TASA DE VARIACIÓN MEDIA Dada una función f definida en un intervalo [a,b], se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA de la función f en [ a,b ] al cociente: f (b)

Presentación del tema: "TASA DE VARIACIÓN MEDIA Dada una función f definida en un intervalo [a,b], se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA de la función f en [ a,b ] al cociente: f (b)"— Transcripción de la presentación:

1 TASA DE VARIACIÓN MEDIA Dada una función f definida en un intervalo [a,b], se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA de la función f en [ a,b ] al cociente: f (b) - f(a) TVM = ----------------- b - a Como se observa en el valor de la TVM no influye el comportamiento de la función a lo largo del intervalo. Pueden existir diversas funciones que tengan la misma TVM en el mismo intervalo. b – aes la variación o incremento de x, Δx. f(b) – f(a)es la variación o incremento de f(x), Δf(x) o Δy. TVM = Δy / Δx = m, pendiente del segmento que une los extremos de la función, o sea (a, f(a)) con (b, f(b)).

2 Incremento de una función (1) Sea la función f(x) = x  Verde Sea la función g(x) = x 2  Rojo Ambas funciones presentan el mismo incremento de x: Δy = f(2) – f(0) = 2 Δy = g(2) – g(0) = 2 2 – 0 = 4 TVM de f(x): TVM = Δy / Δx = 2 / 2 = 1 TVM de g(x): TVM = Δy / Δx = 4 / 2 = 2 El crecimiento medio de g(x) es el doble que el de f(x). a=0 1 b=2 x y4y4

3 Incremento de una función (2) Sea la función f(x) = x / 2  Verde Sea la función g(x) = x 2 / 8  Rojo Sea la función h(x) = √x  Azul Ambas funciones presentan en el intervalo cerrado [0, 4] el mismo incremento de la función: Δy = f(4) – f(0) = 2 Δy = g(4) – g(0) = 2 Δy = h(4) – h(0) = 2 Las TVM de ambas son: TVM = Δy / Δx = 4 / 4 = 1 Sin embargo está muy claro que su comportamiento en dicho intervalo en muy diferente. a=0 b=4 x y f(4)=g(4)=h(4)=2

4 Ejercicio Sea la función f(x) = x 3 – 4x Hallar la TVM de la función en: [-4,-2], [0,2] y [-1, 1] En [-4,-2] f (- 4) - f(-2) - 48 - 0 TVM = ----------------- = --------- = 24 - 4 – (-2) - 2 En [0, 2] f (2) – f (0) 0 - 0 TVM = ----------------- = --------- = 0 2 – 0 2 En [-1, 1] f (1) – f (-1) - 3 - 3 TVM = ----------------- = --------- = - 3 1 – (-1) 2 -2 -1 0 1 2 x y=f(x)

5 TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA Dada una función f definida en un entorno del punto a, se llama: Tasa de variación INSTANTÁNEA de la función f en x = a al límite de las tasas de variación media cuando los intervalos considerados son cada vez más pequeños: f (a + Δx) – f (a) TVI = lím ------------------------- Δx  0 Δx a=0 4 x y2y2 f(x) = x / 2 g(x) = x 2 / 8 h(x) = √x

6 Tasa de variación INSTANTÁNEA f (a + Δx) – f (a) TVI = lím ------------------------- Δx  0 Δx En las proximidades de a=0 (0+ Δx )/2 – 0/2 TVI [f(x)]= lim ---------------------- = ½ Δx  0 Δx (0+ Δx) 2 /2 – 0 2 /2 TVI [g(x)]= lim ------------------- = h = 0 Δx  0 Δx √(0+ Δx) – √0 TVI [g(x)]= lim -------------------- = Δx  0 Δx √Δx √Δx √Δx 1 1 = lim ------- = lim -------------- = ------- = --- = oo Δx  0 Δx Δx  0 Δx √Δx √Δx 0 a=0 4 x y2y2 f(x) = x / 2 g(x) = x 2 / 8 h(x) = √x

7 DERIVADA EN UN PUNTO DE UNA FUNCIÓN Sea la función y = f(x) que se muestra en el gráfico mediante una curva. Si tomamos los puntos Po y P1 y los unimos mediante una recta, dicha recta será secante a la función que representa la curva trazada. La pendiente m de dicha recta será: Δ y y1 - yo m1 = ------ = ------------, Δ x x1 - xo es decir el incremento de la ordenada entre el incremento de la abscisa Imaginemos que el punto P1 se traslada hasta el punto P2. y1 yo xox1 P1 P2 Po

8 Tanto la abscisa como la ordenada han cambiado, han disminuido de valor, y la recta secante también ha variado de posición. La pendiente m de la nueva secante será: Δ y y2 - yo m2 = ------ = -------------, Δ x x2 - xo es decir el incremento de la ordenada entre el incremento de la abscisa. Observar que si el nuevo punto Pn tomado se va acercando más y más al punto Po, tanto el incremente de la ordenada como el de la abscisa tiende a cero. y2 yo xox2 P2 P1 Po

9 y1 y2 yo xox2x1 La recta secante terminará convertida en una RECTA TANGENTE, pues será tangente a la función en el punto estudiado Po = (xo, yo) La pendiente de esa recta tangente será: yn - yo 0 m = lím ------------- = [----] x  xo xn - xo 0 f(xo+h) – f(xo) 0 m = lím ------------------- = ---- h  0 h 0 A ese límite concreto, si existe, es lo que llamamos DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO ( en Po ) Se denota así: f ’(xo) Po

