ING. EDWIN CEVALLOS ROMERO UNIDAD 2 SOLUCION COMPLETA DE REDES EN EL DOMINIO DEL TIEMPO.

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1 ING. EDWIN CEVALLOS ROMERO UNIDAD 2 SOLUCION COMPLETA DE REDES EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

2 Transitorio: Evolución debida a cambios topológicos en el circuito. Transición entre un régimen permanente y otro, tras un cambio en las condiciones del estado del circuito. Los transitorios son debidos a elementos que almacenan energía: Bobinas y condensadores. SOLUCIÓN COMPLETA DE REDES EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

3 ORDEN DEL CIRCUITO: número de elementos almacenadores de energía (Leq o Ceq) que tenga el circuito. Circuitos de primer ordenCircuitos de segundo orden SOLUCIÓN COMPLETA DE REDES EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

4 Antes de empezar el estudio de estos circuitos recordemos las ecuaciones de tensión y corriente que caracterizan a un capacitor y a un inductor : Capacitor: Inductor: SOLUCIÓN COMPLETA DE REDES EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

5 CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN Los circuitos equivalentes de Thévenin y Norton simplifican el análisis de los circuitos de primer orden al establecer que éstos son equivalentes a uno de los dos circuitos de primer orden simples FIGURA 1.1. Plan para analizar Circuitos de primer orden. a) Primero, se separa el elemento de almacenamiento de energía del resto del circuito. b) Después se reemplaza el circuito conectado a un capacitor con su equivalente de Thévenin, o se reemplaza el circuito conectado a un inductor con su equivalente de Norton.

6 Cuando la entrada de un circuito es senoidal, la respuesta de estado estable también es senoidal. Además, la frecuencia de la respuesta senoidal debe ser igual a la frecuencia de la entrada senoidal.

7 El circuito de la figura 1.2a se encuentra en estado estable antes de cerrar el interruptor. El voltaje de estado estable del capacitor será (1.1) El interruptor se cierra en el tiempo t=0. El valor del voltaje del capacitor en el momento en que se cierra el interruptor es (1.2) Después de que el interruptor se cierra, la respuesta constará de dos partes: una parte transitoria que desaparece con el tiempo, y una parte de estado estable. Para un circuito de primer orden, la parte transitoria de la respuesta es exponencial. Después de que el interruptor se cierra, el voltaje del capacitor es (1.3)

8 Es común llamar a la parte transitoria de la respuesta como la respuesta transitoria, y la parte de estado estable de la respuesta como respuesta de estado estable. A la respuesta dada por la ecuación 1.3 se le llama la respuesta completa. RESPUESTA COMPLETA = RESPUESTA TRANSITORIA + RESPUESTA ESTABLE En general, la respuesta completa de un circuito de primer orden puede representarse como la suma de dos partes, la respuesta natural y la respuesta forzada: Respuesta completa = Respuesta natural + Respuesta forzada La respuesta natural es la solución general de la ecuación diferencial que representa el circuito de primer orden, cuando la entrada se hace igual a cero. La respuesta forzada es una solución particular de la ecuación diferencial que representa el circuito. La respuesta completa de un circuito de primer orden dependerá de una condición inicial, generalmente el voltaje de un capacitor o la corriente de un inductor en un tiempo particular.

9 La respuesta natural de un circuito de primer orden será de la forma Respuesta natural = Cuando t 0 = 0, como en la figura 1.2, entonces Respuesta natural = La constante K de la respuesta natural depende de la condición inicial, por ejemplo, del voltaje del capacitor en tiempo t 0 Analizaremos tres casos en este apartado. En estos casos la entrada del circuito después de la perturbación será: – Constante, por ejemplo, – Exponencial, por ejemplo, – Senoidal, por ejemplo,

10 Estos tres casos son especiales por que la respuesta forzada tendrá la misma forma que la entrada. Por ejemplo, en la figura 1.2 tanto la respuesta forzada como la entrada son senoidales, y la frecuencia de la respuesta forzada es igual al de la entrada. Para otras entradas, la respuesta forzada quizás no tenga la misma forma que la entrada. Por ejemplo, cuando la entrada es una onda cuadrada, la respuesta forzada no es una onda cuadrada. En los casos en que la entrada es constante o senoidal, la respuesta forzada se llama también respuesta de estado estable y la respuesta natural se llama respuesta transitoria. Para obtener la respuesta completa de un circuito de primer orden, se presenta un plan: – Paso 1: Determinar la respuesta forzada antes de la perturbación. Evaluar esta respuesta en el tiempo t=t 0 para obtener la condición inicial del elemento de almacenamiento de energía. – Paso 2: Determinar la respuesta forzada después de la perturbación. – Paso 3: Sumar la respuesta natural a la respuesta forzada para obtener la respuesta completa. Usar la condición inicial para evaluar la constante K.

