Distribuciones Muestrales y TCL (Teorema Central del Límite) Cap 4 del Libro.

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2 Distribuciones Muestrales y TCL (Teorema Central del Límite) Cap 4 del Libro

3 Muestreo y Estadísticos muestrales Objetivo: inferir características Poblacionales a partir de una muestra. Parámetros poblacionales buscados:  (media poblacional) σ 2 (Variancia poblacional) P (alguna proporción en la poblacional tipo éxito/no éxito expresado 1/0) Otros… Estadísticos muestrales: Variable aleatoria estimadores de los Parámetros Poblacionales y son Variables aleatorias Xraya (media muestral) S 2 (Variancia muestral) Ppico (alguna proporción en la muestra 1/0) Otros… Distribuciones muestrales: Valor del Estadístico muestral: Valores observados en una muestra (diferente para cada muestra por ser variable aleatoria V.A)

4 Estadísticos muestrales Parámetros poblacionales buscados:  (media poblacional) σ 2 (Variancia poblacional) P (alguna proporción en la poblacional tipo éxito/no éxito expresado 1/0) V.A: Estadísticos muestrales: Xraya: media muestral S 2 : Variancia muestral (Var n-1 ) Ppico: alguna proporción en la muestra tomada como éxitos en el total Ex/no Ex - 0/1 - Si /No) Distribuciones muestrales: Normal T-Student Chi Cuadrado Estadísticos muestrales Observados en una muestra (media de la muestra seleccionada) S 2 =23 (Variancia de la muestra seleccionada) Ppico (alguna proporción de éxitos en la muestra seleccionada)

5 Estadísticos muestrales Parámetros poblacionales buscados:  (media poblacional) V.A: Estadísticos muestrales: Promedio de la muestra Distribuciones muestrales: Normal T-Student Estadísticos muestrales Observados en una muestra

6 Estadísticos muestrales Parámetros poblacionales buscados: σ 2 (Variancia poblacional) V.A: Estadísticos muestrales: S 2 : Variancia muestral (Var n-1 ) Distribuciones muestrales: Chi Cuadrado Estadísticos muestrales Observados en una muestra S 2 =23 (Variancia de la muestra seleccionada) Parámetros poblacionales P (alguna proporción en la poblacional tipo éxito/no éxito expresado 1/0) V.A: Estadísticos muestrales: Ppico: alguna proporción en la muestra tomada como éxitos en el total Ex/no Ex - 0/1 - Si /No) Distribuciones muestrales: Normal Estadísticos muestrales Observados en una muestra Ppico (alguna proporción de éxitos en la muestra seleccionada)

7 TCL (Teorema Central de Límite) El teorema, más formalmente, hace referencia a la distribución del estadístico Z, proveniente de la estandarización de la variable aleatoria media muestral, postulando que aunque X no se distribuya como una variable aleatoria normal, si tiene varianza finita, entonces para n suficientemente grande, la distribución de Z converge en la distribución N(0;1) asintóticamente X es Normal Entonces Es Normal

8 TCL El teorema central del límite provee un resultado muy importante ya que justifica la utilización de los métodos estadísticos que suponen la normalidad de la distribución del estadístico. Se ha visto que, dada una variable X con media μ y varianza σ 2, se puede derivar de manera aproximada o exacta la distribución haciendo uso del teorema central del límite. A partir del conocimiento de la distribución de las medias muestrales y dado que esta es normal, podríamos calcular como se mostró en el Capítulo 3 para variables aleatorias normales.

