I NTRODUCTION. Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Chapter outline What is.

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1 I NTRODUCTION

2 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Chapter outline What is Geostatistics? Why shall we use it? Geostatistics for mineral resource estimation Examples (polygons) Applications 2

3 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Geoestadística: una definición simple La aplicación combinada de la teoría geológica y estadística (matemática), herramientas, métodos y conocimientos para el estudio de las variables cuya ubicación en el espacio es importante. La minería fue el primer dominio de las geoestadísticas aplicadas. Geostatistics es aplicable por extensión a otros dominios, y «geo» significa «geográfico» Geología Estadísticas 3

4 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Geostatistics - Born out of necessity La geoestadística comenzó en respuesta al problema real de la minería  Necesidad de estimaciones precisas e imparciales de grado de metal  Utilizado para el control de la red de producción, la mezcla, la planificación minera y el proyecto viable Impulso para el desarrollo  Los métodos de estimación ' clásica ' basados en polígonos de influencia son defectuosos Esto tenía implicaciones reales y serias para la operación minera El problema básico con el método clásico  La rejilla de muestras pequeñas se asigna a un volumen mucho mayor de rocas El enfoque es sesgado cuando se aplica un corte 4

5 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics ¿Qué intentamos lograr? Estimaciones fiables para:  Reduzca la clasificación errónea de minerales/desechos Apoye la minería selectiva: la minería es siempre local Ayudar a entender la verdadera variabilidad del depósito Estimaciones fiables:  Son imparciales Lidiar con el efecto de apoyo Lidiar con el efecto de información Están vinculadas a un modelo de continuidad espacial Son consistentes con los modelos geológicos Cuantificar error de estimación 5

6 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Efecto de soporte Support: volume  Soporte de punto Soporte SMU (bloque) Panel de apoyo Mean similar at each support La varianza disminuye en soportes más grandes Área bajo curva sobre un cut- off Es una propiedad física: continuidad de la mineralización 6

7 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Waste misclassified as ore Ore misclassified as waste Information effect, benefit of kriging Blocks selected from estimate grades Ellipse’s width from estimation variance Estimation variance: larger at exploration than mining phase  more misclassification Information effect: ratio of information and proportion of blocks misclassified If estimation variance is high, estimates are unreliable for selection 7

8 I NTRODUCTION G EOSTATISTICS FOR MINERAL RESOURCE ESTIMATION

9 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Flow Chart RESOURCE CLASSIFICATION DOMAIN ANALYSIS AND VALIDATION STATISTICS AND VARIOGRAPHY VARIOGRAM MODEL INTERPRETATION AND USE OF THE MODEL KRIGING NEIGHBOURHOOD ANALYSIS ESTIMATION AND VALIDATION DEFINE DOMAINS 9

10 I NTRODUCTION A PPLICATIONS

11 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics An overview of Geostatistics applications 11

12 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Comparando Kriging y simulaciones Realidad Simulación Kriging Kriging standard deviation 12

13 E STADÍSTICAS BÁSICAS

14 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Contenido del capítulo Preparación de los datos Estadísticas descriptivas Modelos probabilísticos Limitaciones de las estadísticas clásicas

15 E STADÍSTICA BÁSICA P REPARACIÓN DE LOS DATOS

16 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Preparación de los datos Estadística y Geoestadística requieren datos de buena calidad; 1.Muestras representativas; 2.Variables aditivas; 3.Datos desagrupados;  Las estadísticas aritméticas sin bias;  El muestreo irregular se debe "Desagrupar/deslusterizada”. 4.Datos regularizados;  Mismo suporte: composites por Dominios;  Regularice las muestras en relación con el mismo espesor/volumen; 16

17 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics 1. Muestras representativas Conjunto de datos que representan la población  Cada amostra deve ter a mesma probabilidade de estar no conjunto de dados. Si este no es el caso, las estadísticas calculadas a partir de este conjunto de datos sin bias. 17

18 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics 2. Variables aditivas Usted debe ser capaz de calcular la media de estas variables  Adecuado para geoestadística Las variables de leyes: quantidade por unidade de massa  Gramas por tonelada ou por metro;  % por tonelada. El tamaño de la muestra es crucial  Al calcular la media, las variables de contenido deben ponderarse por su tamaño. 18

19 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Aditividad de datos 19 Espessura (A)= 7m Teor (A)= 5g/m Espessura (B)= 3m Teor (B)= 15g/m

20 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Declustering in Isatis: Cell ceclustering 20 Tamaño de la ventana: si es posible cerca del patrón de muestreo. Si no es posible, debe ser optimizado, utilizando una gama de ventanas posibles. 11 janelas de teste, que vão de 0m x 0m x 10 m até 200m x 200m x 10m 19 janelas de teste, que vão de 0m x 0m x 10 m até 200m x 200m x 10m Média dos dados

21 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Declusterização no Minestis com o método das janelas 21 Tamanho da janela: se for possível, parecido com a malha de sondagem Se não for possível, otimização utilizando uma gama de janelas possíveis 12 janelas testadas de 20x20x3m até 1300x1300x3m Média dos dados Tamanho ótimo

22 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Declusterización Los clústeres (grupos de sondeo) del muestreo pueden provocar un bias en el valor medio El propósito de la declusterización es corregir este bias generado por una sub o sobre muestreo en la malla de sondeo Desagrupe los datos calculando los pesos de declustering Los pesos de declustering se utilizan durante la fase de análisis de datos exploratorios. (Exploratory Data Analysis - EDA).

23 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Declusterizacion Método del polígono de influência: A cada muestra se le da un peso proporcional a la superficie de su polígono de influencia – “Diagramas de Voronoi” Método cell declustering: Cada muestra recibe un peso inversamente proporcional al número de muestras dentro de la ventana de malla normal.