11 SEÑALES ELÉCTRICAS Una señal se define como una función del tiempo con valores reales. Un calificativo “con valores reales” quiere decir que para cualquier valor especifico del tiempo, el valor de la señal en dicho tiempo es un número real. Las señales eléctricas o formas de onda son procesadas por circuitos eléctricos para obtener la forma de onda o señal deseada a la salida.

12 RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN A UNA ENTRADA CONSTANTE En este apartado vamos a entender el análisis de la respuesta completa de un circuito de primer orden cuando la entrada es constante después del tiempo t 0.

13 Ejemplo 1: En la figura 1.3a se presenta un circuito de primer orden que contiene un solo capacitor y ningún inductor. Este circuito está en estado estable antes de que se cierre el interruptor, perturbando el estado estable. El tiempo en que se perturba el estado estable se denota como t 0. En la figura 1.3a t 0 =0. Cuando se cierra el interruptor el resistor R 1 sale del circuito (por el corto circuito que se produce). Después de cerrar el interruptor, el circuito puede representarse como se muestra en la figura 1.3b en donde la parte del circuito que está conectada al capacitor se ha remplazado con su circuito equivalente de Thévenin. Por lo tanto, (1.4)

14 Ejemplo 2: Ahora realicemos el análisis para el circuito del la figura 1.4. El circuito de la figura 1.4a contiene únicamente un inductor y ningún capacitor. El circuito está en estado estable antes de cerrar el interruptor en el tiempo t 0 =0, con lo cual se perturba el estado estable. Después de cerrar el interruptor, el circuito puede representarse como se muestra en la figura 1.4b. En la figura 1.4b la parte del circuito que está conectada al inductor se ha remplazado con su circuito equivalente de Norton. Se calcula (1.5)

15 Como se vio para los dos circuitos que se analizó, se llego a tener una ecuación diferencial de primer orden de la forma Al parámetro τ se le llama constante de tiempo. La solución a esta ecuación es Así la solución para la ecuación 1.4 es La solución de la ecuación 1.5 es El Voltaje de Thévenin y la Corriente de Norton, representan la respuesta forzada respectivamente en cada uno de los circuitos analizados. (1.6) (1.7)

16 Conmutación secuencial La conmutación secuencial ocurre cuando un circuito contiene dos o más interruptores que cambian de estado en instantes diferentes. Como un ejemplo de la conmutación secuencial considérese el circuito de la figura 1.5 Fig. 1.5 Circuito con conmutación secuencial

17 Análisis de respuesta para circuitos con conmutación secuencial El circuito contiene dos interruptores, uno que cambia de estado en t=0 y otro que cambia de estado en t=1 ms. Suponer que el circuito a llegado al estado estable antes de que el interruptor cambie de estado en t=0. En la figura 1.5b se muestra el circuito equivalente que es apropiado para t<0. Puesto que el circuito se encuentra en estado estable y la entrada es constante, el inductor actúa como un corto circuito y la corriente en este corto circuito es la corriente del inductor. Está aseveración hace que la corriente que circule por la bobina (representada por el corto) sea 10A inmediatamente antes de que el interruptor cambie de estado en t=0. Esto se expresa como. Dado que en un inductor la corriente no puede cambiar bruscamente entonces

18 Esta es la condición inicial que se usa para calcular la corriente del inductor después de t=0. En la figura 1.5c se muestra el circuito equivalente que es apropiado después de que uno de los interruptores cambia de estado en el tiempo t=0 y antes de que el otro interruptor se cierre en el tiempo t=1 ms. Se observa que los parámetros del circuito equivalente de Norton de la parte del circuito que está conectado al inductor son La constante de tiempo de este circuito de primer orden es 1 ms. La corriente del inductor es para 0<t<1 ms. Obsérvese que las unidades de t son milisegundos. Inmediatamente antes de que se cierre el otro interruptor en el tiempo t=1 ms, la corriente del inductor será =3.68A

19 Puesto que la corriente en el inductor no cambia bruscamente, entonces =3.68A Esta es la condición inicial que se usa para calcular la corriente del inductor después de que se cierra el interruptor en el tiempo t=1 ms. En la figura 1.5 d se muestra el circuito equivalente apropiado. Se observa que los parámetros del circuito equivalente de Norton de la parte del circuito conectada al inductor son La constante de tiempo de este circuito de primer orden es 2ms y la corriente en el inductor es

20 Estabilidad de los circuitos de primer orden Se conoce que la respuesta natural de un circuito de primer orden es (1.8) Y la respuesta completa es (1.9) Se dice que un circuito es estable cuando al incrementarse el tiempo la respuesta natural del mismo desaparece, quedando únicamente la respuesta forzada del circuito

21 Entonces, para que un circuito de primer orden sea estable se requiere que Al recordar que Se observa que es necesario Esto se cumplirá si la parte que está conectada al elemento almacenador de energía esté compuesta únicamente de resistores y fuentes independientes

22 FUENTE ESCALON UNITARIO (1.10) (1.11) La respuesta a una fuente escalón unitario es su respuesta a la aplicación repentina de una fuente constante cuando todas las condiciones iníciales del circuito son iguales a cero.

