Ecuaciones Ing. Shirley Peña Chávez. ECUACIONE S ¿Qué es una ecuación Elementos de una ecuación ECUACIONES LINEALES Ecuación lineales o de primer grado.

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1 Ecuaciones Ing. Shirley Peña Chávez

2 ECUACIONE S ¿Qué es una ecuación Elementos de una ecuación ECUACIONES LINEALES Ecuación lineales o de primer grado Forma a + x=b Forma ax = b Forma ax + b = c ECUACIÓNES CUADRATICAS Ecuación Cuadrática Clasificación Formas de Resolución: Factorización Formula general CONTENID O SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO ¿Qué es un sistema de ecuaciones de primer grado Resolver una ecuación Métodos resolución

3 Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnita, relacionados mediante operaciones matemáticas. a x = b a x + b = c x + a = b ¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN? Ejemplos

4 3 + x=15 1er miembro 2do miembro Valores conocidos o datos Valores desconocidos o incógnitas Operación 3 y 15xsuma ELEMENTOS DE UNA ECUACIÓN igualdad

5 ECUACIONES LINEALES

6 Se dice que una ecuación es de primer grado cuando la variable “x” no está elevada a ninguna potencia, es decir, su exponente es 1. a x + b = c 1 exponente ECUACIONES LINEALES

7 Las ecuaciones de la forma a + x = b se resuelve así: 73 + x = 125 2. Para pasar un número, o una variable, al otro lado del signo igual. Si está sumando pasa a restar y si esta restando pasa a sumar. Pasarlo al segundo miembro 1. Despejamos la x, es decir dejar la x sola a un lado del signo igual. - 73 Tenemos: 73 + x = 125 ECUACIONES LINEAL DE LA FORMA a + x = b 73 + x = 125

8 4. Se realiza la comprobación, tomando la ecuación original y en lugar de la incógnita se coloca el valor encontrado. Comprobación 73 + x = 125 73 + 52 = 125 125 = 125 Como es una igualdad ambos miembros tienen que dar el mismo resultado 3. Posteriormente se realizan las operaciones indicadas Nos dice que “x” vale 52 x = 125 – 73 x = 52

9 Laura va al mercado con un billete de $50, después de efectuar sus compras le sobraron $34.50. ¿Cuánto gastó en el mercado? La ecuación que expresa el problema es: 34.50 + x = 50 “x” es el valor que gastó en el mercado Solución EJEMPLO 34.50 + x = 50 despejamos “x” y realizamos operaciones x = 50 - 34.50 Comprobación 34.50 + x = 50 34.50 + 15.50 = 50 50 = 50 x = 15.50 encontramos el valor de “x” Por lo tanto 15.50 gastó en el mercado

10 Para resolver ecuaciones de la forma a∙x = b se aplica la propiedad de las igualdades, que dice: “Si se multiplica o divide por un mismo número a ambos lados de la igualdad, ésta se mantiene. “ Cuando se tiene una ecuación de esta forma, en la cual un número se halla multiplicando a la incógnita, se debe dividir a ambos lados de la ecuación por dicho número. ECUACIONES LINEAL DE LA FORMA ax = b

11 Tenemos: 5x = 30 1. Se divide siempre por el número que multiplica a la “x”, ó se multiplica por el número que esta dividiendo a “x” 5 x = 30 2. Realizamos las operaciones x = 6 Esta multiplicando por lo tanto vamos a dividir por ese número ambos miembros Encontramos el valor de “x” PASOS Comprobación Sustituimos la incógnita encontrada: 5x = 30 5(6) = 30 30 =30

12 Alejandra compró dos cuadernos en la papelería y le cobraron $32 ¿Cuánto le costó cada cuaderno? La ecuación que expresa el problema es: 2n = 32 “n” es el precio del cuaderno que nos interesa conocer Solución EJEMPLO 2n = 32 n = 16 Ambos miembros los dividimos Encontramos el valor de “n” Comprobación 2n = 32 2(16) = 32 32 = 32 Por lo tanto cada cuaderno costó $16

13 Para resolver este tipo de ecuaciones ax + b = c es: 1.Se resta a “b” en ambos miembros, si su signo es positivo y se suma si su signo es negativo: ax + b = c 2z – 10 = 16 2z – 10 +10 = 16 +10 2.Realizamos operaciones y nos queda:2z = 26 3. Se divide a ambos miembros de la igualdad entre “a”. En este caso es 2 2z = 26 Nos queda z = 13 ECUACIONES LINEAL DE LA FORMA ax + b = c

14 Comprobación Sustituimos en el lugar de la incógnita el valor encontrado. 2z – 10 = 16 2(13) - 10 = 16 26 - 10 = 16 16 = 16

15 El perímetro de un rectángulo es 16 cm. Si un lado mide 5 cm, ¿Cuál es la longitud del otro lado? La ecuación que expresa el problema es: 2x + 2 5 = 16 2x + 10 = 16 Donde “x” es el valor de la longitud que no conocemos su valor. 5 cm y EJEMPLO

