Relaciones y Funciones Trabajo Práctico Nº 3 Relaciones y Funciones 1) Sea A = { 1 ; 2 }. Construya el conjunto P (A) x A. 2) a) Dé un ejemplo de conjuntos.

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2 Relaciones y Funciones

3 Trabajo Práctico Nº 3 Relaciones y Funciones 1) Sea A = { 1 ; 2 }. Construya el conjunto P (A) x A. 2) a) Dé un ejemplo de conjuntos A ; B ; C y D tales que : A  C y B  D. Observe que A x B  C x D. b) Suponiendo que A x B  C x D ¿se sigue de esto necesariamente que A  C y B  D ?. Explique. 3) Sean A = { x  N / 1  x  5 } y B = { 3 ; 4; 5 }. Se define R  A x B mediante (x,y)  R  x + y  5. i) Definir R por extensión. ii) Representar A x B y R. iii) Determinar R -1.

4 4) Se consideran A = { 1; 2; 3; 4; 5 } ; B={ 1; 4; 6; 16 } ; C = {2 ;3 ;8 ;10} y las relaciones R  A x B ; S  B x C, definidas por : (x,y)  R  y = x 2 y (y,z)  S  z = y/2 Se pide : i) Determinar R y S por extensión. ii) Definir la composición S º R  A x C por extensión. iii)Determinar los dominios e imágenes de las tres relaciones. 5) Analizar si las siguientes relaciones son o no de equivalencia. R = { ( -1,-3) ; (-2,0) ; (0,0) ; (-1,-1) } en A = { -3, -2, -1, 0 } S = { (2,2) ; (2,1) ; (3,3) ; (1,1) ; (3,2) ; (0,0) } en B = { x  N 0 / x  3 } 6) Sea A un conjunto de libros. Sea R 1 una relación binaria definida en A /(a,b)  R 1  el libro a cuesta mas y tiene menos hojas que b. ¿ Es R 1 reflexiva ? ¿ simétrica ? ¿ antisimétrica ? ¿ transitiva ?.

5 7) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todas las sucesiones de ceros y unos, tal que : R = {(a, b) / a  b son sucesiones que tienen el mismo número de ceros}. ¿ Es R reflexiva ? ¿ simétrica ? ¿ antisimétrica ? ¿ transitiva ? ; ¿ es relación de equivalencia ? ¿ es relación de orden ? 8) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todos los enteros positivos, tal que : R = {(a, b) / a - b es un entero positivo impar}. ¿ Es R reflexiva ? ¿ simétrica ? ¿ antisimétrica ? ¿ transitiva ? ; ¿ es una relación de equivalencia ? ¿ es una relación de orden ? 9) Descubrir la falla del razonamiento en la siguiente argumentación, que pretende probar que la reflexividad es una consecuencia de la simetría y de la transitividad :x R y  x R y  y R x  x R x

6 10) a) Determinar si el conjunto P = { A 1 ; A 2 } constituye una partición de Z con A 1 = {x  Z : 2  x} y A 2 = { x  Z : 2  x } b) Determinar si el conjunto Q constituye una partición de Z ; Q = { N; Z - } 11) Dado el conjunto de conjuntos M = {A, B, C,  }, donde A = {1, 2, 3, 4} B = {1, 3} C = {3} Clasificar en M la relación “  ”. 12) Analizar si (N,  ) y (N,  ) son láttices. 13) Representar gráficamente las siguientes relaciones : a) f : R  R / f(x) = -5 xb) g : Z pares  Z / g(x) = c) h : N  N / h(x) = 2 x + 3

7 14) Sean las relaciones f i : R  R con i = 1,2,.... 6 dadas por las fórmulas : f 1 (x) = - 3 x + 4 f 2 (x) = - x 2 + 4 x – 3 f 4 (x)= f 3 (x) = log 2 ( 2x - 3 ) f 6 (x) = f 5 (x) = a)Determine en cada caso el Dominio y la Imagen para que la relación resulte una función b)Represente gráficamente cada una de las f i c)Clasifique cada una de las f i d) En los casos que sea posible, determine y represente gráficamente f -1

8 Conjunto de partes Se escribe P (A) y está formado por todos los subconjuntos posibles que pueden formarse con los elementos del conjunto A, incluido el conjunto vacío se lee “partes de A” Sea A { a, b, c } P(A)= { {a}; {b}, {c}; {a,b}; {a,c}; {b,c}; {a,b,c}  } a b c a b c a b a c b c {a} {b} {c} {a,b} {a,c} {b,c} a b c {a, b, c} A { } =  entonces el conjuntos de partes de A es: El número de elementos que conforman P (A) es 2 n donde n =  A  A se lee cardinal del conjunto A y es igual a la cantidad de elementos que tiene el conjunto A

9 Producto Cartesiano Dado un conjunto A = { a, b } a A y un conjunto B = { 1, 2 } 1 B El producto cartesiano A x B se forma con todos los pares ordenados posibles conformados por elementos del conjunto A en el primer lugar del par ordenado y elementos del conjunto B en el segundo lugar del par ordenado b 2 A x B = {(a, 1),(a, 2),(b, 1),(b, 2) } También podemos representar el producto cartesiano en un par de ejes coordenados a b A B 2 1 (b, 1) (b, 2) (a, 1) (a, 2) A x B En el eje de abscisas (x) el conjunto A En el eje de ordenadas (y) el conjunto B y los pares ordenados en las intersecciones de las perpendiculares a cada uno de los ejes, que pasan por los elementos involucrados

10 1) Si A = { 1, 2 } Recuerda que cada uno de los subconjuntos posibles formados con los elementos del conjunto A, es un elemento de P(A) P(A) xA = { ( ,1); ( ,2); ({1},1); ({1},2); ({2},1); ({2},2); ({1,2},1); ({1,2},2) } observa que en cada par ordenado, el 1 er elemento  P (A) y el 2 do elemento  A 2) a) Si A = { a }B = { 2 } C = { a, b } D = { 1, 2 } ubicamos ahoraA  C yB  D a C 1 B b 2 A D C x D = {(a,1);(a,2);(b,2) }(b,1); a b A B 2 1 (b, 1) (b, 2) (a, 1) (a, 2) A x B A x B = { (a,2) } entonces A x B  C x D el único par ordenado de AxB; (a,2)  CxD C x D en ejes cartesianos P (A) = {  ; {1}; {2}; {1,2} } 1111 2222

11 2 b) Si A x B  C x D ¿se sigue de esto necesariamente que A  C y B  D ?. Explique. Si a  A (a, b)  A x B, Si a es elemento del conjunto A, entonces el elemento a con cualquier otro elemento del conjunto B forma un par ordenado del producto cartesiano A x B Por la consigna del ejercicio A x B  C x D, entonces... si (a, b)  A x B entonces (a, b)  C x D luego a  C, luego A  C Análogamente puede hallarse que B  D si b  B  (a, b)  A x B,  a  A por la consigna del ejercicio A x B  C x D, entonces... si (a, b)  A x B entonces (a, b)  C x D luego b  D, luego B  D   b  B si el elemento a pertenece al conjunto Aentonces al producto cartesiano A x B el par ordenado (a, b) pertenece para todo elemento b que pertenece al conjunto B

