marzo 2010

14 Antecedentes (4c) Entonces,
además se definen como las derivadas parciales temporales de “y” y “x” respectivamente. CAP - marzo 2010

15 Antecedentes (4d) Por simplicidad se elige a la transformación canónica q=x, por lo cual el jacobiano se reduce a donde Especificando los momentos canónicos y reescribiendo dp y dy, se tiene CAP - marzo 2010

16 Ejemplo Oscilador Armónico (1)
Masa m conectada a un resorte de constante k. La coordenada generalizada es el desplazamiento x de m con res-pecto a la posición de equilibrio del resorte La energía cinética T y la energía potencial U son La Lagrangiana natural del sistema es La ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada x es CAP - marzo 2010

17 Ejemplo: 1 2 Usando 1- Fza. elástica 2- Fza. de rozamiento
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18 CAP - marzo 2010

19 Trabajo en proceso Encontrar al menos una expresión H equivalente a las ecuaciones de movimiento. ¿Cuáles son las restricciones para que exista a lo menos una hamiltoniana? Primero: usando campos vectoriales que representan el sistema de ODE’s. CAP - marzo 2010

20 Trabajo en proceso Partiendo de las ecuaciones de mov. de Hamilton A
Tomando a p y q coordenadas locales de una variedad diferenciable. Se toma a Presenta 2n integrales funcionalmente independientes CAP - marzo 2010

21 Trabajo en proceso Procedimiento:
Escribir x’’ en su análogo sistema de x’1 y x’2. Se comprueba que el sistema no cumple las condiciones de Helmholtz. Se obtiene un conjunto de primeras integrales funcionalmente independientes. CAP - marzo 2010

22 Bibliografía Douglas, J. (1941), Trans. Amer. Math. Soc. 50, 71.
Arnold, V.I. (1978), Mathematical methods of classical mechanics, Springer-Verlag, New York. Helmholtz, H. (1887), Journal für die reine und angewandte Mathematik, Berlin, 100, 137. Pardo, F. (1989), J. Math. Phys. 30, Torres del Castillo, G.F. and Rubalcava García, I. (2006), Rev. Mex. Fís. 52, 429. Torres del Castillo, G.F. (2009), J. Phys. A, Math. and Theor. 42, CAP - marzo 2010

23 Por su atención, gracias.
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24 Anexos Trabajando adecuadamente con las ecuaciones:
Haciendo cambio de variables se puede reducir a ecuaciones independientes. Así podrá encontrarse la solución general del sistema. Es decir, se hizo una transformación lineal de las coordenadas que convierten el sistema de ecuaciones diferenciales en ecuaciones desacopladas en las nuevas variables. Torres del Castillo demuestra que la descomposición es posible en sistemas bidimensionales acoplados linealmente. CAP - marzo 2010

25 Ejemplo Oscilador Armónico (2)
La solución de la ecuación de movimiento para la posición de la masa es La amplitud A del movimiento y la fase f dependen de las con-diciones iniciales del sistema Para w = 1/s, A = 1m y f = p/2 (posición inicial = 1m, velocidad inicial = 0 m/s) el movimiento es oscilatorio con periodo T = 2p s CAP - marzo 2010

26 Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica (1)
Principio de Hamilton: Describe el movimiento de un sistema mecánico Para sistemas monogénicos (toda fuerza es derivable a partir de un potencial escalar): El movimiento de un sistema del tiempo t1 al tiempo t2 es tal que la integral de línea donde L = T – V, tiene un valor estacionario para el camino corrrecto del movimiento. T es la energía cinética del sistema y V el potencial al que este está sujeto I se conoce como la acción o integral de acción CAP - marzo 2010

27 Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica(2)
El principio de Hamilton se puede expresar diciendo que el movimiento es tal que la variación de la integral de línea I es cero para t1 y t2 fijos qi se llaman coordenadas generalizadas y sus derivadas son las velocidades generalizadas Siempre y cuando las restricciones del sistema sean holonómicas Este es un problema variacional CAP - marzo 2010

28 Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica(3)
En mecánica las ecuaciones de Euler- Lagrange son Cada coordenada genera-lizada representa un grado de libertad Se debe resolver un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden Los momentos generali-zados se definen como CAP - marzo 2010

29 Ventajas de la Formulación Variacional
Involucra cantidades físicas (energía cinética y potencial) independientes de las coordenadas con que se especifique el sistema. Esto hace que la formulación sea invariante con respecto a los sistemas de coordenadas. El Lagrangiano es indeterminado a una derivada total temporal de cualquier función de coordenadas y tiempo. Se puede extender a sistemas que no se consideran en la dinámica de partículas La imposición de la conservación de la energía lleva a la formulación Hamiltoniana de la mecánica CAP - marzo 2010

30 Consecuencias Inmediatas de la Formulación Variacional
Teoremas de Conservación Si el Lagrangiano de un sistema es independiente de una coordenada qj pero sí depende de la velocidad correspondiente, entonces el momento correspondiente es independiente del tiempo (se conserva) Propiedades de Simetría La simetría del sistema con respecto a sus coordenadas generalizadas está íntimamente ligada con la conservación de los momentos con respecto a los ejes de simetría CAP - marzo 2010

31 Otros ejemplos Péndulo Simple
Masa m colgada del techo de una cuerda de longitud l, restringida a moverse en el plano xy La coordenada generalizada es el ángulo q de l con respecto al eje y La energía cinética T y la energía potencial U son El Lagrangiano del sistema es La ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada q es Para ángulos q pequeños la solución es idéntica a la del oscilador armónico CAP - marzo 2010

32 Otras Áreas de la Física Teoría de Campos
La formulación Lagrangiana de partículas se puede extender a la descripción de campos. Se trabaja con la densidad Lagrangiana del sistema Las ecuaciones de campo que se deducen de esta formulación son Esta formulación tiene aplicaciones en electromagnetismo, relatividad, mecánica cuántica, etc… CAP - marzo 2010