24 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Declusterizacion El método de cell declustering: Utilizado no Isatis e no Minestis; Probando múltiples tamaños de ventanas de declusterización; Este método evita tener que definir un campo o un radio de influencia máxima; Cluster = amostragem não representativa Caso todas as amostras tenham o mesmo peso, neste caso a media será superestimadaa

25 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Declusterizacion n=1 w=1/1=1 Janela n=5 w=1/5=0.2 n: número de muestra dentro de la ventana w: peso de declustering : w=1/n B: número de ventanas 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.2 25

26 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Declusterizacion El método de cell declustering : Es posible que las células no sean demasiado pequeñas: 1 muestra mínima en cada una; Las celulas no puede ser infinitamente grande (es decir: contener todas las muestras); Deve-se escolher um tamanho de referência. Por exemplo: o tamanho da malha de amostragem. Média dos dados declusterizados Tamanho da janela Tamanho ótimo Média aritmética dos dados Fonte: Emery, X; Géostatistique avancée, fev.2011 pagina 25

27 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Regularizacion de las muestras Impacto de la regularización  El promedio es constante;  La varianza disminuye a medida que aumenta el tamaño del compuesto. Efecto de soporte Soporte grande, menor variabilidad;  Los valores extremos aproximan el promedio. Soporte em geoestatística:  POINT: Composites, pequeño volumen;  BLOCK: Soporte para estimar (Bloques o panels). 27

28 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Regularizacion: impacto en geoestadística Jazida de hierro: comparacion entre composites de 2m, 5m, 10m, 15m

29 E STADÍSTICAS BÁSICAS E STADÍSTICA DESCRITIVA

30 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Estadística descritiva 30 Su objetivo es describir la realidad observada (población o muestra), utilizando métodos numéricos y gráficos haciendo comentarios simples de una manera más informativa posible.

31 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Objetivos da estatística clássica Las muestras contienen información parcial sobre diversas propiedades de interés Se utilizan para deducir características que son válidas para toda la población, como ordenar, exponer y resumir registros de datos. Las fases de recopilación, análisis e interpretación de datos son muy importantes para garantizar resultados de buena calidad

32 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Las distribuciones estadísticas Combinación y conteo de observaciones que tienen el mismo valor; La matriz obtenida define la distribución estadística; Fonte: J.C. Davis, Statistics and Data Analysis in Geology Wiley International Edition La medición de porosidad en 10 pozos en el litotipo "arenisca" Well NumberPorosity (%) 113 217 315 423 527 629 718 827 920 1024

33 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Representación de los datos IntervalNumber of observations [10, 15[ [15, 20[ [20, 25[ [25, 30[ 13331333 A Porosidad con un rango de clase de 5% Histograma-frecuencia cdf – función de distribución acumulativa

34 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Estadística descritiva Promedio (también llamado valor esperado o esperanza matemática E(x)) Varianza  Distribución de valores Coeficiente de variación  Relación entre la desviación estándar y média Quantis  Los valores corresponden a una frecuencia específica Mediana  El valor corresponde a una frecuencia acumulada igual a 50% Moda  Picos locales en el histograma Skewness y curtosis

35 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Características del Distribuciones 35

36 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Características del Distribuciones Coeficiente de variación Útil como medida de dificuldad para estimativa, en distribuciones assimetricas: 36 CV =  /m < 1  problema simple 1-2  alguna dificuldad com valores extremos, > 2  valores extremos deben generar grande dificuldad en la estimativa

37 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Varianza: impacto de "Outliers" Distribución de 10 muestras de porosidad: Médiam = 21.3 Variância s 2 = 27.41 Desvio padrão s = 5.24 37 Agregar muestras con valor v=35 e recalar las estadísticas: m’= 22.55  = +4% s’ 2 = 40.43  = +48% s’ = 6.36  = +21.4% → La varianza es muy sensible a los "valores atípicos”

38 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Distribuciones estadísticas Las distribuciones estadísticas se comparan por medio, varianza y principalmente por el coeficiente de variación. Outras diferencias:  Moda: Picos locales en el histograma, que puede reflejar la presencia de varios poblaciones 38

39 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Distribuciones Estadísticas  Mediana: valor correspondente a uma frequência acumulada igual a 50%  Percentis: valores correspondentes a uma frequência específica 5%, 10%, …, 95%  Assimetria: simetria da distribuição 39

40 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Distribuciones Estadísticas  Assimetria: simetria de la distribucion 40 distribuciones simétricas: Média = Mediana = Moda distribuciones com assimetria positiva ou para a derecha: Moda < Mediana < Média distribuciones con assimetria negativa ou para a izquierda: Média < Mediana < Moda Assimetria Negativa SimétricaAssimetria Positiva

41 E STADÍSTICAS BÁSICAS MODELOS PROBABILÍSTICOS

42 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics O conceito de modelo Las distribuciones de muestras se pueden comparar con distribuciones teóricas que describan a toda la población; Los modelos matemáticos se utilizan para describir el fenómeno- estos modelos son modelos probabilísticos; Las estadísticas se pueden utilizar para otros fines:  Estimar los parámetros que explican la distribución de la población y probar las hipótesis relacionadas con el

43 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Histograma 43 O histograma es un diagrama de columnas justa puestos que el área de cada rectángulo (columna) es proporcional a la frecuencia (absoluta o relativa) de la clase en particular. Es una función de distribución de probabilidad. Su columna representa gráficamente la tabla de frecuencias absolutas o relativas.

44 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Distribuições discretas Uma variável aleatória discreta Z pode tomar N valores possíveis: z 1, z 2, …, z N com probabilidades p 1,p 2, …, p N onde: Exemplos: Uma moeda com cara (0) e coroa (1): p 0 =p 1 =1/2 Um dado com 6 resultados possíveis: p 1 =p 2 = …=p 6 =1/6

45 E STADÍSTICA B IVARIADA C OMPARANDO DOS DISTRIBUCIONES

46 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Regresion Linear 46 Objective  Ayustar una linea no scatter diagram para predecir al valor de una variable a partir de otra variable.  A linea de regression de y versus x estarepresentada en la equacion:

47 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Covariancia 47  Encuentrar una medida de correlacion entre 2 variables  A covariancia entre xy es:

48 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Covariance Exemplos de distintas corelaciones: Positive weaker No correlation Positive 48

49 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Correlation coefficient Si la relacion entre las variables es linear, el coeficiente de corelacion es usado para medir la dependencia r necessarily lies between -1 and +1 49

50 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Gráficos q-q plot 50 Compara los quantiles de una distribución contra los quantiles de otra. Reta 45º – misma média y varianza Reta com xy distintos – varianza distinta Curva – medias y varianzas distintas

51 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Limitaciones de Geostatistica Clasica Mismo histograma… Son necesarias heramientas para quantificar la variabilidad espacial. 51

52 E STACIONARIEDAD

53 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Estacionariedad El uso de cualquier procedimiento estadístico asume que los datos de alguna manera pertenecen al mismo grupo, población - > estacionariedad En este caso, la ley de probabilidad de la función aleatoria es Invariante con ubicación en el espacio  Las variables tienen características (media y varianza) que son independientes de la ubicación Permite la inferencia estadística  Los parámetros de la distribución FA se determinan y en coherencia con la base de datos El aparcamiento es una hipótesis del modelo, que debe comprobarse con los datos La decisión requiere opinión de competent person

54 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Hipótesis de Estacionariedad Nuestra hipótesis de Estacionaridad determina que la cantidad aleatoria se replicará en los datos; Podemos confirmar que eso es coherente con los datos utilizando un H-Scatterplot.