12 Relaciones Dado un producto cartesiano A x B, si se verifica que entre los elementos de algunos (o todos) los pares ordenados que lo conforman se cumple una cierta propiedad, existe una relación R 1 A 2 B 2 3 Sean A = { 1, 2 }y B = { 2, 3 } Definimos R  A x B : (x,y)  R  y = 2x En A x B = { (1, 2); (1, 3); (2, 2); (2, 3) } De analizar los pares ordenados que conforman A x B resulta que algunos pueden verificar (otros no) o puede suceder que todos verifiquen e incluso también puede suceder que ningún par ordenado verifique la condición en el par (1, 2) x = 1 y = 2 Analizamos 2 = 2  1 entonces (1, 2)  R en el par (1, 3) x = 1 y = 3 3  2  1entonces (1, 3)  R en el par (2, 2) x = 2 y = 2 2  2  2entonces (2, 2)  R en el par (2, 3) x = 2 y = 33  2  2entonces (2, 3)  R R = { (1, 2) } Y = 2 x  Y  B  incluidaen el producto cartesiano A xBsi y solo sipara todo par ordenado (x, y) que pertenece a la relación Rse verifica que el elemento x pertenece al conjunto A y que el elemento y pertenece al conjunto B A x B   (x,y)  R: x  A

13 La relación antes vista R = { (1, 2) } definida por comprensión será: R = { (x, y) / x  A  y  B  y = 2x } Observe que la definición por comprensión considera: los elementos que componen la relaciónpares ordenados (x, y) a qué conjunto pertenecen cada uno de los elementosx  A ; y  B cómo se vinculan los elementos de cada par ordenadoy = 2x B 3 2 (2, 2) (2, 3) (1, 2) (1, 3) R  A x B A x B Ejes cartesianos La relación se representa en ejes cartesianos, 1 2 A en diagrama de Venny en tablas 1 A 2 B 2 3 23 1 x- 2 -- B A R Diagramas de VennTabla de R

14 3) Si A = { x  N / 1  x  5 } B = { 3, 4, 5 } por extensiónA = {1, 2, 3, 4, 5 } Se define R  A x B mediante (x,y)  R  x + y  5. 1 A 5 B 3 3 R 2 4 5 4 1 + 3 = 4  5  (1, 3)  R 1 + 4 = 5 = 5  (1, 4)  R 1 + 5 = 6  5  (1, 5)  R 2 + 3 = 5 = 5  (2, 3)  R 2 + 4 = 6  5  (2, 4)  R 2 + 5 = 7  5  (2, 4)  R 3 + 3 = 6  5  (3, 3)  R 3 + 4 = 7  5  (3, 4)  R 3 + 5 = 8  5  (3, 5)  R 4 + 3 = 7  5  (4, 3)  R 4 + 4 = 8  5  (4, 4)  R 4 + 5 = 9  5  (4, 5)  R 5 + 3 = 8  5  (5, 3)  R 5 + 4 = 9  5  (5, 4)  R 5 + 5 = 10  5  (5, 5)  R R = {(1, 3),(1, 4),(2, 3) } en Diagrama de Venn 1 2 3 4 5 A B543B543 (1,3) (1,4) (1,5) (2,3) (2,4) (2,5) (3,3) (3,4) (3,5) (4,3) (4,4) (4,5) (5,3) (5,4) (5,5) A x B R En Gráfico cartesiano R -1 se conforma con los pares ordenados de R, pero cambiando el orden de los elementos en cada par Si (x,y)  R entonces (y,x)  R -1 R -1 = { (3, 1); (4, 1); (3, 2) } R -1 = { (y, x)  BxA  y + x  5 }

15 Composición de Relaciones Sean los conjuntos A; B y C Y entre ellos se establecen relaciones R: A  By S: B  C Definimos la composición de R y S, que se escribe S  R Como una relación que va de A en C (a, w)  S  R  (a, 2)  R y (2, w)  S AB C aa bb 11 22 vv ww S  R = { (a, w) } Puede suceder: C aa bb 11 22 vv ww A B Entonces: S  R = { (b, w); (b, v) } R S RS S  R

16 4) Se consideran A = { 1; 2; 3; 4; 5 } ; B={ 1; 4; 6; 16 } A x B = { (1,1); (1,4); (1,6); (1,16); (2,1); (2,4); (2,6); (2,16); (3,1); (3,4); (3,6); (3,16); (4,1); (4,4); (4,6); (4,16); (5,1); (5,4); (5,6); (5,16) } de analizar cuales son los pares ordenados que verifican la condición y = x 2 surge que  1 1  2 2  3 3  4 4  5 5  1 1  4 4  16  6 6 R = { (1,1);(2,4); (4,16) } AB (x,y)  R  y = x 2 ; R  A x B (y,z)  S  z = y/2 ; S  B x C  1 1  4 4  6 6  16  2 2  3 3  8 8  10 B C B x C = { (1,2); (1,3); (1,8); (1,10); (4,2); (4,3); (4,8); (4,10); (6,2); (6,3); (6,8); (6,10); (16,2); (16,3); (16,8); (16,10) } S = { (4,2);(6,3); (16,8) } (16,8) } analizando los pares ordenados que verifican la condición z = y / 2 surge que y la relación R  A x B ; C = {2 ;3 ;8 ;10} S  B x C, definidas por :

17  1 1  2 2  3 3  4 4  5 5  1 1  4 4  16  6 6 A B S = { (y,z)  B x C / z = y/2 }  2 2  3 3  8 8  10 C El dominio de la relación R es un conjunto formado por todos los elementos del primer conjunto (A), que intervienen en la relación La imagen de la relación R es un conjunto formado por todos los elementos del segundo conjunto (B) que intervienen en la relación Dm R = { 1, 2, 4 }Im R = { 1, 4, 16 } Dm S = { 4, 6, 16 }Im R = { 2, 3, 8 }  1 1  4 4  16  6 6 B R S Si R = { (x,y)  A x B / y = x 2 } El dominio de la relación S es un conjunto formado por todos los elementos del primer conjunto (A), que intervienen en la relación La imagen de la relación R es un conjunto formado por todos los elementos del segundo conjunto (B) que intervienen en la relación

18 S  R es la composición de dos relaciones Sean R: A  B S  R = S[R] Que se lee S cerito R ó R compuesta con S  1 1  2 2  3 3  4 4  5 5  1 1  4 4  16  6 6 AB  2 2  3 3  8 8  10 C  1 1  4 4  16  6 6 BRS Se conforma con los elementos de A y de C De manera que (x,z)  S  R  (x,y)  R  (y,z)  S (1, 1)  R pero 1  B no se relaciona con ningún elemento de C (2,4)  R y (4,2)  Sentonces (2,2)  S  R 3  A no se relaciona con ningún elemento de B 5  A no se relaciona con ningún elemento de B (4,16)  Ry (16,8)  Sentonces (4,8)  S  R S  R = {(2,2);(4,8) }  1 1  2 2  3 3  4 4  5 5  1 1  4 4  16  6 6 AB  2 2  3 3  8 8  10 C R S Dm S  R = { 2, 4 } Im S  R = { 2, 8 } y S: B  C