16 2x + 10 = 16 2x + 10 -10 = 16 – 10 2x = 6 x = 3 Solución Ambos miembros les restamos 10 Ambos miembros los dividimos entre dos para dejar a “x” solita Comprobación Sustituimos en el lugar de la incógnita el valor encontrado. 2x + 10 = 16 2(3) + 10 = 16 6 + 10 = 16 16 =16 6 medida del lado Por lo tanto el lado mide: 2x = 2(3) = 6 medida del lado

17 ECUACIONES CUADRÁTICAS

18 Una ecuación cuadrática o de segundo grado es aquella en la cual la variable o incógnita esta elevada al cuadrado y tiene la siguiente forma: ax 2 +bx+c = 0 Termino lineal Coeficiente Termino cuadrático Termino Independiente ECUACIONES CUADRÁTICAS

19 Según su numero de términos una ecuación cuadrática con una incógnita puede ser: CompletaCompleta ax 2 + bx + c = 0 3x 2 - 5x + 6 = 0 Cuando a=1 se tiene la forma ax 2 + bx + c = 0 1 x 2 + 3x - 2 = 0 CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS

20 IncompletaIncompleta Cuando le hace falta un termino lineal: ax 2 + c = 0 2x 2 _ 3 = 0 Cuando le hace falta un termino independiente: ax 2 + bx = 0 3x 2 _ 5x = 0 Cuando le falta el termino lineal e independiente: ax 2 = 0 16x 2 = 0 CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS

21 Resolución de una ecuación cuadrática por el método de factorización: Tenemos x² - 4x = 12 1)La ecuación debe de estar igualada a cero. Por lo que a cada lado de la igualdad le restaremos 12. x² - 4x = 12 x² - 4x - 12 = 12 - 12 x² - 4x - 12 = 0 2) Se expresa el lado de la igualdad que no es cero como producto de factores. x² - 4x - 12 = 0 (x ) (x ) = 0 FACTORIZACIÓN

22 Como no es un trinomio cuadrado perfecto, hay que buscar los factores que al multiplicarse nos de como resultado -12 y que cuando los sumemos el resultado sea -4. x² - 4x-12 = 0 (x + 2) (x - 6) = 0 3) Por ultimo se iguala a cero cada factor y se despeja la variable. (x +2) = 0 x + 2 = 0 x = -2 (x - 6) = 0 x – 6 = 0 x = +6 (+2) x (-6) = -12 (+2) + (-6) = -4 Los valores de x son: -2 y +6

23 Comprobación: Se sustituyen cada uno de los valores encontrados. x = -2 x² - 4x = 12 (-2)² - 4(-2) = 12 4 + 8 = 12 12 = 12 x = +6 x² - 4x = 12 (+6)² - 4(+6) = 12 36 – 24 = 12 12 = 12

24 El área de un rectángulo es de 32m², si se sabe que uno de sus lados mide 4 metros mas que el otro, ¿Cuánto mide cada uno de sus lados? x La formula del rectángulo es: Base x Altura, por lo que tenemos B = x + 4, la altura = x y el A=32m², entonces 32 = (x+4) (x)multiplicando los factores tenemos la ecuación cuadrática: 32 = x² + 4x x² + 4x = 32 Área = 32m² EJEMPLO x + 4

25 x² + 4x = 32 1)Igualamos a cero la ecuación x² + 4x - 32 = 32 - 32 x² + 4x -32 = 0 (x- 4) (x+ 8 ) = 0 Para igualar a cero la ecuación le restamos 32 a los dos lados de la igualdad El -4 y 8 son los factores que al multiplicarlos nos da -32 y al sumarlos 4 Solución Se iguala a cero cada uno de los factores X – 4= 0 X -4 +4= 0 + 4 X= 4 X +8 = 0 X + 8 - 8= 0 -8 X = - 8

26 Los valores de x son 4 y -8, pero para resolver el problema utilizaremos el valor de 4, ya que la medida de un lado del rectángulo no puede ser negativa. Base = x + 4 Base = 4 + 4 = 8 Altura = x Altura = 4 Las medidas de los lados del rectángulo son 8m y 4m respectivamente.

27 Comprobación: Sustituimos el valor de x=4, en la ecuación x² + 4x = 32 (4)² + 4(4) = 32 16 + 16 = 32 32 = 32

28 FORMULA GENERAL DE LA ECUACIÓN

29 La formula general nos permite resolver cualquier tipo de ecuación cuadrática. Si suvalor es positivo, tiene 2 tipos de soluciones reales, una positiva y otra negativa. Si su valor es cero tiene una solución real. Si su valor es negativo tiene 2 soluciones imaginarias. FORMULA GENERAL

30 Resolución de una ecuación cuadrática por medio de la formula general: 6x² - 8x+2=0 1)Identificamos en la ecuación cada uno de los valores para a, b y c 6x ² - 8x+2= 0 a=6 a=coeficiente de x² b=-8 b=coeficiente de x c=2 c=Termino independiente