23 RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN A UNA FUENTE NO CONSTANTE La ecuación diferencial que describe a un circuito RL o RC se representa con la forma general (1.12)

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26 RESPUESTA COMPLETA DE CIRCUITOS QUE CONTIENEN DOS ELEMENTOS DE ALMACENAMIENTO DE ENERGÍA CAPÍTULO 2 ING. EDWIN CEVALLOS

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34 SOLUCION DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN RESPUESTA NATURAL Se sabe que la ecuación diferencial representativa de un circuito de segundo orden es de la forma: La respuesta completa esta dada por: La respuesta natural de un circuito de segundo orden, debe satisfacer: Dado que y sus derivadas deben satisfacer la ecuación diferencial, la solución que cumple esta condición es : Si remplazamos esta solución en la ecuación diferencial que permite la obtención de la respuesta natural se llega a tener la ecuación característica del circuito de segundo orden (2.4)

35 La ecuación, tiene como respuesta la suma de dos componentes (2.5),donde y son las raíces de la ecuación característica. Las raíces de la ecuación característica contienen toda la información necesaria para determinar el carácter de la respuesta natural De aquí se puede concluir que la solución general debe constar de la misma cantidad de términos que el orden de la ecuación diferencial.

36 Respuesta natural Polinomio característico Respuesta Sobre amortiguadaRespuesta Críticamente amortiguadaRespuesta Subamortiguada RESPUESTA NATURAL DEL CIRCUITO RLC EN PARALELO, SIN EXITACIÓN DE ENTRADA

37 Respuesta Sobreamortiguada Determinación de K 1 y K 2 : Condiciones iniciales: V 0 e I 0 Rég. permanente: V ∞ En forma matricial: RESPUESTA COMPLETA DEL CIRCUITO RLC EN PARALELO A UNA ENTRADA CONTINUA

38 Determinación de K 1 y K 2 : Condiciones iniciales: V 0 e I 0 Rég. permanente: V ∞ En forma matricial: Respuesta Críticamente amortiguada RESPUESTA COMPLETA DEL CIRCUITO RLC EN PARALELO A UNA ENTRADA CONTINUA

39 Determinación de K 1 y K 2 : Condiciones iniciales: V 0 e I 0 Rég. permanente: V ∞ En forma matricial: Respuesta Subamortiguada RESPUESTA COMPLETA DEL CIRCUITO RLC EN PARALELO A UNA ENTRADA CONTINUA

40 Respuesta Sobreamortiguada Determinación de K 1 y K 2 : Condiciones iniciales: V 0 e I 0 Rég. permanente: En forma matricial: RESPUESTA COMPLETA DEL CIRCUITO RLC EN PARALELO A UNA ENTRADA ALTERNA

41 En forma matricial: Respuesta Críticamente amortiguada Determinación de K 1 y K 2 : Condiciones iniciales: V 0 e I 0 Rég. permanente: RESPUESTA COMPLETA DEL CIRCUITO RLC EN PARALELO A UNA ENTRADA CONTINUA

42 En forma matricial: Respuesta Subamortiguada Determinación de K 1 y K 2 : Condiciones iniciales: V 0 e I 0 Rég. permanente: RESPUESTA COMPLETA DEL CIRCUITO RLC EN PARALELO A UNA ENTRADA CONTINUA

43 RESPUESTA FORZADA DE UN CIRCUITO DE SEGUNDO ORDEN

44 RESPUESTA COMPLETA DE CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN Se ha conseguido determinar la respuesta natural y forzada de un circuito de segundo orden. Ahora se procederá a determinar la respuesta completa del circuito. Se sabe que la respuesta completa es la suma de la respuesta natural y forzada y, por lo tanto Entonces se puede obtener la respuesta completa junto con sus constantes no especificadas evaluando en t=0 y en t=0, para determinar dichas constantes.

45 SOLUCIÓN DE REDES UTILIZANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ING. EDWIN CEVALLOS

46 TRANSFORMADA DE LAPLACE La transformada de Laplace es un desarrollo matemático en el dominio de la variable compleja "s“ utilizado para resolver ecuaciones diferenciales con algunas ventajas sobre los métodos clásicos como: - La solución de ecuaciones diferenciales se convierte en una rutina sistemática. -Proporciona la solución total (natural y forzada) para la variable de interés en una sola operación. -Las condiciones iníciales quedan especificadas automáticamente en las ecuaciones transformadas.

47 TRANSFORMADA DE LAPLACE La transformación de Laplace está definida como: donde s= σ + j ω. Para que f(t) sea una función transformable debe cumplirse que la relación sea absolutamente integrable.

48 TRANSFORMADA DE LAPLACE Las equivalencias entre funciones de interés definidas en el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia compleja s se dan en la tabla siguiente:

49 TRANSFORMADA DE LAPLACE

50 Propiedades de la transformada de Laplace

51 51 La transformada de Laplace Teorema del valor final Si f(t) y su derivada se pueden transformar por el método de Laplace, y si existe el limite de f(t) cuando t tiende a infinito.