19 Propiedades de las Relaciones Cuando decimos que una Relación R está definida en A 2, decimos que : Los pares ordenados (x, y) de la relación están conformados por elementos x  A y elementos y  A si consideramos los elementos de A relacionándose consigo mismo, (o no) puede suceder que : Cada elemento del conjunto A se relaciona consigo mismo A a b  x Es Reflexiva Si algún(os) elemento(s) de A se relaciona(n) consigo mismo. A a b Es No reflexiva  x Si ningún elemento de A se relaciona consigo mismo A a b Es Arreflexiva  x para todo elemento xse verifica que si x pertenece al conjunto A entonces el par ordenado (x, x) pertenece a la Relación R x  A :  (x, x)  R existe(n) xtal que x pertenece al conjunto A y el par ordenado (x, x) no pertenece a la Relación R / x  A  (x, x)  R para todo elemento xse verifica que si x pertenece al conjunto A entoncesel par ordenado (x, x) no pertenece a la Relación R :x  A  (x, x)  R 5-6 11 7-8-9 5555 6666 7777 8888 9999 11

20 Es Simética Si para cada par de elementos de A, (x,y) que se relacionan, el par simétrico también pertenece a la relación A ab  x  y  A : (x, y)  R Si algún(os) par(es) de elementos de A, (x,y) que se relacionan, tiene(n) par(es) simétrico(s) que también pertenece(n) a la relación, pero otro(s) no A ab c Es No simétrica  x  y  A Si ningún par de elementos de A, (x,y) que se relacionan, tiene par simétrico que también pertenece a la relación A ab c Es Asimétrica  x  y  A : (x, y)  R  (y, x)  R Es Antisimétrica Si en cada par de elementos de A, (x,y) que admite simétrico, sucede que x = y A ab  (y, x)  R c / (x, y)  R  (y, x)  R  x  y  A : (x, y)  R  (y, x)  R  x = y c 5-6 11 7-8-9 5555 6666 7777 8888 9999 11

21 Si para todos los elementos x, y, z que verifican que (x,y)  R y (y,z)  R entonces el par ordenado (x, z)  R A a b c  x,y,z  A : (x,y)  R Es transitiva Si algunos de los elementos x, y, z verifican que (x,y)  R y (y,z)  R pero el par ordenado (x, z)  R (otros no) A ab c d  x  y  z  A / (x,y)  R Es No transitiva A ab c d Es Atransitiva Si todos los elementos x, y, z verifican que si (x,y)  R y (y,z)  R entonces el par ordenado (x, z)  R  x  y  z  A : (x,y)  R  (y,z)  R  (x,z)  R  (y,z)  R  (x,z)  R  (y,z)  R  (x,z)  R 5-6 11 7-8-9 5555 6666 7777 8888 9999 11

22 Clasificación de las Relaciones Si R es una relación es reflexiva, simétrica y transitiva Es Relación de Equivalencia Si R es una relación es reflexiva, antisimétrica y transitiva Es Relación de Orden amplio Si R es una relación de Orden (amplio o estricto) donde... Es Relación de Orden parcial  a,  b / (a, b)  R  (b, a)  R dicho de otra manera, hay pares ordenados de elementos que no se relacionan entre sí de ninguna forma en caso contrario... Si R es una relación de Orden (amplio o estricto) donde... Es Relación de Orden total a  b  (a, b)  R  (b, a)  R dicho de otra manera, todos los elementos diferentes se relacionan entre sí al menos de una forma Si R es una relación es arreflexiva, asimétrica y transitiva Es Relación de Orden estricto 5-6 11 7-8-9 5555 6666 7777 8888 9999 11

23 5 a) si R = { ( -1,-3) ; (-2,0) ; (0,0) ; (-1,-1) } en A = { -3, -2, -1, 0 } Para clasificar la relación, la representamos en diagrama de Venn A -3 -2 0 En el diagrama de Venn y en la definición por extensión se aprecia que hay elementos que se relacionan consigo mismo Pero otros elementos como el –3 no se relacionan consigo mismo, vemos que el par ordenado (-3, -3)  R entonces  x  A / (x, x)  R la relación es N NN No Reflexiva En el diagrama de Venn se aprecia que hay elementos que se relacionan entre sí en un solo sentido, por ejemplo: (-1, -3)  R pero (-3,-1)  R ; pero también hay pares ordenados que tienen simétrico, como: (-1,-1)  R y (0, 0)  R. Escribir  x,  y  A / (x, y)  R  (y, x)  Rla relación es N NN No simétrica Pero vemos también que los pares ordenados que admiten simétrico, son pares ordenados donde el primer elemento es igual que el segundo Entonces se aplica que en cada par de elementos de R que admiten simétrico, x = y Es antisimétrica ( -1, -1 )  R  ( -1, -3 )  R  ( -1, -3 )  R ( -2, 0 )  R  ( 0, 0 )  R  ( -2, 0 )  R Es transitiva No es Relación de Equivalencia ( -1, -1 )  R  ( -1, -1 )  R  ( -1, -1 )  R ( 0, 0 )  R  ( 0, 0 )  R  ( 0, 0 )  R 5 b 5 b Reflexiva Simétrica Transitiva Clasificación

24 5 b) S = { (2,2) ; (2,1) ; (3,3) ; (1,1) ; (3,2) ; (0,0) } en B = { x  N 0 / x  3 } Para clasificar la relación, la representamos en diagrama de Venn A 3 2 1 0 En el diagrama de Venn y en la definición por extensión se aprecia que todos los elementos del conjunto A se relacionan consigo mismo  x: x  A  (x, x)  R la relación es Reflexiva En el diagrama de Venn se aprecia que hay elementos que se relacionan entre sí en un solo sentido, por ejemplo: (3, 2)  R ; pero (2, 3)  R pero también hay pares ordenados que tienen simétrico, como: (1, 1)  R y (0, 0)  R.  x,  y  A / (x, y)  R  (y, x)  Rla relación es No simétrica Pero vemos también que los pares ordenados que admiten simétrico, son pares ordenados donde el primer elemento es igual que el segundo Entonces se aplica que en cada par de elementos de R que admiten simétrico, x = y Es antisimétrica ( 3, 3 )  R  ( 3, 2 )  R  ( 3, 2 )  R ( 3, 2 )  R  ( 2, 1 )  R  ( 3, 1 )  R Es No transitiva Podemos escribir pero... No es Relación de Equivalencia Reflexiva Simétrica Transitiva Clasificación

25 6) (a,b)  R 1  el libro a cuesta mas y tiene menos hojas que el libro b. Asumimos que A es un conjunto de libros que en precio y cantidad de hojas es tan amplio como sea posible Por ejemplo... Libro 1$ 3060 hojas Libro 2$ 15120 hojas Libro 3$ 4550 hojas Libro 4$ 780 hojas Libro 5$ 1270 hojas R 1 = { (1, 2); (1,4); (1,5); (3,1); Es Arreflexiva Esta relación no tiene pares reflexivos, porque ningún libro cuesta mas que lo que él mismo cuesta ni tiene menos hojas que las que tiene. Es Arreflexiva La relación no tiene pares simétricos, porque si el libro 1 cuesta mas y tiene menos hojas que el libro 2, no puede suceder que el libro 2 cueste mas y tenga menos hojas que el libro 1. (1, 5)  R  (5,4)  R  (1,4)  RPor ejemplo... entonces necesariamente el libro a cuesta mas y tiene menos hojas que el libro c (a, c)  R y en general, si un libro a cuesta mas y tiene menos hojas que b (a, b)  R y el libro b cuesta mas y tiene menos hojas que el libro c (b, c)  R ( a, b )  R ( b, c )  R ( a, c )  R Es transitiva (3,2); (3,4); (3,5); (5,4) } Si (1,2)  R  (2, 1)  R. E s Asimétrica Es Relación de Orden Estricto Reflexiva Simétrica Transitiva Clasificación