55 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Na prática La decisión de estacionamiento depende de la escala; Aparcamiento en los dominios geológicos; Aparcamiento en el rango de proximidad de la Kriging: "radio de búsqueda móvil”  Esto significa que vamos a trabajar con el grupo de datos que se encuentran dentro de esta ventana 55 “Invariable "significa que las características son constantes a través del campo

56 A NÁLISIS DE D OMÍNIOS

57 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics ¿Qué son los dominios? Page 57 Subselecciones de depósitos aplicados a datos y grilla Essas seleções têm propriedades diferentes: - média - variância - variograma - anisotropia - efeito de borda... Tipicamente: - Geologia - Alta teor/Baixo teor ¿Por qué dominios? Reproduce las propiedades de las variables en las estimaciones; Evita el suavizado de zonas de diferente naturaleza; Permite trabajar con grupos homogéneos, de la misma variable regionalizada, fenómeno natural,... ¿Cuán rigurosa es esta selección?

58 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Domínios Concepto de dominio: un ejemplo Diferentes geologías resultan en áreas con mayor variabilidad Si no se reconoce esto, (por ejemplo, utilizando un único modelo de variograma) será de poca ayuda. 58

59 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Domínios El dominio debe tener en cuenta al menos: Distribución de litología; Distribución de perfiles de inateming; Distribución de información estructural; Naturaleza de los ambientes de sedimentación; ESTABILIDADE NUMÉRICA GEOLOGIA Naturaleza de la información: por ejemplo, taladros frente a ejemplo de canal; Distribución espacial de valores para los atributos principales. 59

60 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Estadísticas Page 60 Intuitivamente un dominio es una unidad homogénea del yacimiento Domain 1Domain 2 m1 σ1σ1 m2 σ2σ2 m1 m2

61 A NÁLISIS V ARIOGRÁFICA

62 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Contenido del capítulo 62 Variograma experimental Variograma experimental y anisotropía Consideraciones de estacionaridad Análisis Variográfico 3D Parámetros de cálculo y sensibilidad Modelo de variograma

63 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Limitaciones de las estadísticas clásicas 63 Las estadísticas clásicas no pueden describir la variabilidad espacial, y las herramientas deben ser aditivas El análisis Variográfico es el estudio de la variabilidad espacial e incluye: Cálculo de variogramas experimentales Ajuste de los modelos de variograma

64 A NÁLISIS V ARIOGRÁFICO V ARIOGRAMA E XPERIMENTAL

65 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics ¿Por qué nos centramos en la variabilidad? 65 Dependiendo del grado de correlación espacial, el error de interpolación puede ser muy grande. El variograma cuantifica esta continuidad espacial

66 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics H-Scatterplot 66 Ejemplo de 2 perfiles muestreados regularmente

67 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics H-scatterplots: bi-point stadistica Idea: calcular cross plot de Z(x+h) vs. Z(x)  Analisar la correlacion especial de la variable  H scatterplot El H scatterplot plota a variable com la misma variable, con pares de muestreas com distancias separadas por un vetor. 67

68 Basic statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics H-Scatterplot H-Scatterplot of layer 1 H-Scatterplot of layer 2 68

69 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics O caso intrínseco 69  (h) Variabilidade h Distância entre pares Z(x) Z(x+h)  = 0 h = 0 σ2σ2  > 0 h > 0 Z(x) Z(x+h)  = σ 2 h >> 0 Z(x) Z(x+h)

70 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Alta continuidad 70 Perfil contínuo no espaço Coordenada espacial Variável

71 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Baja continuidad 71 Perfil errático en el espacio Coordenada espacial Variable

72 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Variograma experimental 72 El variograma experimental es una estimación del verdadero variograma que representa la variabilidad real de la mineralización. Depende de los parámetros de cálculo

73 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics El variograma experimental: ejemplo 1D Page 73 Fórmula genérica: 35 35 33 33 34 31 35 37 41 41 h =100 m ( 0 +4 +0 +1 + 9 + 16 + 4 +16 + 0) =2.77

74 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics 35 35 33 33 34 31 35 37 41 41 h =200 m ( 4 + 1 +4 + 1 + 36 + 16)=6.375 Cálculo del variograma experimental 74 Fórmula genérica :

75 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics variograma unidirecional com lag = 100 Ejemplo: la nube experimental variográfica 75 Dados para o variograma unidirecional (E-W)

76 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics El cálculo del variograma experimental 76 Parámetros de variograma:  Valor de Lag: l Tolerancia: DL Números de lags Distancia máxima Número de dirección  Lag: puede ser ~ malla de sondeo (pero es empírico, prueba y ver suavizado) Tolerancia de Lag: valor geralmente 1/2 lag El promedio de la nube variográfica se calcula para cada subdivisión (lag) y genera los puntos del variograma experimental Variograma exeprimental (unidirecional)

77 A NÁLISIS V ARIOGRÁFICO V ARIOGRAMA DIRECCIONAL Y ANISOTROPIA

78 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics La identificación de la anisotropía 78 Para comprobar posibles anisotropías es necesario calcular los variogramas direccionales La anisotropía es altamente dependiente del patrón de muestreo (orientación de los datos) El objetivo es encontrar las direcciones que muestran la diferencia máxima en el rango del variograma – especialmente en una pequeña escala (sobre el origen) La interpretación geológica ofrece el punto de partida ideal para la identificación de las direcciones de anisotropía.

79 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Calculando el variograma en 2D 79 Para cada dirección, los pares se seleccionan según un sector angular definido por dos parámetros: – Ancho de banda Y Tolerancia angular a. -  +  + largura Y X U - largura

80 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics XOY -Height +Height Calculando el variograma en 3D 80 Parámetro adicional: Slicing height

81 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Variogramas direccionales 81 Los variogramas direccionales dependen de la dirección y la tolerancia angular

82 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Estacionariedad 82 ¿Qué pasa si el sill del variograma experimental está por encima de la varianza estadística (teórica)?