9 Ejemplo TCL Ejemplo 4.2 Supóngase que la variable peso de 100 semillas de una variedad de maíz sigue una distribución normal con la esperanza μ=39 gr y desviación estándar σ=2.5 gr. X - N(μ=39 ; σ 2 =6,25) σ=2.5 gr. Si se elige al azar una muestra de 25 paquetes de 100 semillas Para Xraya o Promedio n=25 σ 2 =6,25/25=0,25 σ=0.5 gr. - N(μ=39 ; σ 2 =0,25) σ=

10 Ejemplo TCL Ejemplo 4.2 Supóngase que la variable peso de 100 semillas de una variedad de maíz sigue una distribución normal con la esperanza μ=39 gr y desviación estándar σ=2.5 gr. Si se elige al azar una muestra de 25 paquetes de 100 semillas, de los muchos que se llenan en el proceso de envasado, ¿qué valor de peso promedio se esperaría? Como la muestra es una representación en miniatura de la población y como la misma sigue una distribución normal, los valores de la media muestral deben aproximarse, en distribución, a una normal; así, si la media de la población es de 39 gr, lo más probable es que la media muestral sea cercana a 39 gr. Determinemos, por ejemplo, cuál es la probabilidad de que la muestra de 25 paquetes tenga una media menor a 38 gr: Por lo tanto el 2.275% de todas las muestras posibles de tamaño 25 tendrán un promedio menor que 38 gr.

11 Ejemplo TCL Ejemplo 4.2 (cont.) Supóngase que la variable peso de 100 semillas de una variedad de maíz sigue una distribución normal con la esperanza μ=39 g y desviación estándar σ=2.5 g. Determinemos, por ejemplo, cuál es la probabilidad de que la muestra de 25 paquetes tenga una media menor a 38 g: Por lo tanto el 2.275% de todas las muestras posibles de tamaño 25 tendrán un promedio menor que 38 g. Es importante que se entienda que no es lo mismo decir que cierto porcentaje de paquetes individuales tendrá menos de 38 g, que se calcula de la siguiente manera: Se espera que el 34.548% de los paquetes individuales contengan menos de 38 gramos. Así al comparar ambos resultados, se observa que es de esperar muchos más paquetes de semillas con menos de 38 gramos que medias de paquetes de semillas basadas en muestras de tamaño 25, con menos de 38 gramos. La probabilidad que la media de una muestra de tamaño 25 (oromedio) esté lejos de la media poblacional, es menor que la probabilidad que un valor individual de la población original esté lejos de la media poblacional.

12 Peso de la población. Peso medio de la Población de paquetes de semilla. Peso Promedio en varias muestra 11 Diferencia entre la variable X peso de un paquete de semillas que tiene un valor medio 39 peso promedio de 25 paquetes de semillas que tiene el mismo valor medio 39 La variable X peso de un paquete que podría ser Normal (no siempre se sabe) y La variable peso promedio de 25 paquetes que es aproximadamente Normal con la misma pero con menor desvío que X, lo que hace que se concentre más alrededor de la media

13 Figura 4.4: Representaciones de la distribución de las medias muestrales (Xraya), en muestras de tamaño 2, 3, 5 y 8 respectivamente Cuanto mayor es el n mejor es la aproximación Normal en la distribución de Xraya

14 Peso de la población. Peso medio de la Población Peso Promedio de la Población 13 Diferencia entre la variable X peso de una persona 70 con su desvio que no se puede cambiar peso promedio de 25 personas cuyo desvío se puede disminuir aumentando el n La variable X peso de una persona que podría ser Normal (no siempre se sabe) y La variable peso promedio de 25 personas que es aproximadamente Normal con la misma pero con menor desvío que X, lo que hace que se concentre más alrededor de la media

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18 Xraya Desvío Desconocido- S

19 Estimación del desvío S 2  Chi cuadrado

20 Grados de Libertad: cantidad de datos no redundantes

21 V.A Normal como Aproximación de otras distribuciones. La suma de variables tiene a la distribución Normal para “n” suficientemente grande TCL (Teorema Central de Límite)

22 Binomial es suma de Bernoulli Aproximación Normal Benoulli valor 0/1  Cada Xi Binomial suma de Xi  Xs=X1+X2+…………….+X30 Xs—Bi(n=30; p=0,25) Xs – Aproximacion Normal por TCL

23 Binomial es suma de Bernoulli aproximación Normal

24 Gamma es suma de Exponenciales Aproximación o Ajuste Normal 40 Por la asimetría de la Exponencial “n” tiene que ser más grande

25 Suma de Uniformes (RND: Randon) aproximación Normal

26 Suma de Normales es Normal

27 Continuamos con el Cap 5