26 7) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todas las sucesiones de ceros y unos, tal que : R = { (a, b) / a  b son sucesiones que tienen el mismo número de ceros }. Los elementos que conforman los pares ordenados son sucesiones de ceros y unos, por ejemplo : 00; 01; 010; 000; 100; 1010; 00110010; 1110100; etc... R es un conjunto infinito... porque son infinitas las sucesiones de ceros y unos Sabido es que cada cadena tendrá exactamente la cantidad de ceros que ella misma tiene así, afirmamos que :  x: x  A  (x, x)  R l a relación es Reflexiva si la cadena x tiene igual cantidad de ceros que la cadena y (x, y)  R la cadena y tendrá igual cantidad de ceros que la cadena x  (y, x)  R l a relación es Simétrica si la cadena x tiene igual cantidad de ceros que la cadena y y la cadena y tiene igual cantidad de ceros que la cadena z entonces la cadena x tiene igual cantidad de ceros que la cadena z (x, y)  R  (x, z)  R  (y, z)  R la relación es Transitiva Reflexiva Simétrica Transitiva Clasificación Por tanto R es Relación de Equivalencia

27 8) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todos los enteros positivos, tal que : R = {(a, b) / a - b es un entero positivo impar}. La relación R está conformada por pares ordenados de números enteros positivos (naturales) tal que la diferencia entre ellos sea un entero positivo impar En primer lugar corresponde descartar los pares ordenados que estén conformados por el mismo elemento, por ejemplo (2, 2); (3, 3); (4, 4) En cualquiera de esos casos x – x = 0 y 0 NO es entero positivo impar luego, l ll la relación es Arreflexiva Si tomo dos números enteros positivos, puedo efectuar x – y con resultado positivo, solamente si x > y, en ese caso, al efectuar b – a el resultado será negativo  x: x  A  (x, x)  R  x  y  A : (x, y)  Rluego, l ll la relación es Asimétrica Supongamos tres enteros positivos x, y, z; de manera que x > y > z Si x es par e y es impar x – y será entro positivo impar, (x,y)  R si z es par  (y,z)  R x – z será entero positivo par y – z entero positivo impar pero (x,z)  R Si x es impar e y es par x – y será entro positivo impar, (x,y)  R si z es impar  (y,z)  R x – z entero positivo par pero (x,z)  R luego, l ll la relación es Atransitiva  (y, x)  R Reflexiva Simétrica Transitiva Clasificación

28 9) El razonamiento falso dice que: si x R y  x R y  y R x  x R x de otra manera ( x, y )  R el par ordenado ( x, y ) pertenece a la relación R  x R x porque la relación debe ser simétrica (por hipótesis)  x R y  y R x y también transitiva por hipótesis Si una relación es simétrica y transitiva... es reflexiva Supongamos una relación definida en A A a x y Igualmente, ahora decimos que si ( y, x )  R  y R y  y R x  x R y Hasta aquí, la reflexividad parece ser una consecuencia de la simetría y de la transitividad Pero si algún elemento del conjunto A no se relaciona con ningún otro, no se establecen la simetría ni la transitividad (por ejemplo el elemento a) Luego este elemento no tiene porqué relacionarse consigo mismo Observa que la relación definida en A es simétrica y transitiva, pero No Reflexiva ( x, y )  R  (y,x)  R  (x,x)  R Reflexiva Simétrica Transitiva

29 PARTICION DE UN CONJUNTO Dado un conjunto A cualquiera no vacío, es posible establecer una partición de A A 1 2 4 3 Conformando con los elementos de A subconjuntos A i ; A j ;.... A1A1 A2A2 A3A3 5 Así tenemos por ejemplo A 1 = { 1; 4 }A 2 = { 2; 3 }A 3 = { 5 } Donde: Todos los subconjuntos son distintos de l conjunto vacío (tienen algún elemento)A i   La intersección entre todos los subconjuntos tomados de a dos, es vacía.A i  A j =  La unión de todos los subconjuntos es igual al conjunto particionado.. . A j  A j .. = A 1) A 1   ; A 2   ; A 3   2) A 1  A 2 =  A 1  A 3 =  A 2  A 3 =  3) A 1  A 2  A 3 = A P = {A1; A2; A3 } es partición de A

30 10) a) A 1 = {x  Z : 2  x} y A 2 = { x  Z : 2  x } con P = { A 1 ; A 2 } A 1 está conformado por todos los números enteros que son divisibles por 2 A 1 = { enteros pares} A 2 está conformado por todos los números enteros que no son divisibles por 2 A 2 = { enteros impares} 1) A 1   yA 2   2) A 1  A 2 =  3) A 1  A 2 = A P PP P = { A1; A2 } es partición de Z (números enteros ) b) Evaluar si Q = { N; Z - } es partición de Z Son subconjuntos de Q N (naturales) Z - (enteros negativos) 1) N   yZ -   2) N  Z - =  3) N  Z -  Z porque en N están todos los enteros positivos (Z + ) y en (Z - ) los enteros negativos pero... 0  Ny 0  Z - si un entero es par, no es impar; y viceversa los enteros pares con los impares; conforman la totalidad de los elementos del conjunto de números enteros Q = { N; Z- } NO es partición de Z (no verifica la tercera condición)

31 11) Dado el conjunto de conjuntos M = {A, B, C,  }, donde A = {1, 2, 3, 4} B = {1, 3} C = {3} A 1 2 3 4 C B escribimos por extensión la relación “  ” definida en M todo conjunto está incluido en sí mismo cada elemento se relaciona consigo mismo Es Reflexiva si A  By B  A; A  B No Simétrica Si C  B ; y B  A  C  A Transitiva Es una Relación de Orden Amplio (A,A); (B,B); (C,C); ( ,  ); el conjunto vacío está en todos los conjuntos ( ,C); ( ,B); ( ,A);(C,B); (C,A); (B,A) }R = { La Relación en diagrama de Venn será : C BA  M Antisimétrica Pero al ser reflexiva, cada par reflexivo, tiene simétrico, entonces... en la relación de inclusión siempre está presente la transitividad...

32 LATTICES Un conjunto ordenado es láttice si cualesquiera dos elementos en el conjunto tienen Cota Superior Mínima y única Cota Inferior Máxima y única Un conjunto es ordenado si sus elementos se vinculan mediante una relación de orden Sea A = { a, b, c, d, e, f, g } ReflexivaAntisimétricaTransitiva Relación de orden a       db c ef g Construimos un gráfico donde la reflexividad se muestra con  para significar que cada elemento se relaciona consigo mismo unimos con un segmento los elementos que se relacionan entre sí, por ser antisimétrica. ej (a,b); (a,d); (c,e)  R pero (b,a); (d,a); (e,c)  R y aceptamos la transitividad en el sentido del recorrido de los elementos que se vinculan a través de los segmentos y se define en él la relación R (a,b)  R  (b,e)  R  (a,e)  R (a,c)  R  (c,f)  R  (a,f)  R por ejemplo : (a,f)  R  (f,g)  R  (a,g)  R R = { (a,a);(b,b);(c,c);(d,d);(e,e);(f,f); (g,g)} (a,b);(a,c);(a,d); (a,e);(a,f);(a,g); (b,e); (b,g);(c,e);(c,f);(c,g);(d,f);(d,g);(f,g);(e,g);