10 EJEMPLO 1 Sea la función y = 3 x + 4 Hallar f ´(1) f(1+h) – f(1) 3(1+h) + 4 – ( 3.1+ 4) f ’(1) = lím ----------------- = lím ------------------------------ = h  0 h h  0 h 3 + 3.h + 4 – 3 – 4 3,h = lím ----------------------------- = lim ------- = 3 h  0 h h  0 h f ’(1) = 3 Ejemplos

11 EJEMPLO 2 Sea la función y = – 2.x + 3 Hallar f ´(3) f(3+h) – f(3) – 2 (3+h) + 3 – ( – 2.3+ 3) f ’(3) = lím ----------------- = lím ------------------------------------- = h  0 h h  0 h – 6 – 2h + 3 + 6 – 3 – 2.h = lím --------------------------- = lim --------- = – 2 h  0 h h  0 h f ’(3) = – 2

12 EJEMPLO 3 Sea la función y = - x 2 + 4x Hallar f ’(1) f(1+h) – f(1) – (1+h) 2 + 4.(1+h) – (– 1+ 4) f ’(1) = lím ----------------- = lím ---------------------------------------- = h  0 h h  0 h – 1– 2.h – h 2 + 4 + 4h + 1 – 4 = lím ----------------------------------------- = h  0 h 2h - h 2 = lím ---------- = 2 – h = 2 – 0 = 2  f ’(1) = 2 h  0 h

13 EJEMPLO 4 Sea la función y = 3.x 2 – 4 Hallar f ’(2) f(2+h) – f(2) 3(2+h) 2 – 4 – (3.2 2 – 4) f ’(2) = lím ----------------- = lím --------------------------------- = h  0 h h  0 h 3.(4 + 4h + h 2 ) – 4 – 12 + 4 = lím -------------------------------------- = h  0 h 12h + 3h 2 = lím ------------- = 12 + 3h = 12 + 3.0 = 12  f ’(2) = 12 h  0 h

14 PENDIENTE Y DERIVADA 0 a b c Observar la gráfica de la función. La tangente a la gráfica en x=b será una recta horizontal y por tanto de pendiente m=0 Conclusión: Aquellos puntos de la función cuya derivada valga cero, serán los Máximos (o los Mínimos) relativos de dicha función. La recta tangente a la gráfica en x=a tiene pendiente positiva. La recta tangente a la gráfica en x=c tiene pendiente negativa Conclusión: En aquellos puntos cuya derivada sea negativa (m<0), la función será DECRECIENTE. Y si su derivada es positiva (m>0), la función será CRECIENTE. m>0 m=0 m<0

15 01 EJEMPLO DE APLICACIÓN Sea la función y = - x 2 + 4x Hallar la recta tangente y la recta normal en x=1 f(1+h) – f(1) f ’(1) = lím ----------------- = h  0 h - (1+h) 2 + 4.(1+h) – ( - 1+ 4) = lím ----------------------------------- = h  0 h -1-2h-h 2 + 4 + 4h + 1 - 4 = lím --------------------------------- = h  0 h 2h - h 2 = lím ---------- = 2 – 0 = 2 h  0 h f ’(1) = m = 2 > 0  Creciente Sea la función y = - x 2 + 4x m(tangente) = 2 en x=1 f(1)= – 1 + 4 = 3 Por la ecuación punto-pendiente: Recta tangente: y – 3 = 2.(x – 1) Recta normal: y – 3 = (– ½).(x – 1)

16 03 … EJEMPLO DE APLICACIÓN Sea la función y = - x 2 + 4x Hallar la recta tangente y la recta normal en x=3 f(3+h) – f(3) f ’(3) = lím ----------------- = h  0 h - (3+h) 2 + 4.(3+h) – (- 9+ 12) = lím ----------------------------------- = h  0 h -9-6h-h 2 + 12 + 4h + 9 - 12 = lím ----------------------------------- = h  0 h - 2h - h 2 = lím ---------- = - 2 – 0 = - 2 h  0 h f ’(3) = m = - 2 < 0  Decreciente Sea la función y = - x 2 + 4x m(tangente) = -2 en x=3 f(3)= – 9 + 12 = 3 Por la ecuación punto-pendiente: Recta tangente: y – 3 = – 2.(x – 3) Recta normal: y – 3 = ( ½).(x – 3)

17 02 … EJEMPLO DE APLICACIÓN Sea la función y = - x 2 + 4x Hallar la recta tangente y la recta normal en x=2 f(2+h) – f(2) f ’(2) = lím ----------------- = h  0 h - (2+h) 2 + 4.(2+h) – (- 4+ 8) = lím ----------------------------------- = h  0 h - 4 - 4h -h 2 + 8 + 4h + 4 - 8 = lím ----------------------------------- = h  0 h - h 2 = lím ---------- = - h = - 0 h  0 h f ’(2) = m = 0  Máx o Mín Sea la función y = - x 2 + 4x m(tangente) = 0 en x = 2 f(2)= – 4 + 8 = 4 Por la ecuación punto-pendiente: Recta tangente: y – 3 = 0.(x – 2),, y – 3 = 0,, y = 3 Recta normal: y – 3 = ( 1/0).(x – 2),,0 = x – 2,, x=2