83 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Estacionariedad 83 Los datos de las Geociencias raramente son estacionarios cuando h tiende a infinito, pero se trata de una cuestión de escala; Las dimensiones del radio de búsqueda definen la escala del estacionamiento local -es una opción; Hay herramientas para Geoestadística no estacionaria:  Teoría de la función aleatoria intrínseca del orden K (IRFk);  Kriging Universal;  Kriging con deriva externa;

84 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics La hipótesis de estacionariedad 84 El variograma experimental muestra un aumento significativo a gran distancia. Es no estacionario ? ¿Es coherente ajustar un modelo estacionario para este variograma experimental?

85 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Los límites de estacionariedad y dominio 85 Utilice hard contacts cuando haya una variación brusca del promedio entre dominios (por ejemplo, vetas) El dominio se estima utilizando sólo los compuestos dentro del dominio;  El límite estricto trunca los rayos de búsqueda de la elipse y fuerza el. Utilice el soft boundaries cuando hay una variación difusa de la media (por ejemplo, pórfido de cobre)  El dominio se estima utilizando compuestos dentro y fuera del dominio La búsqueda de elipse no se trunca

86 A NÁLISIS V ARIOGRÁFICO A NÁLISIS V ARIOGRÁFICO 3D

87 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Análise Variográfica 3D 87 O objetivo é encontrar 3 direções que mostram a diferença máxima no variograma experimental; O modelo de variograma 3D será construído pela interpolação destas 3 direções (1D) no espaço 3D; O número de direções calculadas está limitado pelo número de dados disponíveis; A escolha das direções para serem analisadas também está sujeita à configuração espacial das sondagens; E.g. Se todas as sondagens vão na mesma direção (por exemplo, vertical) o variograma será muito bem definido nesta direção particular; A tolerância angular é um parâmetro crítico.

88 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Análise Variográfica 3D 88 Os variogramas são necessários em pelo menos 3 direções para a construção de um modelo de variograma; Em general estes variogramas são perpendiculares:  1 ou 2 (se for possível) no “plano de referencia” (e.g. plano da mineralização, plano dos veios);  1 na direção normal ao plano, (frequentemente na direção das sondagens). Parâmetros de cálculo do variograma (lag, número de lags) são muito diferente entre o plano de referência e as direções perpendiculares a ele.

89 P ARÂMETROS DE C ÁLCULO E SENSIBILIDADES A NÁLISE V ARIOGRÁFICA

90 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Lista de comprobaciones para el cálculo de variogramas 90 Compruebe la posible agrupación de los datos, utilice el decluster si es necesario; Mostrar número de pares; El enfoque en el comportamiento cerca del origen:  Nugget (efecto pepita)  Estructuras direccionales cortas Búsqueda de Anisotropies;  Comience con geología El cálculo del mapa Variográfico Calculando variogramas direccionales Compruebe el impacto de los valores atípicos (outliers) con una nube variográfica; Compruebe la estabilidad del variograma experimental modificando los parámetros; Limite el número de lags a 1/3 a 1/2 de la extensión de campo.

91 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Sensibilidade dos parâmetros de cálculo 91 Dados diários da temperatura da água a uma profundidade de 50m na lagoa Leman Comentários:  Podemos observar um aumento ligeiro da temperatura média num período de 30 anos (de 6 ° para 7 °).  Os especialistas podem ver variações periódicas!

92 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Variogramas calculados com diferentes passos e com uma tolerância de 50% Sensibilidade dos parâmetros de cálculo 92 + 50 dias, 1/2año,  350 dias, X 1año Variograma da temperatura

93 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Variogramas calculados com passo de 1 ano com diferentes tolerâncias Sensibilidade dos parâmetros de cálculo 93 + 50 dias, 1/2ano,  350 dias, x 1ano

94 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Perfil de teor de Urânio Sensibilidade à extensão do campo: outliers 94

95 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Sensibilidade aos outliers 95 Impacto dos valores discrepantes no variograma experimental Ferramentas para lidar com os conjuntos de dados altamente distorcidos/enviesados incluem: uso de máscaras, capping, transformação dos dados, opções alternativas de variograma Histograma enviesado (Skewed) Todos os dados Max mascarado Impacto na variância

96 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Sensibilidade às populações mistas 96 Anisotropia, real o aparente?

97 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Variogramas da população II Sensibilidade às populações mistas 97

98 A NÁLISIS V ARIOGRÁFICO M ODELO DE V ARIOGRAMA

99 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics ¿Por qué ajustar un modelo de variograma? 99 Kriging requiere una función de correlación definida en todas las direcciones y para toda la distancia para determinar los pesos de Kriging El modelo variograma, o variograma ajustado, asegura varianzas positivas

100 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Cálculo del modelo de variograma 100 El variograma experimental  * (h) se utiliza para estimar el modelo de variograma  (h) El modelo caracteriza la correlación espacial en todas las direcciones Debe corresponder al variograma experimental calculado en algunas direcciones limitadas Suavizará las fluctuaciones del variograma experimental

101 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Características del modelo de variograma 101 Sill Nugget effect  (h) Distance Range Generalmente: El variograma aumenta con la distancia para alcanzar la varianza estadística El sill/meseta variograma debe ser similar a la varianza Range/rango es la distancia além da qual no más correlación entre pares de muestras El range es la distancia para alcanzar el sill

102 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Porque a metade da diferencia ao quadrado? 102 Lembrando emedia do incremento = 0 Se Z(x+h) e Z(x) são independentes, em outras palavras, h além do alcance: Patamar do variograma = variância dos dados Na prática, isso deve ser aproximadamente verdadeiro (o verificar a hipótese)

103 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Los modelos variogramas pueden presentar nested structures 103

104 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Pueden representar diferentes rangos de variabilidad La función aleatoria se representa como una suma de funciones aleatorias independientes, denominadas "factores", cada una de las cuales tiene una correlación espacial modelada por una estructura. Nested Structures 104

105 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Comportamento do modelo perto da origem 105 O comportamento do variograma perto da origem é diretamente ligado à continuidade da variável

106 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Variograma “sem limite”: O alcance e o patamar não existem/não são definidos Si γ (h) aumenta a um ritmo menor que h 2 então é INTRÍNSICA Comportamento do modelo para distâncias grandes 106 Variograma “com limite” é ESTACIONÁRIO (estacionariedad de segunda ordem)