52 52 La transformada de Laplace Teorema del valor inicial Si f(t) y su derivada se pueden transformar por el método de Laplace, y si existe el limite de sF(s) cuando s tiende a infinito.

53 TRANSFORMADA DE LAPLACE Es importante anotar la equivalencia entre circuitos definidos en el dominio del tiempo y definidos en el dominio de la frecuencia compleja "s". En esta última gráfica podemos observar las relaciones de transformación de un circuito en el dominio del tiempo a un circuito equivalente en el dominio de la frecuencia.

54 TRANSFORMADA DE LAPLACE

55 Solución completa de las ecuaciones diferenciales que describen un circuito El método de la transformada de Laplace para resolver un conjunto de ecuaciones diferenciales consiste 1.Identificar las variables del circuito como corrientes de inductores y voltajes de capacitores 2.Escribir las ecuaciones diferenciales que describen el circuito e identificar las condiciones iníciales de las variables del circuito 3.Obtener la trasformada de Laplace de todos los términos de la ecuación diferencial 4.Usando la regla de Cramer o un método similar, despejar una o más de las variables desconocidas para obtener la solución en el dominio de s 5.Obtener la transformada inversa de las variables desconocidas para llegar así a la solución en el dominio del tiempo

56 56 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Fracciones parciales con polos distintos Considere F(s) escrita en la forma factorizada para m<n

57 57 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Si F(s) sólo involucra polos distintos, puede expandirse en una suma de fracciones parciales simples de la siguiente manera:

58 58 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE en donde a k (k=1,2,...,n) son constantes y se denominan como el residuo del polo en s=-p k. El valor de a k se encuentra multiplicando ambos miembros de la ecuación anterior por (s+p k ) y suponiendo que s=-p k, esto nos lleva a

59 59 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Se observa que todos los términos expandidos se cancelan con excepción de a k. Por lo tanto el residuo a k se encuentra a partir de

60 60 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Encontrar la transformada inversa de Laplace de

61 61 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

62 62 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Fracciones parciales con polos múltiples Se usará un ejemplo para demostrar como obtener la expansión en fracciones parciales de F(s)

63 63 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

64 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II ING. EDWIN CEVALLOS ROMERO UNIDAD 2 ANÁLISIS DE REDES EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

65 Frecuencia compleja, definición Función de red, definiciones Polos y ceros de funciones de red Análisis de estabilidad de redes Partes de la función de red Diagramas de funciones de red Diagramas de Bode de magnitud y fase Síntesis de funciones de red utilizando elementos activos y pasivos. Diseño e implementación de circuitos con una respuesta de frecuencia dada Análisis de redes con MATLAB

66 Introducción En esta parte examinaremos herramientas importantes que posteriormente aplicadas en sistemas de control y comunicaciones nos permitirán el análisis de estabilidad, respuesta en frecuencia y modelamiento de sistemas. Generalizaremos el análisis tomando en cuenta la variable de frecuencia compleja "s" y también en algunos casos lo particularizaremos para régimen senoidal permanente.

67 Variable Compleja “s”

68 Frecuencia compleja s En este caso se tiene un fasor con amplitud dependiente del valor de σ. De acuerdo al análisis anterior σ no puede ser positivo, debido a que aparecerán oscilaciones con amplitudes infinitas y por tanto el sistema será inestable.

69 Respuesta forzada debida a excitaciones exponenciales

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71 FUNCIÓN DE RED Definiciones generales Función de red. Es una función matemática en el dominio de la frecuencia compleja “s” que relaciona parámetros de voltajes y corrientes en cualquier punto de una red eléctrica pasiva. Puerto o par de terminales Llamamos terminal a cualquier nodo accesible en una red. Un sistema con dos terminales accesibles se denomina puerto

72 POLOS Y CEROS Considerando la relación de T(s) como sigue: Las raíces de los polinomios P(s) y Q(s) se denominan ceros y polos respectivamente de la función de red T(s). La importancia de los polos y ceros radica en el análisis de la estabilidad de redes eléctricas por cuanto la ubicación de los mismos en el plano complejo determinará perfectamente tal situación.

73 PARTES DE UNA FUNCIÓN DE RED

74 DIAGRAMAS DE UNA FUNCIÓN DE RED Diagrama de polos y ceros Diagrama de Nyquist Diagramas de Bode Diagramas de bloques Diagramas de flujo

75 Diagrama de polos y ceros Permiten mostrar polos y ceros de funciones de red en el plano complejo s= σ+jω. La ubicación de los polos y ceros en el plano determinarán la estabilidad del sistema.

76 Diagrama de Nyquis Permite la representación gráfica de una función de red en términos de la frecuencia angular ω en el plano complejo a través de sus dos componentes real e imaginaria.