33 Sea el conjunto ordenado A a       db c ef g en el que se define una relación de orden R (reflexiva, antisimétrica y transitiva) Tomando dos elementos cualesquiera, por ejemplo para (a,b) c. s. mím. = b para (b,c) c. i. Máx. = a para (e,f) se aprecia que, efectivamente para dos elementos cualesquiera de A, existen c.s.mín y c.i. Máx. y son únicas siempre que el gráfico resulta una retícula cerrada, como en este caso, el conjunto con la relación en él definida es Láttice (retícula) R = { (a,a);(b,b);(c,c);(d,d);(e,e);(f,f);(g,g);(a,b);(a,c);(a,d); (a,e);(a,f);(a,g);(b,e);(b,g);(c,e);(c,f);(c,g);(d,f); (d,g)}(f,g); (e,g); para (c,d) para (b,g) para (d,e) c. s. mím. = e c. i. Máx. = a c. s. mím. = g c. i. Máx. = c c. s. mím. = f c. i. Máx. = a c. s. mím. = g c. i. Máx. = b c. s. mím. = g c. i. Máx. = a

34 Si analizáramos la misma relación pero en un conjunto B = { a, b, c, d } a    db c Si bien los pares (a,b); (a,c); (a,d) tienen c.s.mín y c.i. Máx. únicas Los pares (b,c); (b,d) por ejemplo, NO tienen c.s.mín única (elementos que no están en la misma línea y la retícula no se cierra) Entonces en este caso N O hay Láttice Observa que las retículas están abiertas Por extensión será: R = { (a,a); (b,b); (c,c); (d,d); (a,b); (a,c); (a,d) } De manera que los pares reflexivos se representan Los pares antisimétricos se representan uniendo con una línea (que se entiende siempre en un solo sentido –hacia abajo-) Si analizamos la relación por extensión veremos que se trata de una relación transitiva Pero... Tampoco son Láttice retículas como a    d b c   d b c   a e f Ello se debe a que hay pares de elementos que no tienen única c.s.min y/ó c.i.Máx

35 12 a) Analizar si (N,  ) es Láttice N = { 1, 2, 3, 4, 5,..... } el conjunto N está conformado por 1      4 2 3 5.... ( N,  ) significa que N es un conjunto ordenado según la relación  cada elemento se relaciona consigo mismo, e ee es reflexivo La relación e ee es antisimétrica. (1,2)  R; (2,3)  R; (1,3)  R;..... y transitivaes apreciable que entre los elementos 3 y 4 la cota superior mínima es 5la cota inferior máxima es 2 y así sucesvamente, para cualquier par de valores (m, n) entre los elementos 2 y 5 la cota superior mínima es 4 la cota inferior máxima es 3 habrá cota superior mínima = n si tomamos un par de valores donde m = n Se verifica entonces que ( (( ( N,  ) es láttice (por ser relación de orden) y cota inferior máxima = m coinciden las c.s.mín = c.i.Máx = m = n 12 b 12 b

36 12 b) Analizar si (N, /) es Láttice 1 23 9 12 18 6      4  5  Analizaremos para algunos elementos de N y trataremos de “generalizar” las situaciones que encontremos, basándonos en propiedades conocidas 1 divide a cualquier natural, entonces comenzamos con el 2 y el 3 vinculamos al 2 y 3 los naturales que son múltiplos precisamente de 2 y 3 que son el 4; 6 y 9 e irán apareciendo números primos a medida que avanzamos (divisibles solamente por sí mismos y por la unidad) y continuamos buscando múltiplos de 4; 6 y 9 el 12 y el 18 por ejemplo y la retícula puede seguir creciendo, por tratarse de un conjunto infinito; Es claro que, tomados dos elementos cualesquiera siempre hay una cota inferior máxima única ( 1 ) cada natural es divisible pos sí mismo, entonces es reflexiva por ejemplo el 3 y el 5 dividen a 15

37 1 23 9 12 18 6      4  5  Pero lo que parece no estar claro es si hay cota superior mínima (única) la retícula parece no cerrarse cuando los valores crecen (parte inferior del grafo) Pero tenga presente que cada vez que aparezcan en la retícula dos vértices (elementos) que parezcan “no cerrarse”; sin dudas habrá algún número natural que resulta divisible por ambos, por ejemplo el producto de ambos 36  Finalmente, tomados dos elementos cualesquiera de N { m, n } Puede suceder que m = n ó bien que m  n Si m = n coinciden las cota sup. Mím y cota inf. Máx. que es el mismo m =n Si m  n existe siempre mínimo común múltiplo y máximo común divisor de m y n; que son respectivamente las cota sup. Mím y cota inf. Máx. de {m, n} Luego ( N,  ) es Láttice Si analizamos (N 0,  ) Es fácil advertir que 0 no divide a 0 Luego ésta no es una relación reflexiva y por ello no es de orden entonces ( N0,  ) NO es Láttice 15 

38 FUNCIONES Una relación R  A x Bes función... Si verifica dos condiciones: Existencia Unicidad Existencia verifica si para cada elemento del conjunto A existe una imagen en B Simbólicamente  a  A 1 2 3 2 3 4Unicidad, si cada elemento del conjunto A se relaciona con un solo elemento del conjunto B Simbólicamente (a, b)  f AB A = { 1, 2, 3 }B = { 2, 3,4 } R : (a, b)  b = a + 1 :  b  B/ (a, b)  f para todo elemento a que pertenece al conjunto Ase verifica que existe un elemento b que pertenece al conjunto B tal que el par ordenado (a, b) pertenece a f Dados dos conjuntos definimos en el producto cartesiano A x B una Relación y  (a, c)  f  b = c Si el par ordenado (a, b) pertenece a fy el par ordenado (a, c) pertenece a f entonces b es igual a c Es función si cada elemento del conjunto A se relaciona con uno y solo un elemento del conjunto B 13a 13b 13 14 i 14 i 14 ii 14 ii 14 iii 14 iii 14 iv 14 iv 14 v 14 v 14 vi 14 vi 13c

39 1 2 3 2 4 AB En situaciones como también se verifica que para cada elemento del conjunto A existe una imagen en B (existencia) cada elemento del conjunto A se relaciona con un solo elemento del conjunto B (unicidad) Situaciones como... Es función 1 2 3 2 4 A B no verifica la condición de existencia el elemento 2  A pero no tiene un correspondiente en B NO es función 1 2 3 1 3 4 AB 2 En el caso... no verifica la condición de unicidad el elemento 1  A se relaciona con dos elementos diferentes de la imagen (B ) NO es función 13 14 13a 13b 14 i 14 i 14 ii 14 ii 14 iii 14 iii 14 iv 14 iv 14 v 14 v 14 vi 14 vi 13c

40 Clasificación de funciones Una función es inyectiva Una función es inyectiva si dos elementos cualesquiera diferentes del dominio tienen imágenes diferentes 1 2 3 2 3 4 AB función inyectiva En este caso tenemos función inyectiva  x 1  x 2  A : x 1  x 2  f(x 1 )  f(x 2 ) Porque cada elemento del conjunto A tiene imagen diferente en el conjunto B Una función es sobreyectiva Una función es sobreyectiva si todos los elementos del conjunto B (codominio) son Imagen de la función, es decir que todos los elementos del conjunto B admiten al menos un antecedente en el dominio función sobreyectiva En este caso tenemos función sobreyectiva Porque todos los elementos del conjunto B tienen un antecedente con el que se relacionan en el conjunto A Si una función es inyectiva y sobreyectiva... es BIYECTIVA  y  B,  x  A / y = f(x) 13 14 13a 13b 14 i 14 i 14 ii 14 ii 14 iii 14 iii 14 iv 14 iv 14 v 14 v 14 vi 14 vi 13c

