Posición Relativa de dos rectas

Presentación del tema: "Posición Relativa de dos rectas"— Transcripción de la presentación:

1 Posición Relativa de dos rectas
Transversales Paralelas Coincidentes

2 Sistema de Ecuaciones Dadas dos rectas, cada una de ellas está representada por una ecuación lineal. Los puntos de intersección deben verificar ambas ecuaciones A1x + B1y = C1 A2x + B2y = C2

3 Sistema de Ecuaciones Decir que las rectas son transversales es lo mismo que decir que el sistema de ecuaciones tiene una única solución. Decir que son paralelas equivale a decir que el sistema no tiene solución. Decir que son coincidentes es lo mismo que decir que las dos ecuaciones son equivalentes.

4 Ejemplo 1 Sean las rectas de ecuaciones L1 : 2x – y = -1
El sistema admite una única solución Por lo tanto, las rectas son transversales y se cortan en

5 Ejemplo 1

6 Ejemplo 2 Sean las rectas de ecuaciones L1 : 2x – y = – 3
Multiplicando la primer ecuación por -3 obtenemos un sistema equivalente 6x – 3y = – 9 6x – 3y = – 6 Restando ambas ecuaciones obtenemos 0= – 15 lo cual no puede ser. El sistema NO tiene solución.

7 Ejemplo 2

8 Ejemplo 3 Sean las rectas de ecuaciones L1 : 4x – 8y = -12
Multiplicando la segunda ecuación por -4 obtenemos la primera. Es decir, ambas ecuaciones en realidad son la misma ecuación. Las rectas coinciden.

9 Otra forma: comparar los vectores-dirección
También podemos ver la posición relativa de dos rectas comparando sus vectores-dirección.

10 Ejemplo 1 Sean las rectas de ecuaciones L1 : 2x – y = -1
Sus vectores normales son n1= (2, -1) y n2= (1, -1) respectivamente. Por lo tanto, sus vectores directores son u1= (1, 2) y u2= (1, 1), que obviamente no son paralelos porque sus coordenadas no son proporcionales. Entonces las rectas se cortan.

11 Ejemplo 2 Sean las rectas de ecuaciones L1 : 2x – y = – 3
Sus vectores normales son n1= (2, -1) y n2= (-6, 3) respectivamente. Por lo tanto, sus vectores directores son u1= (1, 2) y u2= (3, 6), que son paralelos porque sus coordenadas son proporcionales. Entonces las rectas son paralelas o coincidentes.

12 Ejemplo 2 Para saber en qué caso estamos podemos hacerlo de dos formas: Tomar un punto de una recta y probar si pertenece a la otra. En caso afirmativo son coincidentes y en caso negativo son paralelas. Observar si las dos ecuaciones, además de sus coeficientes proporcionales, tienen también sus términos independientes proporcionales. En ese caso son coincidentes, en caso contrario paralelas. L1 : 2x – y = – 3 L2 : – 6x + 3y = – 6 L1 y L2 son paralelas porque

13 Ejemplo 3 Sean las rectas de ecuaciones L1 : 4x – 8y = -12
Sus vectores normales son n1= (4, -8) y n2= (-1, 2) respectivamente. Por lo tanto, sus vectores directores son u1= (8, 4) y u2= (2, 1), que son paralelos porque sus coordenadas son proporcionales. Entonces las rectas son paralelas o coincidentes.

14 Ejemplo 3 En este caso L1 y L2 son coincidentes porque