77 Permiten la representación gráfica independientemente de la magnitud y la fase de una función de red T(jω) en términos de la frecuencia ω. La frecuencia se representa en escala logarítmica. El análisis de los diagramas de Bode de magnitud y fase se conoce como análisis de respuesta en frecuencia de un circuito. Características 1.Los términos del numerador y del denominador de una función de transferencia al aplicarles logaritmos se convierten en términos aditivos a los cuales se puede estudiarlos por separado. 2.Se puede representar cada término mediante una aproximación de líneas rectas. DIAGRAMA DE BODE

78 Es un diagrama asintótico: se puede aproximar fácilmente trazando líneas rectas (asíntotas). Presenta la respuesta de Magnitud y Fase por separado con la variación de la Frecuencia de una función de transferencia. Tanto las escalas de frecuencias como la magnitud misma se representa en unidades logarítmicas.

79 Decibeles (dB) Unidad logarítmica utilizada para escalas de magnitud. Ideado por los Ingenieros de Sistemas telefónicos por la necesidad de medir si se requieren amplificadores en una línea telefónica.

80 Pero el BELIO es una unidad muy grande, por lo que se utilizan las décimas de Belio, el decibelio (dB)

81 Construcción del Diagrama de Bode Escala Vertical: ganancia(dB)=20 log|Vout/Vin| Escala Horizontal: x = log f Para construir la gráfica de Bode, primero se debe normalizar la ecuación de la función de transferencia, esto es, escribirla de forma tal que contenga: –Constantes. –Ceros en el origen. –Polos en el origen. –Ceros finitos –Polos Finitos

82 Normalizar quiere decir que la función de transferencia debe tener la siguiente forma :

83 DIAGRAMA DE BODE DE MAGNITUD Y FASE

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87 Diagramas de bloques Constituye una forma esquemática de representar las relaciones entre variables de un sistema. Características. - Son unidimensionales desde la entrada hacia la salida. -Se construyen en base a relaciones entre variables. http://www.slideshare.net/ptah_enki/diagramas-de-bloques

88 Diagramas de flujo Constituyen un conjunto de ecuaciones algebraicas linealmente independientes representadas en forma gráfica. Características. 1.Formados por nodos y ramas ; los nodos representan las variables y las ramas las relaciones entre las variables. 2.El nodo de donde sale la rama se denomina FUENTE y el nodo donde llega SUMIDERO.

89 Diagrama de flujo X4 = t24X2 + t34X3 X5 = t35X3 X6 = t36X3 - Trayectoria : Es una señal que sigue entre dos nodos. - Lazo de realimentación : Es una trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo de modo que ningún se atraviesa más de una vez. - Autolazo : Es un lazo de realimentación que contiene un sólo nodo. - Trayectoria de realimentación : Es una trayectoria que contiene al menos un lazo de realimentación. - Trayectoria abierta : Es una trayectoria que no contiene lazos de realimentación. - Trayectoria directa : Es aquella que va desde el nodo fuente al nodo sumidero. - Ganancia de una trayectoria : Es el producto de todas las transmitancias de la rama de la trayectoria. - Ganancia de lazo : Es el producto de todas las transmitancias asociadas al lazo.

90 La síntesis de red se considera como el proceso para obtener una red apropiada a fin de representar una función de transferencia dada La síntesis de red es más fácil en el dominio de la variable “s” que en el dominio del tiempo. SÍNTESIS DE RED LA SÍNTESIS DE RED ES DETERMINAR LA RED QUE REPRESENTE UNA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DADA

91 SÍNTESIS DE RED Tenga presente que en las síntesis, puede haber muchas respuestas diferentes – o posiblemente ninguna – por que hay muchos circuitos que se usan para representar la misma función de transferencia. En el análisis de red, hay una sola respuesta. La síntesis de red es un campo excitante de primera importancia dentro de la ingeniería. Poder ver una función de transferencia y proponer el tipo de circuito que representa es un gran recurso para un diseñador de circuitos.

92 SÍNTESIS DE RED Ejemplo Dada la función de transferencia H(s) Lleve a cabo la función usando el circuito de la figura. A) Seleccione R=5Ω, y determine L y C, b) Seleccione R=1 Ω, determine L y C

93 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II ING. EDWIN CEVALLOS ROMERO UNIDAD 4 CIRCUITOS RESONANTES

94 RESONANCIA La resonancia es la condición que existe en todo sistema físico cuando una excitación senoidal de amplitud constante produce una respuesta máxima. Para una red eléctrica la resonancia es la condición que existe cuando la impedancia de entrada de la red es puramente resistiva. Una red está en resonancia cuando el voltaje y la corriente de las terminales de entrada se encuentran en fase.

95 CIRCUITO RESONANTE SERIE VSVS R C L

96 CIRCUITO RESONANTE PARALELO RL C ILIL ICIC I LC I

97 FACTOR DE CALIDAD (Q) Controla la rapidez con la que disminuye la magnitud de impedancia o admitancia; entre más grande sea el valor de Q, más pronunciado será el pico en la respuesta de frecuencia. Es la capacidad de almacenamiento de energía en una red por parte de un inductor o capacitor frente a su disipación.

