Geometría Analítica Plana

Presentación del tema: "Geometría Analítica Plana"— Transcripción de la presentación:

1 Geometría Analítica Plana
Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta Ecuación de la circunferencia Transformación de coordenadas La parábola La elipse La hipérbola

2 Geometría Analítica Plana Ecuación de la circunferencia

3 Geometría Analítica Plana Ecuación de la circunferencia
Introducción Ecuación de la circunferencia; forma ordinaria Forma general de la ecuación de la circunferencia Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones dadas Familias de circunferencias Eje radical Tangente a una curva Tangente a una circunferencia Teoremas y problemas de lugares geométricos relativos a la circunferencia

4 Geometría Analítica Plana Ecuación de la circunferencia
Introducción

5 Las secciones cónicas Un cono circular recto se genera por una recta que pasa por un punto fijo de una recta también fija, formando con ésta un ángulo constante. Al punto fijo se le llama vértice y a cualquier posición de la recta generatriz es denominado elemento. El vértice divide al cono en dos partes llamadas mantos. Manto Vértice Manto

6 La sección cónica o simplemente cónica, es el lugar geométrico o curva que se obtiene por la intersección de un cono circular recto con un plano. Elipse Circunferencia Parábola Hipérbola

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8 Las secciones cónicas

9 Ecuación de la circunferencia; forma ordinaria
Geometría Analítica Plana Ecuación de la circunferencia Ecuación de la circunferencia; forma ordinaria

10 Definición de la circunferencia
La circunferencia es el lugar geométrico del plano descrito por un punto que se mueve a una distancia constante de un punto fijo. El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante se llama radio.

11 Ecuación de un lugar geométrico
Una curva es el lugar geométrico de todos aquellos puntos, y solamente de aquellos puntos, que satisfacen una o más condiciones geométricas dada.

12 Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico
1. Se supone que el punto P, de coordenadas (x, y), es un punto cualquiera que satisface la condición ó condiciones dadas, y, por tanto, un punto del lugar geométrico.

13 Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico
2. Se expresa, analíticamente, la condición o condiciones geométricas dadas, por medio de una ecuación o ecuaciones en las coordenadas variables x e y.

14 Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico
3. Se simplifica, si hace falta, la ecuación obtenida en el paso anterior (2) de tal manera que tome la forma f(x,y)=0

15 Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico
4. Se comprueba el reciproco: sean (x1, y1) las coordenadas de cualquier punto que satisfacen f(x.y)=0 de tal manera que: f(x1 ,y1 )=0

16 Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico

17 Forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia
Geometría Analítica Plana Ecuación de la circunferencia Forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia

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24 Forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia. Ejemplo

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27 Circunferencia con centro en el origen

28 Circunferencia con centro en el origen

29 Circunferencia con centro en el origen

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42 Forma general de la ecuación de la circunferencia
Geometría Analítica Plana Ecuación de la circunferencia Forma general de la ecuación de la circunferencia

43 Forma general de la ecuación de la circunferencia

44 Forma general de la ecuación de la circunferencia

45 Forma general de la ecuación de la circunferencia

46 Forma general de la ecuación de la circunferencia

47 Forma general de la ecuación de la circunferencia

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55 Forma general de la ecuación de la circunferencia

56 Forma general de la ecuación de la circunferencia

57 Forma general de la ecuación de la circunferencia. Ejemplo

58 Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones dadas
Geometría Analítica Plana Ecuación de la circunferencia Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones dadas

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61 Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones dadas

62 Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones dadas

63 Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones

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81 Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones

82 Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones

83 Familias de circunferencias
Geometría Analítica Plana Ecuación de la circunferencia Familias de circunferencias

84 Familias de circunferencias

85 Familias de circunferencias

86 Familias de circunferencias

87 Familias de circunferencias

88 Familias de circunferencias

89 Familias de circunferencias

90 Intersección de dos circunferencias

91 Intersección de dos circunferencias

92 Intersección de dos circunferencias

93 Intersección de dos circunferencias

94 Intersección de dos circunferencias

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97 Intersección de dos circunferencias

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100 Intersección de dos circunferencias

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121 Intersección de dos circunferencias

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146 Familias de circunferencias

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149 Familias de circunferencias

150 Familias de circunferencias

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158 Intersección de dos circunferencias