107 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Patamar Direção 1 alcance 1 0. Distance 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 Gamma Direção 2 alcance 2 Los rangos se encuentran en un elipsoide: formación lenticular, venas, etc. Anisotropia geométrica 107 alcance 1 alcance 2

108 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Anisotropia zonal 108 Sill - diferentes Range - igual Direção 1 alcance 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Distancia (Km) 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Gamma Patamar 1 Direção 2 Patamar 2 Corte en una formación sedimentaria

109 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Existen varios tipos de modelos de variogramas 109

110 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Modelo de variograma exponencial 110

111 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Modelo de variograma esférico 111 + linear próximo da origem

112 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Modelo de Variograma Gaussiano 112

113 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Modelo de variograma cúbico 113

114 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Modelo de Variograma Cardinal Sinus 114

115 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics 3 ejemplos de variogramas 115 Efeito pepita puro Modelo exponencial Modelo gausiano

116 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics  (h)=C(0)-C(h) O variograma mede a variabilidade espacial A covariância mede a “correlação” espacial La relación entre variograma y covarianza 116 medidas da variabilidade espacial medidas da “correlação” espacial  (h) C (h)

117 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Modelo de variograma: impacto en el kriging 117 Modelo Liso/contínuo  A combinação de tipos de modelo, alcances Descontínuo  E.g. efeito de pepita puro Estimativa Os valores de Kriging são mais suavizados do que os dados, mas mantém alguma parte da variabilidade Os valores de Kriging estão próximos da média global dos dados: « oversmoothing »

118 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Recomendaciones para ajustar el variograma 118 Consejos para ajustar el modelo de variograma: Utilice estructuras autorizadas para el modelo; No "sobreajuste" el variograma experimental: Utilice el modelo más simple (con un número mínimo de estructuras ) Atención:  Comportamiento cercano a origen e efecto pepita No ajuste el modelo para distancias superiores a 1/2 el 1/3 del tamaño de campo; Compruebe el estacionariedad ( Se puede limitar a la distancia máxima para el estacionamiento local en el búsqueda)

119 I NTERPOLACION LINEAL

120 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Los Interpoladores lineales clásicos 120 Varios métodos clásicos de interpolación son lineales: Interpolación por vecino más cercano; Distancia inversa ponderada; Kriging La interpolacíon por vecino más cercano asigna el valor de la muestra más cercana al bloque; Para IPD, las ponderaciones dependen únicamente de la distancia entre el punto que se estima a partir de cada punto de muestreo y la potencia "P" conectada a la distancia, que no tiene en cuenta la estructura espacial.

121 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics ¿Qué es una interpolación lineal? 121 Para calcular la estimación de una variable dada, una combinación lineal (' promedio ') de los datos de vecindad se calcula por: Isso significa que o valor estimado Z 0 * de uma variável Z é igual à soma de cada ponto de dados Z  multiplicado por um peso λ  A Kriging é uma interpolação linear onde os pesos λ , chamados pesos de Kriging, são calculados de maneira otimizada.

122 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Interpolador: Vecino más cercano 122 El valor estimado es una adición de valores multiplicados con pesos Z 0 * : valor estimado Z  : Valor en lugar  λ  : peso no local  d3 = 3 d2 = 1.5 d1 = 2 El peso λ es uno para la muestra más cercana y 0 para las otras muestras que estan más lejos. Así:

123 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Interpolator: inverso del cuadrado de la distancia 123 El valor estimado es una adición de valores multiplicados con pesos d3 = 3 d2 = 1.5 d1 = 2 Z 0 * : valor estimado Z  : Valor en lugar  λ  : peso no local 

124 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Limitación de la estimación clásica 124 Estos dos tipos de estimación lineal tienen en cuenta sólo las distancias entre el punto a estimar y las muestras. Zona de cizallamiento E-W que controla la mineralización d1 d2

125 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Interpolación geoestadística: Kriging 125 El Kriging tiene como objetivo la interpolación teniendo en cuenta la estructura espacial/variabilidad de los datos, contenida en el modelo de variograma; El modelo variograma, una función matemática, se "ajusta" al variograma experimental; El algoritmo Kriging utiliza el modelo variograma para definir las ponderaciones:

126 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Interpolador: Kriging 126 El valor estimado es una adición de valores multiplicados con pesos Z 0 * : valor estimado Z  : valor no local  λ  : peso no local 

127 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Kriging: baseada em dados e num modelo 127 Kriging Estimativa Incerteza/Variância da estimativa Dados Modelo &

128 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Definición de interpolator Kriging 128 La Condición de linealidad dos datos (promedio ponderado): La Condición de ningún siesgo: La condición óptima: El error entre el valor estimado y el real se minimiza A condição de não-viés só diz que a estimativa não é enviesada, mas não dá nenhuma informação sobre a qualidade ou o erro da estimativa. Só indica que a esperança das realizações é igual ao valor a ser estimado, mas não garante que o erro de estimativa seja pequeno Não viés Calidad

129 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Definición de interpolator Kriging 129

130 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Características de Kriging 130 El Kriging se llama “Best Linear Unbiased Estimator” (BLUE); Kriging es el mejor estimador, porque los pesos se calculan de una manera que minimizar la variância de la estimación; Var(Z * - Z 0 ) mínima  derivada =0

131 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics La varianza del error 131 Puede calcular la varianza del error utilizando la covarianza

132 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Para minimizar la varianza Con la varianza =  Para calcular el valor de la derivada = 0, es decir, el mínimo Sistema de Kriging simple A minimização da variância KS 132

133 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics El Kriging simple 133 A média é conhecida, a condição de universalidade não existe (sem restrição nos pesos) O sistema KS é: Variância de estimativa

134 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics El sistema KO es (cuando existe la covarianza) La varianza (Kriging) de la estimación viene dada por: El Kriging Ordinario 134 Sistema de Kriging ordinária Condición de universalidad

135 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics El Kriging Ordinario y las covarianzas 135 C   CnCn      CnCn C nn  x 1 n  = C  C n0 1  [A] x[][]=[B] Distancia entre datos (puntos), por por La distancia entre los datos y el punto de "ser estimado"