41 Puede suceder que... 1 2 3 2 3 4 AB se verifica que 1  2 pero f(1) = f(2) = 2 función NO inyectiva asimismo el elemento 3 del conjunto B no admite antecedente en el conjunto A función NO sobreyectiva 1 2 3 2 4 AB Si...se verifica que 1  2 pero f(1) = f(2) = 2 función NO inyectiva pero todos los elementos del conjunto B admiten antecedente en A función sobreyectiva 1 2 3 2 4 AB 3 1 cada elemento del conjunto A tiene imagen diferente en el conjunto B función inyectiva pero no todos los elementos del conjunto B admiten antecedente en A función NO sobreyectiva 13 14 13a 13b 14 i 14 i 14 ii 14 ii 14 iii 14 iii 14 iv 14 iv 14 v 14 v 14 vi 14 vi 13c

42 Para representar cualquier función se debe conocer... Cuál es el dominio donde está definida la función... y cuál es la imagen que se corresponde con el dominio de la función Dm Im y se estudia la ley de variación de la función definida por y = f(x)... Y = f(x) x y esto se hace asignándo valores x i en la expresión y = f(x); encontrando el resultado y i que le corresponde a f(x i ) el dominio de la función son los valores que puede tomar x i en f(x) La imagen de la función son los valores que se corresponden con cada valor del dominio de la función recuerde siempre que: si un valor del conjunto “de salida A” no tiene imagen, la expresión no es función (Existencia) Representación Gráfica de Funciones Si dos elementos diferentes del codominio (conjunto B) son imagen del mismo elemento de A, la expresión no es función (Unicidad) 13 14 13a 13b 14 i 14 i 14 ii 14 ii 14 iii 14 iii 14 iv 14 iv 14 v 14 v 14 vi 14 vi 13c

43 Podemos representar gráficamente una función en un par de ejes coordenados en el eje de abscisas (x) el dominio N En el eje de ordenadas (y) la imagen N 1 2 3 4 N N 5 4 3 2 1 Sea f xx + 1y Si la misma ley de variación (y = x + 1) estuviera definida de R  R Pero al ser el dominio todos los puntos del eje x (reales), la función está definida para todo x La función ahora es f : R  R / f(x) = x + 1 Sea la función fque va de Naturales en Naturalestal que “f de x”es igual a x + 1 : N  N/ f(x)= x + 1 y confeccionamos una tabla, asignándole valores a x para hallar valores de y si 1 1 + 1 2 si 22 + 1 3 si 33 + 1 4 si 44 + 1 5 el dominio ahora será Reales R R y la imagen también Reales debemos unir todos los puntos obtenidos x y 13 14 13a 13b 14 i 14 i 14 ii 14 ii 14 iii 14 iii 14 iv 14 iv 14 v 14 v 14 vi 14 vi 13c

44 13 a) Para representar f: R  R / f(x) = - 5 x Primero reconocemos que el dominio son todos los números reales Entonces cualquier valor de x debe tener un correspondiente en y Trazamos un par de ejes coordenados y confeccionamos una tabla de valores x- 5 xY 1 -5 · 1 - 5 -1 -5 · (-1) 5 0 -5 · 0 0 2 -5 · 2 -10 -2 -5 · (-2) 10 Y finalmente porque es una relación que va de Reales en Reales, trazamos con línea llena una recta que une los puntos identificados Funciones Rep. Gráfica Rep. Gráfica Clasificación 13 b 13 b 13 c 13 c

45 13 b) Para representar g: Z pares  Z / g(x) = reconocemos el dominio y la imagen de la relación Entonces serán pares ordenados (x,y) válidos solamente aquellos donde x e y sean números enteros Trazamos un par de ejes coordenados y confeccionamos una tabla de valores x Y 2 ½ · 2 1 -2 ½ · (-2) - 1 4 ½ · 4 2 -4 ½ · (-4) - 2 Y la relación queda representada por puntos porque va de Enteros pares en Enteros. (no corresponde el trazado de linea llena) - 6 ½ · (-6) - 3 6 ½ · 6 3 0 ½ · 0 0 Funciones Rep. Gráfica Rep. Gráfica Clasificación 13 c 13 c

46 13 c) Para representar h(x) = 2x + 3 definida de N en N Primero reconocemos cual es el dominio En este caso tanto el dominio como la imagen son el conjunto de los números naturales (N) Significa que serán pares ordenados de la relación aquellos en los que x  N y resulta de aplicar x en h(x), que también h(x)  N Trazamos un par de ejes coordenados Y confeccionamos una tabla de valores para g(x) x2x + 3Y 1 2 · 1 + 3 5 2 2 · 2 + 3 7 3 2 · 3 + 3 9 4 2 · 4 + 3 11 5 2 · 5 + 3 13 Y la función queda representada por puntos porque va de Naturales en Naturales y cual es la imagen de la relación Funciones Rep. Gráfica Rep. Gráfica Clasificación

47 14 i) Para analizar el dominio de la expresión y = –3x + 4 consideramos que la variable x puede tomar cualquier valor real entoncesDm = { x / x  R }Dm = [ -  ;  ] de la misma manera, los valores que tome y para los diferentes valores de x, van a estar contenidos en la recta de los reales entoncesIm = { x / x  R } Im = [ -  ;  ] Trazamos un par de ejes coordenados y confeccionamos una tabla de valores x- 3 x + 4Y 1 - 3 · 1 + 4 1 -1 - 3 · (-1) + 4 7 2 - 3 · 2 + 4 - 2 Cada valor del dominio (x) tiene un valor diferente en la imagen (y) Inyectiva Todos los elementos de la imagen (eje y) admiten un antecedente en el dominio (eje x) Sobreyectiva Por ser una función inyectiva y sobreyectiva Es función biyectiva es una función que va de Reales en Reales Funciones Rep. Gráfica Rep. Gráfica Clasificación 14 ii 14 ii 14 iii 14 iii 14 iv 14 iv 14 v 14 v 14 vi 14 vi

48 14 ii) Para analizar el dominio de la expresión y = – x 2 + 4x - 3 consideramos que la variable x puede tomar cualquier valor real entoncesDm = { x / x  R }Dm = [ -  ;  ] Trazamos un par de ejes coordenados y para confeccionar la tabla de valores buscamos los valores de x que hacen 0 la función (raíces) x- x 2 + 4x - 3Y 1 - 1 2 + 4 · 1 - 3 0 3 - 3 2 + 4 · 3 - 3 0 2 - 2 2 + 4 · 2 - 3 1 Antes de definir la imagen, vamos a representar gráficamente la parábola con estos valores empezamos la representación gráfica El vértice de la parábola estará en un punto equidistante Tomamos valores a la izquierda y a la derecha de los ya hallados 0 - 0 2 + 4 · 0 - 3 - 3 4 - 4 2 + 4 · 4 - 3 - 3 -1 -(-1) 2 + 4·(-1) - 3 - 8 5 - 5 2 + 4 · 5 - 3 - 8 y finalmente trazamos la curva uniendo todos los puntos ( R  R ) Funciones Rep. Gráfica Rep. Gráfica Clasificación 14 iii 14 iii 14 iv 14 iv 14 v 14 v 14 vi 14 vi