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178 ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

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191 Familias de circunferencias

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196 Familias de circunferencias

197 Recta de los centros

198 Recta de los centros

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200 Recta de los centros

201 Familias de circunferencias

202 Recta de los centros

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205 Familias de circunferencias

206 Familias de circunferencias

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210 Geometría Analítica Plana Ecuación de la circunferencia
Eje radical

211 Eje radical

212 Eje radical

213 x P1 P2 y Eje Radical Recta de los centros

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215 Recta de los centros Eje Radical x y

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217 x y Eje Radical Recta de los centros

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219 Eje radical x y Eje Radical Recta de los centros

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224 Eje radical x y Eje Radical Recta de los centros

225 Eje radical

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231 Eje radical

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235 Eje radical

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241 Centro radical

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244 Geometría Analítica Plana Ecuación de la circunferencia
Tangente a una curva

245 Tangente a una curva

246 Tangente a una curva

247 Tangente a una curva

248 Tangente a una curva

249 Tangente a una curva

250 Tangente a una curva

251 Tangente a una curva

252 Tangente a una curva

253 Tangente a una curva

254 Tangente a una curva

255 Tangente a una curva

256 Tangente a una curva

257 Tangente a una curva

258 Tangente a una curva Ilustración y repetición de todo lo anterior con una animación de Maple

259 Tangente a una curva

260 Tangente a una curva

261 Tangente a una curva

262 Tangente a una curva

263 Tangente a una curva

264 Tangente a una curva

265 Tangente a una curva

266 Tangente a una curva

267 Tangente a una curva

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269 Tangente a una curva

270 Tangente a una curva

271 Tangente a una curva

272 Tangente a una curva

273 Tangente a una curva

274 Tangente a una curva

275 Tangente a una curva

276 Ángulo entre dos curvas

277 Ángulo entre dos curvas

278 Ángulo entre dos curvas

279 Ángulo entre dos curvas

280 Tangente a una circunferencia
Geometría Analítica Plana Ecuación de la circunferencia Tangente a una circunferencia

281 Tangente a una circunferencia

282 Tangente a una curva

283 Tangente a una circunferencia

284 Tangente a una circunferencia

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288 Tangente a una circunferencia. Ejemplo

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296 Geometría Analítica Plana Ecuación de la circunferencia
Teoremas y problemas de lugares geométricos relativos a la circunferencia

297 Teoremas y problemas de lugares geométricos relativos a la circunferencia

298 Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Geometría Analítica Plana Sistemas de coordenadas Demostración de teoremas geométricos por el método analítico

299 Demostración de teoremas geométricos por el método analítico

300 Demostración de teoremas geométricos por el método analítico

301 Demostración de teoremas geométricos por el método analítico

302 Demostración de teoremas geométricos por el método analítico

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304 Demostración de teoremas geométricos por el método analítico

305 Demostración de teoremas geométricos por el método analítico

306 Demostración de teoremas geométricos por el método analítico

307 Demostración de teoremas geométricos por el método analítico

308 Demostración de teoremas geométricos por el método analítico

309 Demostración de teoremas geométricos por el método analítico

310 Teoremas y problemas de lugares geométricos relativos a la circunferencia

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317 Fin

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320 Eje radical. El eje radical de 2 circunferencias cualesquiera es perpendicular a la recta de sus centros. Recta de los centros Eje Radical x y Si C1 y C2 se cortan en dos puntos diferentes, tenemos lo que discutimos en 6, el eje radical pasa por estos 2 puntos y, por tanto coincide con su cuerda común x P1 P2 y Eje Radical Recta de los centros Si C1 y C2 son tangentes entre sí, su eje radical es la tangente común a ambas circunferencias.

321 La recta de los centros es:
Eje radical. El eje radical de 2 circunferencias cualesquiera es perpendicular a la recta de sus centros. x y Eje Radical Recta de los centros El eje radical no tiene ningún punto común con ninguna de las 2 circunferencias. La recta de los centros es: La pendiente del eje radical es: La pendiente de la recta de los centros:

322 Ejemplo: Hallar la ec. del eje radical de las circunferencias
Y demostrar que es perpendicular a la recta de sus centros. Solución: Si multiplicamos a la 2ª. ec. por -2 y la restamos de la ec. 1 tenemos la siguiente ec. 26x + 18y = 0 ec. del eje radical. La pendiente de la ec. del eje radical es: Las coordenadas de los centros son: La pendiente de las coordenadas de los centros es: Por lo tanto el eje radical es perpendicular a la recta de los centros ya que tienen sus pendientes inversas y de signo contrario.

323 Para encontrar una propiedad importante del eje radical tomemos la siguiente figura:
y x x´ y´ C ( h, k ) T . P1 (x1, y1) t r

324 Sección en desarrollo. Esta incompleta y las transparencias están ocultas

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329 x P1 P2 y

330 Familia de circunferencias las cuales tienen centros en la recta de los centros C1 y C2.
1.- Si C1 y C2 se cortan en 2 puntos diferentes , la ec. representa para todos los valores de k≠-1, todas las circunferencias que pasan por los dos puntos de intersección C1 y C2 , con la única excepción de C2 misma . 2.- Si C1 y C2 son tangentes entre sí, la ecuación representa, para todos los valores de k ≠-1, todas las circunferencias que son tangentes a C1 y C2 en su punto común, con la única excepción de C2 misma. 3.- Si C1 y C2 no tienen ningún punto común la ecuación representa una circunferencia para cada valor de k≠ -1 siempre que la ecuación resultante tenga coeficientes que satisfagan que las condiciones especificadas: Ningún par de circunferencias de la familia tiene un punto común con ninguna de las 2 circunferencias C1 y C2 .

331 Familia de circunferencias las cuales tienen centros en la recta de los centros C1 y C2.
1.- Si C1 y C2 se cortan en 2 puntos diferentes , la ec. representa para todos los valores de k≠-1, todas las circunferencias que pasan por los dos puntos de intersección C1 y C2 , con la única excepción de C2 misma . 2.- Si C1 y C2 son tangentes entre sí, la ecuación representa, para todos los valores de k ≠-1, todas las circunferencias que son tangentes a C1 y C2 en su punto común, con la única excepción de C2 misma. 3.- Si C1 y C2 no tienen ningún punto común la ecuación representa una circunferencia para cada valor de k≠ -1 siempre que la ecuación resultante tenga coeficientes que satisfagan que las condiciones especificadas: Ningún par de circunferencias de la familia tiene un punto común con ninguna de las 2 circunferencias C1 y C2 .

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333 Fin de la sección en desarrollo
Fin de la sección en desarrollo. Esta incompleta y las transparencias están ocultas

334 Ecuación de la tangente a C: Ecuación de la normal a C:
Tangente a una curva. La tangente se define como una recta que tiene un solo punto común con la curva. l´ C Y Y´ X X´ T Q M P1 (x1, y1) Si m es la pendiente de la tangente a una curva plana continua C en el punto P1(x1, y1) , tenemos las siguientes ecuaciones y fórmulas: Ecuación de la tangente a C: Ecuación de la normal a C: Longitud de la tangente:

335 Longitud de la normal Longitud de la subtangente: Longitud de la subnormal. Si tenemos 2 circunferencias C y C´ , se llama ángulo de dos curvas en uno de sus puntos de intersección, a cualquiera de los 2 ángulos suplementarios formados por las dos tangentes a las curvas en dicho punto. Si mm´ = - 1 , es decir ambos ángulos son rectos, entonces se dice que las curvas son ortogonales entre sí.

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337 Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones
Analíticamente la ecuación de una circunferencia queda determinada completamente por tres condiciones independientes, D, E, F y puede escribirse de la forma canónica o bien general. Geométricamente una circunferencia queda, también, perfectamente determinada por tres condiciones independientes, Entonces, se puede obtener la ec., de una circunferencia si se conoce: Tres puntos de la misma.  El centro y el radio.  Un punto y el centro  El centro y una recta tangente.

338 La ec. de la tangente a una circunferencia dada está perfectamente determinada cuando se conocen su pendiente y su punto de contacto ( o algún otro de sus puntos ). Si se tiene uno de estos datos, el otro debe determinarse a partir de las condiciones del problema. Se pueden considerar tres casos: Tangente a una circunferencia dada en un punto dado de contacto. Tangente a una circunferencia dada que tiene una pendiente dada. Tangente a una circunferencia dada que pasa por un punto exterior dado.