136 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics El Kriging Ordinario (puntos) 136 En notación de matriz de puntos, el sistema Kriging :      n        n   nn  x 1 n  =    n0 1  A Kriging toma em conta as distâncias entre os dados de dois em dois A Kriging toma em conta as distâncias entre os dados e o ponto “a ser estimado” [A] x[][]=[B]

137 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Cómo Kriging funciona? 137 Z1Z1 Z2Z2 Z3Z3 Z0Z0 X Y 1 2 3 4 12345 h 0-1 =2 h 0-2 =4 h 0-3 =4 h 1-2 =3 h 1-3 =5 h 2-3 =4 El sistema Kriging: 0.04  0.04 0.52  0.52 0.31  0.31 0.15  0.15 Objetivo-Dados Entre Dados h 0-1 =2 h 0-2 =4 h 0-3 =4 h γ(h), C(h) 5681234 1 7 meseta=1 ; rango=6

138 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics ¿Cómo funciona Kriging? 138 Z1Z1 Z2Z2 Z3Z3 Z0Z0 X Y 1 2 3 4 12345 h 0-1 =2 h 0-2 =4 h 0-3 =4 h 1-2 =3 h 1-3 =5 h 2-3 =4  0.04  0.52  0.31  0.15 Objetivo-Dados Entre Dados C 1-1 C 1-2 C 1-3 C 2-1 C 2-2 C 2-3 C 3-3 C 3-1 C 3-2 1 1 1 1 110 10.310.04 0.31 10.15 10.040.15 x λ1λ1 λ2λ2 λ3λ3 μ = C 0-1 1 C 0-2 C 0-3 0.52 0.15 λ1λ1 λ2λ2 λ3λ3 μ x C 0-1 1 C 0-2 C 0-3 0.52 0.15 = C 1-1 C 1-2 C 1-3 C 2-1 C 2-2 C 2-3 C 3-3 C 3-1 C 3-2 1 1 1 1 110 10.310.04 0.31 10.15 10.040.15 

139 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics ¿Cómo funciona Kriging? 139 Z1Z1 Z2Z2 Z3Z3 Z0Z0 X Y 1 2 3 4 12345 h 0-1 =2 h 0-2 =4 h 0-3 =4 h 1-2 =3 h 1-3 =5 h 2-3 =4 λ1λ1 λ2λ2 λ3λ3 μ x 1 0.52 0.15 = C 1-1 C 1-2 C 1-3 C 2-1 C 2-2 C 2-3 C 3-3 C 3-1 C 3-2 1 1 1 1 110 10.310.04 0.31 10.15 10.040.15 = 0.65 0.07 0.28 -0.16 λ 1 =0.65 λ 2 = 0.07λ 3 = 0.28

140 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics El Simple Kriging y las covarianzas 140 Notación de matrices de sistemas del Simple Kriging

141 K RIGING P ROPIEDADES DE PESOS DE K RIGING

142 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Propiedades de Kriging 142 Kriging es el mejor estimador lineal Tiene en cuenta:  El número y la configuración de los datos La ubicación de los datos relativos a los puntos que se estima La correlación espacial de la variable

143 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics El modelo con efecto Nugget puro: sin estimación «local» Cada punto (dado) obtiene el mismo peso  Promedio simple Propiedades de Kriging: aspectos de la simetría 143 200 m 100 m

144 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Modelo esférico con rango A = 200 m Los puntos más lejanos reciben pesos más bajos Propiedades de Kriging: aspectos de la simetría 144 200 m 100 m

145 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Modelo Gaussiano con rango a = 200 m Modelo más continuo  Mayor peso en los puntos más cercanos Propiedades de Kriging: aspectos de la simetría 145 200 m 100 m

146 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Propiedades de Kriging: anisotropía 146 Modelo esférico con isotropia, alcance a=200 m Modelo esférico con anisotropia, con alcances a x =250 m e a y =200 m

147 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Mismo modelo, diferente configuración de datos Ajuste a la izquierda  Estimación más confiable Más distancias de corte entre los datos  modelo esférico menor Propiedades de Kriging: posición estable 147

148 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Dos o tres muestras agrupadas  Desviación de estimación similar Propiedades de Kriging: efecto de desclustering 148 St-Dev : 0.919St-Dev : 0.935

149 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Agregar una muestra Efecto de pantalla perfecta  Raras en 3D Propiedades de Kriging: efecto de pantalla 149 Esférico (1, 200 m) Añadiendo un punto a la derecha, el peso más lejos será menos

150 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Influencia del efecto Nugget 150 Efeito pepita:  Los pesos son más homogéneos Los pesos negativos desaparecen

151 K RIGING DE B LOQUES K RIGING

152 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Kriging de los bloques 152 Debido al efecto de soporte, el contenido de bloque promedio no es simplemente el contenido de punto dentro del centroide de bloque; El volumen del bloque es «V» (bloque SMU/TILLING, etc...); La ampliación del soporte aumenta el suavizado y reduce la varianza de dispersión; Queremos estimar el valor medio de Z (x) en el bloque V:

153 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Sistema de Kriging ordinária de blocos 153

154 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Panel Kriging sin discretización 154 Estimación del centro del panel = Punto Kriging Leyenda = Muestras seleccionadas para realizar la estimación Valor arriba = peso Kriging Valor por debajo = valor de muestra

155 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Panel Kriging con discretización 155 Discretización 4x4 El valor de centro del panel es el promedio de los 16 valores calculados dentro del bloque Reduce la diferencia de puntos de soporte/tamaño de bloque Leyenda = Las muestras seleccionadas para realizar la estimación Valor arriba = peso Kriging Valor por debajo = valor de muestra

156 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Kriging de los bloques usando la discretización 156 Hipótesis implícita: el tamaño del «sub» es comparable al tamaño del soporte compuesto que sirvió como base para la construcción del variograma La variabilidad calculada es un valor medio debido a la regularización a lo largo del sondeo y a la longitud del compuesto La longitud vertical del soporte debe ser del mismo tamaño que la altura del bloque

157 K RIGING P ROPRIEDADES DA K RIGING

158 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Propriedades da Kriging 158 Los valores de datos no se utilizan para calcular pesos de Kriging o para calcular la varianza de Kriging Es por esta razón que Kriging se utiliza para optimizar los patrones de muestreo o la elección de la ubicación de las muestras adicionales. Los pesos permanecen sin cambios multiplicando el nivel de variograma por una constante. El parámetro Lagrange se multiplica por esta constante. La varianza de Kriging es directamente proporcional al nivel del variograma.