98 La energía máxima almacenada se verá en el inductor o capacitor por cuanto si el voltaje en C crece, la corriente en L decrece y viceversa. Tomando la ecuación 1 tenemos: Q del circuito Resonante Serie Se dice que un circuito es una resonancia en serie (o resonancia de baja impedancia ) cuando es mínimo. Reemplazando datos en la ecuación 2 tenemos:

99 Q del circuito Resonante Paralelo Reemplazando datos en la ecuación 2:

100 CURVA DE RESONANCIA Representado por un diagrama que puede ser de potencia media vs frecuencia, impedancia vs frecuencia, admitancia vs frecuencia, corriente vs frecuencia, voltaje vs frecuencia, o ganancia vs frecuencia.

101 Se puede obtener la grafica de cualquier ecuación representativa mencionada anteriormente, ya que estarán en función de la frecuencia y la única condición es expresarlas de forma: La curva de resonancia proporciona mucha información del circuito resonante: Frecuencia de resonancia Frecuencias limites Ancho de Banda El valor de la resistencia y por ende la inductancia y capacitancia El factor de calidad.

102 PUNTOS DE MEDIA POTENCIA Visualizando la curva de resonancia, se ve claramente que en el pico máximo se tiene la máxima potencia disipada por un circuito resonante; la mitad de esta potencia se ubica en el valor del pico máximo sobre Este valor en escala logarítmica corresponde a -3dB

103 Es así que se denominan puntos de media potencia a los puntos de corte trazados paralelamente al eje de la frecuencia desde el pico máximo sobre Experimentalmente se determino que estos puntos de media potencia se ubican al 70.7% del pico máximo de la curva de resonancia Los puntos de media potencia determinan las frecuencias limites que fijan el rango de frecuencia de trabajo efectivo de un circuito.

104 FRECUENCIAS LÍMITES Las frecuencias limites o también conocidas como frecuencias de corte en los filtros, están determinadas por los puntos de media potencia y pueden ser halladas por la ecuación del Ancho de Banda, así como también pueden ser determinadas en función del factor de calidad y la frecuencia de resonancia por las siguientes expresiones:

105 ANCHO DE BANDA Es la longitud, medida en Hz o rad/seg., del rango de frecuencias en el que se concentra la mayor parte de la potencia de la señal. Puede ser calculado a partir de una señal temporal mediante el análisis de Fourier. También son llamadas frecuencias efectivas las pertenecientes a este rango.Una forma común de expresar la respuesta en frecuencia de un circuito sintonizado es mediante la respuesta a media potencia. El ancho de banda de un filtro es la diferencia entre las frecuencias en las que su atenuación al pasar a través de filtro se mantiene igual o inferior a -3 dB comparada con la frecuencia central de pico (f c )

106 El ancho de banda B, puede ser expresado por cualquiera de las siguientes expresiones, teniendo en cuanta sus unidades: En un circuito serie resonante también puede ser hallado por: En un circuito paralelo resonante también puede ser hallado por:

107 Circuito Tanque Introducción: Un circuito resonante está formado por una bobina y un condensador en paralelo. Su funcionamiento se basa en el almacenamiento de energía en forma de carga eléctrica en el condensador y en forma de campo magnético en la bobina. La operación del circuito tanque involucra un intercambio de energía entre cinética y potencial.

108 En síntesis Es un circuito electrónico utilizado en muchas aplicaciones, incluyendo osciladores, televisión y radio. En su forma más básica, el circuito consta de dos componentes electrónicos, es decir, un condensador y un inductor (bobina). En su aplicación práctica, en lugar de un diseño teórico, los componentes entran en juego otros elementos que afectan la operación del circuito. Estos incluyen una carga resistiva y una fuente de corriente alterna.

109 Funcionamiento La operación del circuito tanque LC. Como se muestra en la figura una vez que la corriente se inyecta en el circuito (instante t1), se intercambia la energía entre el inductor y el capacitor, produciendo un voltaje de salida de CA correspondiente

110 Al estar el condensador y la bobina en paralelo, la energía almacenada por el campo eléctrico del condensador (en forma de cargas electrostáticas), es absorbida por la bobina, que la almacena en su campo magnético, pero a continuación es absorbida y almacenada por el condensador, para ser nuevamente absorbida por la bobina, y así sucesivamente. Esto crea un vaivén de la corriente entre el condensador y la bobina. Este vaivén constituye una oscilación electromagnética, en la cual el campo eléctrico y el magnético son perpendiculares entre sí, lo que significa que nunca existen los dos al mismo tiempo, ya que cuando está el campo eléctrico en el condensador no existe campo magnético en la bobina, y viceversa

111 Frecuencia de oscilación La característica de este tipo de circuito, también conocido como circuito tanque LC, es que la velocidad con que fluye y regresa la corriente desde el condensador a la bobina o viceversa, se produce con una frecuencia (f) propia, denominada frecuencia de resonancia, que depende de los valores del condensador (C) y de la bobina (L )

112 La frecuencia de respuesta es similar a la del circuito RLC en paralelo, excepto que la resonancia de la impedancia a alta frecuencia ocurre a una frecuencia más baja para bajo Qind.