31 2) Se sustituye cada uno de los valores en la formula general: a=6, b=-8 y c=2 Se realizan las operaciones indicadas. X ı =1 X 2 = ⅓ La discriminante nos indica que su solución tiene 2 números reales distintos

32 Comprobación: Reemplazamos los valores de x en la ecuación,para comprobar si se cumple la igualdad.

33 Los lados de un triangulo rectángulo tiene por medidas en centímetros tres números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados. 2x + 2 2x + 4 2x Utilizando el teorema de Pitágoras a² + b² = c² ; tenemos que: a² = 2xb² = 2x + 2yc² = 2x + 4 Entonces: (2x)² +(2x + 2)² = (2x + 4)² desarrollando los cuadrados 4x² + 4x² + 8x + 4 = 4x² + 16x + 16 igualamos a cero la igualdad 4x² + 4x² + 8x + 4 - 4x² - 16x - 16 = 0 se reducen términos semejantes EJEMPLO

34 Por lo que se tiene la ecuación: 4x² - 8x – 12 = 0 4 x² - 2x – 3 = 0 c SOLUCION Utilizando la formula general: Se sustituyen cada uno de los valores en la formula =3 De los 2 valores de x, el que permitirá resolver el problema es 3 b a

35 Tomando como valor para x a 3 y sustituyéndolo en cada una de las ecuaciones tenemos que: Las medidas de los lados del triangulo son: 6cm, 8cm y 10cm respectivamente. COMPROBACION x² - 2x – 3= 0 a=2xb= 2x+2c=2x+4 a= 2(3)b = 2(3)+2c=2(3)+4 a=6b= 8c= 10 3² - 2(3) – 3 = 0 9 – 6 – 3 = 0 9 – 9 = 0 0 = 0 (-1)² - 2(-1) – 3 = 0 1 + 2 – 3 = 0 3 – 3 = 0 0 = 0 X= - 1 X = 3

36 SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

37 ax + by = c dx + ey = f Sistema de ecuaciones de primer grado ¿Qué es? Resolver una ecuación Métodos resolución Igualación Sustitución Reducción Ejercicios a, b, c, d, e, f son números x, y son las incógnitas que queremos calcular. SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones. Si estas ecuaciones son de primer grado, al sistemas le llamamos “sistema de ecuaciones de primer grado”

38 Resolver un sistema Resolver un sistema es encontrar los valores que tienen que tener las incógnitas para que se satisfagan las dos igualdades. Ejemplo: Valor de x, ySistema X = 22 – 1 = 4 Y = 12 + 1 = 6 X = 55 – 1 = 4 Y = 15 + 1 = 6 OKOK x – y = 4 x + y = 6

39 Tres métodos de resolución: Método de igualación Método de sustitución Método de reducción Métodos de Resolución

40 Métodos de resolución - Igualación Despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones. Aplicaremos que dos expresiones iguales a una tercera son iguales entre si. Así tendremos una ecuación con una incógnita que ya sabemos resolver. Para conocer el valor de la otra incógnita, solo tenemos que sustituir el valor encontrado en una de las ecuaciones del sistema.

41 x = 4 + y x = 6 - y x – y = 4 x + y = 6 4 + y= 6 - y Despejamos la x Igualamos las segundas partes y + y = 6 - 4 2y = 2 y = 1 x - 1 = 4 x = 4 + 1 x = 5 Sustituimos la y en una ecuación del sistema R e s o l v e m o s la ecuación Métodos de resolución - Igualación

42 Despejar una incógnita en una de las ecuaciones. Sustituir esa incógnita en la otra ecuación. Resolver la ecuación resultante. Así obtenemos el valor de una incógnita. Sustituir elvalor de la incógnita resuelta en la primera ecuación que habíamos despejado. Métodos de resolución - Sustitución

43 4 + y + y = 6 Despejamos la x en una ecuación x – y = 4 x = 4 + y y + y = 6 - 4 2y = 2 y = 1 x = 4 + y x = 4 + 1 x = 5 Sustituimos la y en la ecuación donde está despejada x Resolvemos la ecuación Métodos de resolución - Sustitución Sustituimos el valor de la x en la otra ecuación x + y = 6

44 Igualar los coeficientes de una de las incógnitas en las dos ecuaciones, pero con signo contrario, de forma que tengamos uno positivo y otro negativo. Sumar las dos ecuaciones. Obtenemos una ecuación con una incógnita que resolvemos como siempre. Sustituir el valor de la incógnita resuelta en una de las ecuaciones para calcular la otra incógnita. Métodos de resolución - Reducción

45 x – y = 4 x + y = 6 Tenemos igualados los coeficientes de la y con signos contrarios x + x = 4 + 6 2x = 10 x = 5 x – y = 4 5 – y = 4 - y = 4 – 5 y = 1 Sustituimos la x en una ecuación Sumamos las ecuaciones x – y = 4 x + y = 6 Métodos de resolución - Reducción

46 x + y = 24 x + 2y = 84 2x + y = 3 3x - 2y = 8 Ejercicios Para practicar y poner en práctica todo lo que hemos visto, intenta resolver estos sistemas empleando los tres métodos vistos: