ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC Un circuito RLC esta formado por dos componentes de almacenamiento de energía, una resistencia y una fuente conectados en serie.

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2 ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC Un circuito RLC esta formado por dos componentes de almacenamiento de energía, una resistencia y una fuente conectados en serie o paralelo. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN

3 ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC Para el circuito RLC en serie, aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff: Derivando con respecto al tiempo: De forma que:

4 ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC Para el circuito RLC en paralelo, aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff: Derivando con respecto al tiempo: De forma que:

5 ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC EJEMPLO: Dado el circuito de la figura, utilizar las condiciones de continuidad de la capacitancia y la inductancia para determinar i(0 + ) y su primera derivada. En el instante anterior a que el interruptor cambie de posición tanto la capacitancia como la inductancia están su estado estable. Por la regla de continuidad:

6 ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC Cuando el interruptor pasa a la posición 1, la fuente se cortocircuita. 1 0 Aplicando la ley de Kirchhoff de voltajes en la malla 1: M1

7 ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC Para los dos casos, la solución es de la forma: Frecuencia natural o de resonancia (rad/s). Así mismo, ζ es la constante de amortiguamiento: SERIE PARALELO

8 ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC Una posible solución a la ecuación diferencial anterior es: Donde A es una constante por determinar y s es la frecuencia.

9 ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC Reemplazando y(t) en la ecuación diferencial se obtiene: Para que la igualdad se cumpla: Ecuación característica del circuito RLC

10 Lo anterior, nos permite afirmar que otra posible solución a la ecuación diferencial es: ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC Dependiendo de la relación entre los valores de R, L y C se pueden tener cuatro tipos de respuestas: Sobreamortiguada: Amortiguada: Críticamente Amortiguada: No Amortiguada:

11 RESPUESTA SOBREAMORTIGUADA: ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC Donde:

12 RESPUESTA SOBREAMORTIGUADA: ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC Para encontrar A 1 y A 2 evaluamos la función y su derivada en t= 0 Solucionando este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

13 EJEMPLO: Dado el circuito de la figura con Vs = 12 V, R = 5 Ω, C = 50 mF y L = 0.2 H. Determinar la función i(t). ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC 1 0 1. Calcular la constante de amortiguamiento:

14 ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC 2. Calcular la frecuencia natural y el tiempo característico:

15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC 3. Calcular las constantes A 1 y A 2 : Cómo ya se estableció en el ejemplo anterior:

16 ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC 4. Graficando la respuesta:

17 RESPUESTA AMORTIGUADA: ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC Y la solución a la ecuación diferencial es:

18 EJEMPLO: Dado el circuito de la figura con Vs = 12 V, R = 1 Ω, C = 50 mF y L = 0.2 H. Determinar la función i(t). ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC 1 0 1. Calcular la constante de amortiguamiento:

19 ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC 2. Calcular la frecuencia natural, la frecuencia de amortiguamiento y el coeficiente de amortiguamiento:

20 ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC 3. Calcular las constantes A y θ:utilizando las condiciones de continuidad establecidas en el ejemplo anterior:

21 ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC 4. Graficando la respuesta:

22 RESPUESTA CRÍTICAMENTE AMORTIGUADA: ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC Este comportamiento se da cuando la resistencia toma un valor crítico: Por lo tanto la solución a la ecuación diferencial es de la forma:

23 EJEMPLO: Dado el circuito de la figura con Vs = 12 V, C = 50 mF y L = 0.2 H. Calcular el valor de R para el cual el circuito está críticamente amortiguado. Determinar la función i(t). ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC 1 0 1. Calcular la resistencia crítica:

24 ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC 2. Calcular la frecuencia natural, 3. Calcular las constantes A 1 y A 2 utilizando las condiciones de continuidad establecidas en el ejemplo anterior:

25 ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC 4. Graficando la respuesta:

26 RESPUESTA NO AMORTIGUADA: ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC Y la solución a la ecuación diferencial es:

27 EJEMPLO: Dado el circuito de la figura con Vs = 12 V, R= 0, C = 50 mF y L = 0.2 H. Determinar la función i(t). ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC 1 0 1. Calcular la frecuencia natural

28 ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC 2. Calcular las constantes A y θ utilizando las condiciones de continuidad establecidas en el ejemplo anterior:

29 ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC 4. Graficando la respuesta:

30 Ing. Marcelo Menacho Veliz