159 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Indicadores de la Calidad de Kriging 159 Verifica-se as características dos pontos e blocos estimados por meio de: Restrição de não viés (Slope of regression) Pendiente de la regresión E [Z | Z *] -> Cuanto más cerca de 1, mejor A suavização/Kriging Efficiency Var[Z*]/Var[Z] -> quanto mais perto de 1, melhor Adecuación de la cantidad de datos Peso atribuido a la media -> Cuanto más pequeño, mejor

160 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Restricción de no sesgo 160 No debe haber ningún sesgo condicional Esto significa que la pendiente de la regresión z vs Z * es 1.

161 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Indicadores de calidad de Kriging 161 Se verifica las características de los puntos y bloques estimados por medio de: Restricción de no sesgo (Slope of regression) Inclinação da regressão E[Z|Z*] -> quanto mais perto de 1, melhor A suavización/Kriging Efficiency Var[Z*]/Var[Z] -> quanto mais perto de 1, melhor Adecuación de la cantidad de datos Peso atribuído à média -> quanto menor, melhor

162 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics El variograma calculado a partir de los resultados de la Kriging tiene un nivel mucho más bajo que el variograma calculado a partir de los datos reales (2 veces más pequeños). El rango es mayor en el variograma calculado con los datos estimados. Efecto de suavizado de Kriging 162 Comparación entre el variograma calculado a partir de los valores de Kriging y el variograma de la base de datos.

163 K RIGING VENCINDAD

164 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Tipos de vecindad 164 Dos tipos de vecindad se pueden utilizar: Vencidario único:  Todos los datos se utilizan para cada estimación; Sólo es aplicable para pequeños conjuntos de datos. Vecindario móvil:  Cada vez que se debe estimar un nuevo punto/bloque, se determinará un nuevo conjunto (con un número limitado de datos que recibe pesos).

165 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Vencindario único 165 Todos los datos se utilizan para cada estimación; La matriz Kriging se invierte una vez para todos los puntos/bloques que serán estimados; Proporciona una estimación con la mayor cantidad de datos posible; Poco práctico para muchos proyectos mineros debido a limitaciones de memoria.

166 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Vecindario móvil 166 Obligatorio para grandes conjuntos de datos o cuando la hipótesis de estacionamiento no se satisface en cualquier escala; Elimina datos fuera de una elipse 2D o un elipsoide 3D; Los criterios de selección (definidos por el usuario) definen un subconjunto de datos dentro de la elipse/elipsoide para la estimación; Cada punto/bloque será Estimado (Kriging) con un conjunto diferente de datos; ¿Cómo optimizar?

167 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Los parámetros de radio de búsqueda dependen: La extensión dela estacionaridad; La densidad de los datos; Los parámetros de variograma ⁻Escala espacial Anisotropía Acimut Vecindario móvil 167

168 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Parâmetros da Vizinhança Móvel 168 Los rayos de búsqueda deben ser similares al rango del variograma ₋ Definição do tamanho e forma do elipsoide deve ser coerente com a hipótese de estacionaridade. La orientación de los rayos de búsqueda suele ser paralela a la anisotropia, pero no es obligatoria, depende de la orientación del modelo y de la configuración de los datos.

169 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics Parámetros de vecindad móvil 169 Sectores de búsqueda se puede generar alrededor del punto/bloque, para evitar la selección de muestras en una sola dirección en el sondeo; Número mínimo de muestras: Necesidad de estimar todos los puntos/bloques, debe equilibrar con la calidad; Número máximo de muestras: En general, cuanto más datos mejor, pero eso puede inducir estimaciones negativas;

170 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced GeostatisticsIntroduction Advanced Geostatistics La herramienta KNA KNA es una herramienta que tiene como objetivo ayudar al usuario a probar varios tipos de parámetros de radio de búsqueda y elegir la mejor combinación de parámetros

171 S IMULACIONES CONDICIONALES Introducción a la Geoestadística avanzada - Estimación de recursos recuperables con métodos no lineales

172 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced Geostatistics Simulaciones condicionales Las simulaciones son una forma alternativa de modelar la realidad:  Kriging busca Seguridad;  Las simulaciones buscan la Realidad. Las simulaciones condicionales producen realizaciones equiprobables del fenómeno, que reproducen el histograma y el variograma, respetando los datos. 172

173 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced Geostatistics Interpolation vs simulation 173 Rossi & Deutsch 2014

174 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced Geostatistics Simulación para la mineria Puede utilizar las simulaciones para: Realizar análisis de riesgo;  ¿Cuál es la probabilidad de que el contenido medio de un grupo de bloques sea mayor que el de corte? Asigne cualidades (almacenamiento y mezcla) para la planificación y secuenciación a corto plazo, Categorización de recursos con analices de incertidumbre 174

175 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced Geostatistics Concepto Un número n de realizaciones es calculado utilizando técnicas de simulación estocástica para reproducir:  Variogramas  Variogramas cruzados  Distribuciones  Valores de datos 175 Simulación no condicional Simulación condicional

176 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced Geostatistics Simulaciones condicionales Page 176 Z(x) Y(x) N Simulaciones … N simulaciones Gaussianas Simulações não- condicionais Acondicionado Variogramas … …

177 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced Geostatistics Características da simulação Cada realización simulada:  Reproduce la distribución real (histograma) de los datos (para el mismo soporte);  Reproduce el variograma;  Está condicionado por los datos;  "Respeta" los datos y su ubicación;  Es equiprobable. Promedio de muchas simulaciones = estimación usando Kriging (cutoff = 0); Aplicable a pequeños bloques; Con N simulaciones, tenemos n conjuntos de datos QTM para un corte dado. El valor medio de la QTM es igual a las estimaciones no lineales UC, IK. 177 Resultados de 4 simulaciones Datos, 1 simulación, Kriging y SD

178 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced Geostatistics Ejemplo 1: ¿Cuál es la longitud del cable? 178 Realidad New YorkLisboa Kriging 1 simulación 6767 Km 5381 Km 6705 Km = El escenario más probable = 1 de N escenarios equiprobables Punto de datos

179 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced Geostatistics Ejemplo 2: área Datos: la encuesta batimétrica de Yeu Island Objetivo: simular el área superficial Análogo al tonelaje metálico 179 Reality Kriged estimate Data locations

180 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced Geostatistics Ejemplo 2: resultados de la simulación Algunos de las 50 realizaciones simulados equiprobables 180