113 La formula generalizada es: La frecuencia de operación de un circuito tanque LC es simplemente la frecuencia de la red LC en paralelo y el ancho de banda en función del Q del circuito. Matemáticamente, la frecuencia de resonancia de un circuito tanque LC con Q=10 se la puede aproximar por :

114 CONVERSION DE CIRCUITO SERIE PARALELO En muchas ocasiones se tienen circuitos resonantes (RLC – LC) cuya disposición de elementos es mixta, es decir que el circuito no es serie ni es paralelo, sino más bien la combinación de estos dos. Para facilidad del análisis de estos circuitos se puede considerar la conversión a un circuito serie o paralelo. Así: Dados R s, L s y la frecuencia de operación w, los elementos R p y L p del circuito paralelo se determinan evaluando las admitancias:

115 Para convertir el circuito RC, se evalúa las impedancias o las admitancias y se obtiene: Para la transformación paralelo a serie: Para la transformación serie a paralelo:

116 El Procedimiento de cambio de escala nos permite analizar redes formadas por elementos con valores prácticos haciendo un cambio de escala para permitir cálculos numéricos mas convenientes, tanto en magnitud como en frecuencia. ESCALAMIENTO DE MAGNITUD Y FRECUENCIA

117 2.5  ½ H2F En el siguiente ejemplo los valores poco prácticos de sus elementos nos llevan a la improbable curva de respuesta. Z

118 ESCALAMIENTO DE MAGNITUD El cambio de escala en magnitud: se define como el proceso por medio del cual la impedancia de una red de dos terminales aumenta por un factor de Km y la frecuencia permanece constante. Por consiguiente “la red sufrirá un cambio de escala en magnitud por un factor de 2”, esto significa que la impedancia de la nueva red será el doble de la red original: Los siguientes cambios darán como resultado la red con otra escala en magnitud por el factor K m : R  K m R L  K m L C  Cambio de escala en magnitud

119 Haciendo el cambio del circuito anterior obtenemos: 2F 2.5  ½ H Z 5 k  1000 H 10 –3 F Z

120 La curva de respuesta indica que, aparte de un cambio de escala en el eje vertical, no es necesario hacer ningún otro cambio en la curva de respuesta anterior.

121 El cambio de escala en frecuencia se define como el proceso por medio del cual la frecuencia a la que ocurre cualquier impedancia aumenta por un factor K f Al igual que en el caso anterior “la red sufre un cambio de escala en frecuencia por un factor de 2”. El cambio de escala se logra cambiando la escala en frecuencia de cada elemento pasivo. Los cambios necesarios en cada elemento pasivo para hacer un cambio de escala en frecuencia por un factor K f son: ESCALAMIENTO DE FASE R  R L  C  Cambio de escala en frecuencia

122 5 k  1000 H 10 –3 F Z 5 k  200  H 200 pF Z Haciendo el cambio del circuito anterior obtenemos:

123 La curva de respuesta indica que, aparte de un cambio de escala en el eje horizontal, no es necesario hacer ningún otro cambio en la curva de respuesta anterior.

124 Una impedancia dada como función de s también puede cambiar su escala, sea en magnitud o en frecuencia. Para un cambio de escala en magnitud de Z(s): solo multiplicamos Z(s) por el factor K m. Ejemplo: La impedancia Z´(s) de la red con cambio de escala en magnitud es: Z´(s)=K m Z(s)

125 Para el cambio de escala en frecuencia: Z´´(s)=Z´ Siempre y cuando Z´´(s) y Z´(s) deben dar valores idénticos de impedancia Estos dos tipos de cambios de escala también pueden ser realizados a las fuentes dependientes

126 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II ING. EDWIN CEVALLOS ROMERO ANEXO FILTROS PASIVOS

127 Definición. Son circuitos resistivos, capacitivos de dos puertos, los cuales se utilizan para suprimir o dar paso a frecuencias específicas. Su nombre se deriva del uso de los componentes utilizados, resistores, capacitores y bobinas, ( R, C, L ), o sea, resistencia, capacidad e inductancia, estos son elementos que consumen energía.