49 La Relación definida por y = – x 2 + 4 x – 3 que tiene una gráfica tiene el dominio en Reales Dm = { x / x  R } De observar el gráfico, vemos que la relación no tiene valores de y mayores que 1 Im = { x / x  R  x  1 } en el gráfico y en la tabla se nota que hay valores diferentes del dominio (x) que tienen la misma imagen (y); f(0) = - 0 2 + 4 · 0 – 3 = - 3 f(4) = - 4 2 + 4 · 4 – 3 = - 3 No Inyectiva con solo un par de valores del dominio que admita la misma imagen, es suficiente para que la función sea No Inyectiva Igualmente es posible ver que, de los elementos del conjunto de llegada (Reales - eje Y), solamente los menores o iguales que 1 pertenecen a la imagen de la función No Sobreyectiva por ejemplo Funciones Rep. Gráfica Rep. Gráfica Clasificación

50 14 iii) Antes de analizar la expresión y = log 2 (2x - 3) Recordamos que a la función logarítmica la podemos definir mediante : ejemplo : Las calculadoras en general, con la tecla Log x entregan valores de logaritmo decimal; es decir de logaritmos en base 10 y con la tecla Ln x entregan valores de logaritmo natural; ( logaritmos en base e ) Si deseamos conocer un logaritmo con base distinta de 10 ó e debe... plantear la siguiente expresión : NO porque si el logaritmo es decimal, NO se coloca la base ¿ en la tecla de la calculadora falta la base ? con la calculadora (que resuelve solo logaritmos decimales), podemos resolver un logaritmo que no es decimal Ejemplo : calcula log 2 8 = 14 iv 14 iv 14 v 14 v 14 vi 14 vi

51 14 iii) Ahora representamos gráficamente log 2 (2x - 3) x[log(2x-3)]/log2Y 2 0/0,301030 0 2,5 0,301030/0,301030 1 3,5 0,602060/0,301030 2 5,5 0.903090/0,301030 3 9,5 1,204120/0,301030 4 Vamos a confeccionar una tabla de valores 1,75 –0,301030/0,301030 -1 si x = 1,5 trazamos entonces en x = 1,5 la asíntota de la función investigamos qué pasa a la izquierda de la asíntota, por ejemplo para x = 0 porque no existe ningún valor al se cual pueda elevar 2 y obtener como resultado un negativo recuerda que : 1,65 –0,522879/0,301030 -2,26 1,55 - 1/0,301030 -3,32 2x – 3 = 0 Sabemos que el log 0  siempre que 2x – 3 > 0 habrá algún valor para f(x) 2x – 3 toma valores negativos y la función no está definida en esos valores ( x < 1.5 ) trazamos la curva con los puntos conocidos (sin tocar la asíntota) Funciones Rep. Gráfica Rep. Gráfica Clasificación

52 la relación definida por y= log 2 ( 2x – 3 ) se representa en el gráfico x toma solamente valores mayores que 1,5 entonces: Dm = { x / x  R  x  1,5 } Im = { x / x  R } Cada valor del dominio (eje x) tiene un valor diferente en la imagen (eje y) Función Inyectiva Todos los elementos del codominio (eje y) son imagen de la función -admiten un antecedente en el dominio (eje x)- Función Sobreyectiva Por ser una función inyectiva y sobreyectiva Es función biyectiva En cambio, en el gráfico se ve que todos los valores del eje y tienen antecedente en x Recuerda que siempre es conveniente empezar a representar una función logarítmica localizando la asíntota Funciones Rep. Gráfica Rep. Gráfica Clasificación

53 14 iv) Si f(x) = En primer lugar reconocemos que x no puede tomar valores menores que -2 En consecuencia D m = {x/x  R  x  –2 }Dn = [-2 ; ) Con frecuencia los alumnos confunden esta relación (definida por partes) con “tres relaciones diferentes” Se trata de una sola relación (tiene y hemos hallado un solo dominio); PERO TAMBIEN TIENE DIFERENTES LEYES DE VARIACION EN DETERMINADOS TRAMOS DEL DOMINIO si x > 0 la ley de variación es x - 1 si x = 0 la función vale 3 si x  0 la función vale x 3 + 1 La representación gráfica se realiza como para cualquier otra relación Se confeccionan tablas de valores cuidando que las leyes de variación se correspondan con los respectivos intervalos del dominio Funciones Rep. Gráfica Rep. Gráfica Clasificación 14 v 14 v 14 vi 14 vi

54 xy = x - 1Y 1 1 - 1 0 3 3 – 1 2 Para x > 0 f(x) = x - 1 Si x se acerca mucho a 0, pero sin ser igual a 0, toma por ejemplo valores como 0,1; 0,01; 0,001, etc si x fuera igual a 0 entonces y sería igual a - 1 debemos entender que si x se acerca a 0 con valores mayores que 0, y se acerca a –1, pero sin ser y = -1 Representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma valores muy próximos a ese valor (-1) para valores muy próximos de x = 0 (por derecha ); pero sin ser y = – 1 en x = 0 Unimos con una recta todos los valores hallados por tratarsae de una ley de variación lineal y comprobamos que hay “al menos” tres puntos alineados En x = 0 la función vale 3 Funciones Rep. Gráfica Rep. Gráfica Clasificación

55 xy = x 3 + 1Y -1 (-1) 3 + 1 0 -2 (-2) 3 + 1 - 7 Para x < 0 f(x) = x 3 + 1 Si x se acerca mucho a 0, pero sin ser igual a 0, toma por ejemplo valores como -0,1; -0,01; -0,001, etc si x fuera igual a 0 entonces y sería igual a 1 (con esta ley de variación) debemos entender que si x se acerca a 0 con valores menores que 0, y se acerca a 1, pero sin ser y = 1 Representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma valores muy próximos a ese valor (1) para valores muy próximos de x = 0 (por izquierda); pero sin ser y = 1 en x = 0 Unimos los tres puntos hallados con uina curva de parábola cúbica solo para valores comprendidos en el intervalo [-2; 0) y tenemos así la representación gráfica de la función f : Dm  Im / f(x) = Funciones Rep. Gráfica Rep. Gráfica Clasificación

56 El dominio de la función ya fue encontrado [ -2;  ) Y podemos observar en el gráfico que llos valores del eje y que admiten antecedente en los valores del dominio del eje x, van de – 7 a  Im = { x / x  R  x  -7 }Im = [-7; ) Existen valores diferentes del dominio que tienen la misma imagen, por ejemplo para x= 1 ó x = - 1; y = 0 La función es No inyectiva Como la función está definida de Dm  R y resulta que la Imagen no es igual a R sino que Im  R La función es No sobreyectiva Funciones Rep. Gráfica Rep. Gráfica Clasificación

57 14 v) Si f(x) = En primer lugar reconocemos que x puede tomar valores que van de -  a +  En consecuencia D m = {x/x  R }Dn = (-  ; + ) Con frecuencia los alumnos confunden esta relación (definida por partes) con “tres relaciones diferentes” Se trata de una sola función (tiene y hemos hallado un solo dominio); PERO TAMBIEN TIENE DIFERENTES LEYES DE VARIACION EN DETERMINADOS TRAMOS DEL DOMINIO si x < 0 la ley de variación es 2 x si 0  x  1 la función vale 1 si x > 0 la ley de variación es lnx La representación gráfica se realiza como para cualquier otra función Se confeccionan tablas de valores cuidando que las leyes de variación se correspondan con los respectivos intervalos del dominio Funciones Rep. Gráfica Rep. Gráfica Clasificación 14 vi 14 vi