181 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced Geostatistics Ejemplo 2: resultados de la simulación 50 estadísticas para simulaciones 181 Histograma de áreas simuladas (km2) Superficie (km ²) Área real23,32 Área obtenida por Kriging22,88 Áreas simuladas Promedio23,17 Min15,24 Max31,9

182 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced Geostatistics Ejemplo 3: resultados de la simulación En cualquier corte en particular, el tonelaje de diferentes simulaciones no es igual. 182 Simulación 2Simulación 1

183 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced Geostatistics QTM para las Simulaciones condicionales Cuando se respetan las hipótesis apropiadas para la UC y para las simulaciones, los resultados QTM obtenidos con la UC son iguales a los medios QTM obtenidos mediante simulaciones:

184 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced Geostatistics Los beneficios de las simulaciones Calcula la distribución de los niveles posibles para cada bloque:  Evaluación de la incertidumbre Identificación de áreas con alta variabilidad- reproduce la variabilidad espacial Clasificación de recursos Los escenarios optimistas y pesimistas pueden cuantificarse, teniendo en cuenta un nivel particular de confianza Análisis de riesgo  La distribución de los resultados de simulación en cada nodo es adecuada para el análisis de riesgos; Clasificación de recursos: Qué bloques tienen una probabilidad del 80% de estar por encima del límite? 184

185 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced Geostatistics Simulación Page 185 El proceso de simulación le permite conocer los posibles resultados globales del yacimiento. Por ejemplo, podemos deducir la incertidumbre de la cantidad de metal para un corte dado.

186 L AS BANDAS DE TORNEADO Introducción a la Geoestadística avanzada - Estimación de recursos recuperables con métodos no lineales

187 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced Geostatistics Método de Turning Bands 187 Principio  Simular una función aleatoria de 1D Y1 (x) covarianza C1 (h): Simular una función aleatoria en N líneas independientemente con una covarianza dada.  Simular Y(x) em N líneas uniformemente distribuídas no espaço 3D: Obtemos a função aleatória tri-dimensional Y3(x) a partir dos valores simulados Y1  Obter os valores simulados nos nós da malha, considerando a projeção sobre N líneas uniformemente repartidas no espaço.

188 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced Geostatistics Ejemplo de simulación no condicional con 9 lineas 188 9 simulaciones 1D independientes de la covarianza esférica 1 simulación 2D, después de la proyección "media" de las 9 líneas simuladas en 1D.

189 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced Geostatistics Condicionamento das Turning Bands Obtenemos la simulación condicional añadiendo los valores de la simulación no condicional y los valores de Kriging de la diferencia entre los datos reales y los simulados: Y(x) e Ys(x) Tener el mismo variograma y la misma configuración de datos. En consecuencia, los pesos de Kriging son los mismos, cuando se aplica a valores reales o valores simulados. 189

190 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced Geostatistics Turning Band 190 Simulación no condicional + Kriging de los Resíduos = Simulación condicional

191 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced Geostatistics Número de bandas 1 Simulación con 1 banda giratoria: la simulación está condicionada por los datos, los artefactos son claramente visibles. 191

192 B IBLIOGRAFÍA

193 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced Geostatistics Bibliografía Geoestatística en geral: En inglés: Armstrong M. Basic Linear Geostatistics. Berlin: Springer, 1998. 153p. Chauvet P. Processing Data with a Spatial Support: Geostatistics and its Methods. Cahiers de Géostatistique 4. Paris: ENSMP, 1993. 57p. Chilès J.P., Delfiner P. Geostatistics: Modeling Spatial Uncertainty. N.Y.: Wiley, 1999. 695p. (Wiley series in probability and statistics). Geovariances (2010) Isatis technical References Version 10, 222 p. Isaaks E.H., Srivastava R.M. An Introduction to Applied Geostatistics. N.Y.: OUP, 1989. 561p. Wackernagel H. Multivariate Geostatistics: an Introduction with Applications. 2nd ed. Berlin: Springer, 1998. 291p. En francés: Armstrong M., Carignan J. Géostatistique Linéaire - Application au Domaine Minier. Paris: Les Presses de l’Ecole des Mines, 1997. 115p. Arnaud M., Emery X. Estimation et interpolation spatiale. Paris: Hermes Sciences, 2000. 221p Chauvet P. Aide-mémoire de géostatistique linéaire. Paris: Les Presses de l’Ecole des Mines, 1999. 367p. Geoestatística não linear: Rivoirard J. Introduction to Disjunctive Kriging and Non-linear Geostatistics. Oxford: Clarendon, 1994. 181p. Simulações: Lantuéjoul C. Geostatistical Simulation, Models and Algorithms. Berlin: Springer, 2002. 256p.

194 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced Geostatistics 194

195 B IBLIOGRAFÍA

196 Basic Statistics Variography Estimation Introduction Advanced Geostatistics Bibliografía Geoestatística en geral: En inglés: Armstrong M. Basic Linear Geostatistics. Berlin: Springer, 1998. 153p. Chauvet P. Processing Data with a Spatial Support: Geostatistics and its Methods. Cahiers de Géostatistique 4. Paris: ENSMP, 1993. 57p. Chilès J.P., Delfiner P. Geostatistics: Modeling Spatial Uncertainty. N.Y.: Wiley, 1999. 695p. (Wiley series in probability and statistics). Geovariances (2010) Isatis technical References Version 10, 222 p. Isaaks E.H., Srivastava R.M. An Introduction to Applied Geostatistics. N.Y.: OUP, 1989. 561p. Wackernagel H. Multivariate Geostatistics: an Introduction with Applications. 2nd ed. Berlin: Springer, 1998. 291p. En francés: Armstrong M., Carignan J. Géostatistique Linéaire - Application au Domaine Minier. Paris: Les Presses de l’Ecole des Mines, 1997. 115p. Arnaud M., Emery X. Estimation et interpolation spatiale. Paris: Hermes Sciences, 2000. 221p Chauvet P. Aide-mémoire de géostatistique linéaire. Paris: Les Presses de l’Ecole des Mines, 1999. 367p. Geoestatística não linear: Rivoirard J. Introduction to Disjunctive Kriging and Non-linear Geostatistics. Oxford: Clarendon, 1994. 181p. Simulações: Lantuéjoul C. Geostatistical Simulation, Models and Algorithms. Berlin: Springer, 2002. 256p.