Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos. Sea y = f(x) una función continua cuya gráfica es la de la figura. f es creciente en a,

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2 Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos. Sea y = f(x) una función continua cuya gráfica es la de la figura. f es creciente en a, b, c. f es decreciente en e, g, h. f presenta máximos relativos en d, j. f presenta mínimos relativos en i, k.

3 Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos. Definiciones

4 Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.

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6 Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos. Resultados o propiedades que utilizaremos:

7 Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.

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9 [a[a ]b]b [a[a ]b]b x α x α Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos. Reglas prácticas: Sea f(x) derivable en (a, b) Si f’(x) > 0 para todo x en (a, b), entonces f(x) es creciente en (a, b) Si f’(x) < 0 para todo x en (a, b), entonces f(x) es decreciente en (a, b) Si f’(x) = 0 para todo x en (a, b), entonces f(x) es constante en (a, b)

10 Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos. Reglas prácticas: Sea f(x) derivable en (a, b) Si f’(c) = 0, entonces en x = c hay un punto crítico, que puede ser o no un extremo relativo (máximo o mínimo). Por ejemplo: en la gráfica hay puntos críticos en b, d, e, i pero de ellos sólo hay extremos relativos en d, i

11 Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos. Reglas prácticas: Sea f(x) derivable en (a, b). Una vez localizados los puntos críticos x = c donde f’(c) = 0, se estudian los posibles extremos relativos por uno de estos dos métodos. - Criterio de la derivada primera: Si f’(x) cambia de signo en x = c, hay un extremo relativo si pasa de + a -, la función pasa de creciente a decreciente, hay máximo (razonamiento análogo para mínimo) - Criterio de la derivada segunda: Si f”(c) > 0, hay mínimo (porque entonces f’(x) es creciente en c, pasará de – a +; luego f(x) cambiará de decreciente a creciente) Si f”(c) < 0, hay máximo (razonamiento análogo) f '(c) = 0

12 [a[a ]b]b Curvatura: concavidad hacia Y + f " > 0  función cóncava hacia Y + [a[a ]b]b   x1x1 x2x2 tg α 1 < tg α 2  f '(x 1 ) < f '(x 2 ) Las pendientes de las tangentes aumentan, f ' es creciente x1x1 x2x2   Cuando la curva está por encima de la tangente, se dice que es cóncava hacia Y +

13 [a[a ]b]b α1α1 α2α2 [a[a ]b]b x1x1 x2x2 α1α1 α2α2 x1x1 x2x2 tg α 1 > tg α 2  f '(x 1 ) > f '(x 2 ) Las pendientes de las tangentes disminuyen, f ' es decreciente f " < 0  función cóncava hacia Y - Curvatura: concavidad hacia Y - Cuando la curva está por debajo de la tangente, se dice que es cóncava hacia Y -

14 Puntos de inflexión P(a, f(a)) f" < 0 f" > 0 f"(a) = 0 Cuando la curva en un punto cambia de posición respecto a la tangente, es decir cambia el sentido de la concavidad, se dice que tiene un punto de inflexión en ese punto. Si f”(a) = 0 y además f’’’ (a) ≠ 0  hay un punto de inflexión en x = a en este caso, como f” decrece, f’’’ < 0