58 xln xy 4 ln 4 1,39 8 ln 8 2,08 Para x > 0 f(x) = ln x Si x fuera igual a 1 entonces y sería igual a 0 debemos entender que si x se acerca a 1 con valores mayores que 1, y se acerca a 0, pero sin ser y = 0 representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma valores muy próximos a y = 0 para valores muy próximos de x = 1 (por derecha ); pero sin ser y = 0 en x = 1 Unimos los valores hallados con una curva que representa la ley de variación logarítmica luego, estudiamos qué sucede con los valores de x comprendidos entre 0 y 1; – intervalo [0; 1] - para cualquier valor del intervalo [0; 1] la función vale 1 si x = 0y = 1 si x = 1y = 1 Funciones Rep. Gráfica Rep. Gráfica Clasificación

59 Para los valores de x < 0 estudiaremos la ley de variación y = 2 x Confeccionamos tabla de valores x2x2x y -1 2 -1 1/2 -2 2 -2 1/4 Si x fuera igual a 0 entonces y sería igual a 1 debemos entender que si x se acerca a 0 con valores menores que 0 ; y se acerca a 1, pero sin ser y = 1 representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma valores muy próximos a y = 1 para valores muy próximos de x = 0 (por izquierda); pero sin ser necesariamente y = 1 en x = 0 Unimos los valores hallados con una curva que representa la ley de variación exponencial (2 x ) Luego prolongamos la curva hasta el punto y =1, porque de un estudio anterior resulta que en x = 0 la función efectivamente vale 1 y borramos el círculo rojo de y = 1 porque al tomar valor la función en ese punto, ya no tiene sentido mantenerlo Funciones Rep. Gráfica Rep. Gráfica Clasificación

60 Cualquier valor del eje x tiene un correspondiente en el eje y Im = { y / y  R  y > 0 }Im = (0;  ) Existen valores diferentes del dominio que tienen la misma imagen, por ejemplo para x = 0 ó x = 1; y = 1 La función es No inyectiva Como la función está definida de Dm  R y resulta que la Imagen no es igual a R sino que Im  R La función es No sobreyectiva Dm = { x / x  R }Dm = (-; ) Pero se ve también que, solamente los valores de y > 0 admiten algún antecedente en el eje x Funciones Rep. Gráfica Rep. Gráfica Clasificación

61 14 vi) Si f(x) = En primer lugar reconocemos que x no puede tomar el valor - 3 en ese caso tendríamos 2 / 0; así podemos decir que para x = - 3 no existe un valor finito de la función Trazamos un par de ejes coordenados Luego confeccionamos tabla de valores, para x próximos a –3 por derecha xy - 2 2/(-2+3) 2 - 1 2/(-1+3) 1 0 2/(0+3) 2/3 1 2/(1+3) 1/2 2 2/(2+3) 2/5 -2,5 2/(-2,5+3) 4 -2,6 2/(-2,6+3) 5 y estudiamos qué sucede a la izquierda de x= –3 xy - 4 2/(-4+3) - 2 - 5 2/(-5+3) - 1 - 6 2/(-6+3) -2/3 - 7 2/(-7+3) -1/2 - 8 2/(-8+3) - 2/5 -3,5 2/(-3,5+3) - 4 -3,6 2/(-3,6+3) - 5 x = -3 es un valor que no está definido en la función, luego la línea de la función no puede cortar la línea de trazos punteada Unimos los puntos situados a la izquierda de x = -3 por un lado y los puntos de la derecha de x = -3 por otro lado trazamos una asíntota en x = -3 Funciones Rep. Gráfica Rep. Gráfica Clasificación

62 Cualquier valor del eje x  -3 tiene un correspondiente en el eje y Im = { y / y  R  y  0 }Im = (-; 0)  (0; ) No Existen valores diferentes del dominio que tengan la misma imagen La función es inyectiva Como la función está definida de Dm  R y resulta que la Imagen no es igual a R sino que Im = R – {0} La función es No sobreyectiva Dm = { x / x  R  x  - 3 }Dm = (-; -3)  (-3; ) los valores del eje y que se relacionan con algún valor de x; son todos, menos el 0 todos los valores del dominio tienen imágenes diferentes Funciones Rep. Gráfica Rep. Gráfica Clasificación

63 14 d) De todas la funciones analizadas solo son biyectivas f : R  R / f(x) = –3x + 4 y f : R > 1,5  R / f(x) = log 2 (2x – 3) y precisamente, por ser biyectivas admiten función inversa para hallar la inversa de la función,f : R  R / f(x) = –3x + 4 transformamos el dominio en imagen f -1 : R  R y viceversa y = –3x + 4y - 4 = –3x multiplico todo por (-1) y permuto los miembros (para ordenar) 3x = 4 - y luego despejo x y efectúo ahora un cambio de variables (x por y) La ley de variación así obtenida, es la ley de variación de la función inversa en la ley de variación hacemos pasajes de términos, para despejar x Funciones Rep. Gráfica Rep. Gráfica Clasificación

64 Representamos gráficamente en el mismo gráfico que hemos representado confeccionamos una tabla de valores xf -1 (x) 40 - 2 2 - 8 4 trazamos la recta, que también va de R  R tenga siempre presente que los puntos de una función cualquiera que admite inversa; y su inversa son equidistantes respecto de la bisectriz (recta a 45º) del primer cuadrante Funciones Rep. Gráfica Rep. Gráfica Clasificación

65 para hallar la inversa de la función,f : Dm  R / f(x) = log 2 (2x-3) transformamos el dominio en imagen f -1 : R  R > 1,5 y viceversa luego despejamos la incógnita x de la ley de variación de f= log 2 (2x-3) y = log 2 (2x – 3)2 y = 2x - 3permuto los miembros (para ordenar) luego despejo x y efectúo ahora un cambio de variables (x por y) La ley de variación así obtenida, es la ley de variación de la función inversa Dm = { x / x  R  x > 1,5 } entonces f : R > 1,5  R / f(x) = log 2 (2x-3) recuerde que: log a b = c  a c = b recordemos que ya hemos hallado Funciones Rep. Gráfica Rep. Gráfica Clasificación

66 Representamos gráficamente en el mismo gráfico que hemos representado confeccionamos una tabla de valores X f -1 (x) 0 unimos los puntos con trazo continuo porque f -1 va de R  R también aquí f -1 es equidistante de f respecto de la bisectriz del primer cuadrante y finalmente podemos trazar la asíntota de f- 1 que es y = 1,5 recuerde que f tiene asíntota en x = 1,5 porque aunque tomemos valores muy pequeños de x, f -1 será siempre  1,5 2 1 2,5 2 3,5 4 9,5 -1 1,75 -4 1,53 -101,5001 borramos la asíntota de f(x) para limpiar el dibujo Funciones Rep. Gráfica Rep. Gráfica Clasificación

67 Es hora de descansar ! ! ! Momento propicio para establecer nuevas relaciones... Pero recordá, puede descansar solamente el que antes trabajó (estudió) Debe trabajar el hombre para ganarse su pan, pues la miseria en su afán de perseguir de mil modos. Llama a la puerta de todos y entra en la del haragán. Martín Fierro (José Hernández)