1.Congruencia 2.Semejanza. 1. Congruencia 1.1 Definición Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área. El.

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1 1.Congruencia 2.Semejanza

2 1. Congruencia 1.1 Definición Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área. El símbolo de congruencia es ≅. Las transformaciones isométricas aplicadas a figuras en el plano no varían sus dimensiones, ni el área de las mismas. La figura inicial y final son congruentes. En triángulos, si  ABC   DEF, se cumple lo siguiente: C AB E F D α α β β γ γ LadosÁngulos

3 1.2 Criterios de congruencia Para determinar si dos triángulos son congruentes, podemos utilizar los siguientes criterios: 1° Lado, lado, lado (L.L.L.) 2° Lado, ángulo, lado (L.A.L.) 3° Ángulo, lado, ángulo (A.L.A.) 4° Lado, lado, ángulo (L.L.A.) 1. Congruencia Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes. Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos es congruente. Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos es congruente. Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo opuesto al lado mayor es congruente.

4 2. Semejanza 2.1 Definición Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones: 1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y 2° que sus lados homólogos sean proporcionales. A E D C B      G F J I H      Se llaman lados homólogos a los lados que unen dos vértices con ángulos respectivamente congruentes

5 2.2 Triángulos semejantes Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados homólogos son proporcionales. AB C    E F D    AB es homólogo a DE BC es homólogo a EF AC es homólogo a DF  AB DE BC EF AC DF = = = k 2. Semejanza Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar.

6 1° Criterio AA Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes. 2. Semejanza 2.3 Criterios de semejanza 2° Criterio LLL Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales. 3° Criterio LAL Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente.

7 En triángulos semejantes, los elementos secundarios homólogos también son proporcionales y están en la misma razón que sus lados homólogos. 2. Semejanza A B C hChC P R Q hRhR 2.4 Razón de semejanza Si, entonces AB PQ = k La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes es igual a la razón entre sus elementos homólogos. La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos.

8 Sean L 1 // L 2 // L 3, entonces: Si tres o más rectas paralelas son intersectadas por dos transversales, los segmentos determinados por las paralelas son proporcionales. C D F E A B L1L1 L2L2 L3L3 AB AC = DE DF AB BC = DE EF BC AC = EF DF 3. Teorema de Thales 3.1 Teorema de Thales

9 Si L 1 // L 2, entonces: A O C DB L1L1 L2L2 OA OB = OC OD OA AB = OC CD AB OB = CD OD OA AC = OB BD OC AC = OD BD 3. Teorema de Thales 3.2 Casos particulares L1L1 L2L2 A C B O D AO OD = BO OC AB AO = CD OD AB BO = CD OC OD AD = OC BC AO AD = BO BC