128 FILTROS PASIVOS En los sistemas de comunicaciones se emplean filtros para dejar pasar solo las frecuencias que contengan la información deseada y eliminar las restantes. Los filtros son usados para dejar pasar solamente las frecuencias que pudieran resultar ser de alguna utilidad y eliminar cualquier tipo de interferencia o ruido ajeno a ellas. Tipos de filtros pasivos: – Filtro Pasa bajos – Filtro Pasa altos – Filtro Pasa banda – Filtro Supresor de banda

129 FILTROS PASIVOS Existe un símbolo para cada uno de estos filtros, símbolo que se usa en los diagramas de bloques de los aparatos electrónicos. Estos símbolos son los siguientes:

130 DEFINICIONES GENERALES fc: Frecuencia de corte de un filtro pasa bajo o pasa alto en Hz. ( Hertz ) BW: Ancho de banda en Hz. Q:( La Q simboliza: Una medida del grado de resonancia o selectividad de frecuencia de un sistema cualquiera, eléctrico. Un circuito con un gran ancho de banda tendrá un "Q" bajo. fr: Frecuencia de resonancia en Hz. f1:Frecuencia de corte inferior en Hz. f2:Frecuencia de corte superior en Hz. L Los valores de inductancia están comprendidos entre 100 nH ( nano henrios ) y 20 mH ( mili henrios ) R Los valores de Resistencia están comprendidos entre 1Ω y 22 MΩ C: Los valores de la capacitancia están comprendidos entre 1 pF ( pico faradio ) y 20 µF.

131 FILTRO PASA BAJOS Son aquellos que introducen muy poca atenuación a las frecuencias que son menores que una determinada, llamada frecuencia de corte. Las frecuencias que son mayores que la de corte son atenuadas fuertemente. Los circuitos usados como filtros de primer orden de tipo pasivo son los siguientes:

132 FITRO PASA BAJOS Quizás el más usado es el primero de ellos, ya que no suele ser fácil conseguir bobinas con las características deseadas. El funcionamiento de estos circuitos como filtro pasa bajos es fácil de entender. En el caso del primero, el condensador presentará una gran oposición al paso de corrientes debidas a frecuencias bajas y como forma un divisor de tensión con la resistencia, aparecerá sobre él casi toda la tensión de entrada. Para frecuencias altas el condensador presentará poca oposición al paso de la corriente y la resistencia se quedará casi el total de la tensión de entrada, apareciendo muy poca tensión en extremos del condensador. El segundo circuito funcionará de forma muy parecida al primero. Aquí también tenemos un divisor de tensión formado por al bobina y la resistencia. Si la frecuencia de la tensión de entrada es baja la bobina ofrecerá poca oposición y la tensión caerá casi toda ella en la resistencia (o sea, aparecerá en la salida). Si la frecuencia de la señal de entrada es alta la bobina se quedará en sus extremos con casi toda la tensión y no aparecerá casi ninguna en la salida.

133 FILTRO PASABAJOS Efectuemos el estudio de este tipo de filtros sobre el primero de ellos, el que tiene un condensador y una resistencia. La ganancia en tensión del filtro será La frecuencia de corte se define como aquella para la que el valor óhmico de la resistencia coincide con el valor óhmico de la reactancia, capacitiva en este caso (¿no se corresponde esto con lo dicho más arriba? No se preocupe, verá como el círculo acaba cerrándose). Entonces, Para el caso de que la frecuencia de entrada coincida con f c tendremos pues que la ganancia del filtro quedaría como

134 FILTRO PASA BAJOS Expresando Gv en función de la frecuencia tendremos que:

135 FILTRO PASA BAJOS La misma representación gráfica pero con Gv expresada en decibelios tiene el siguiente aspecto:

136 FILTRO PASA BAJOS Los filtros, además de afectar a la amplitud de la señal que se les introduce en función de su frecuencia, también afectan o modifican la fase de las señales, y dicha modificación también será una u otra en función de la frecuencia de la señal de entrada. Veamos cómo se produce este efecto. El desfase entre la tensión en extremos del condensador (tensión de salida) y la tensión aplicada en la entrada vendrá dado por: Este ángulo saldrá negativo indicando que la tensión de salida estará atrasada respecto a la de entrada.

137 FILTRO PASA BAJOS Representando gráficamente la expresión anterior del desfase tendremos lo siguiente:

138 FILTRO PASA BAJOS Si el eje de frecuencias lo representamos logarítmicamente la gráfica tendrá el siguiente aspecto:

139 FILTRO PASA BAJOS Hasta aquí todo muy bien, todo muy bonito. Pero, el filtro deberá conectar su entrada y su salida a "algo". El funcionamiento descrito más arriba sería el de un filtro conectado a una fuente de señal con impedancia nula (algo que en la práctica no pasa) y con la salida abierta (¿y entonces para qué quiero un filtro?). Lo que tendremos en la realidad sera algo como lo siguiente:

140 FILTRO PASA BAJOS ¿Como afectan Zg y Zc al funcionamiento del filtro? Restrinjamos el estudio a los casos en que tanto Zg como Zc sólo tengan componente real, o sea, sean de tipo exclusivamente resistivo. Lo normal es que Zg sea pequeña o muy pequeña, con lo que no tendría apenas influencia sobre el funcionamiento del filtro. De todas formas, si se desea considerar su efecto, sólo hay que ver que queda en serie con la resistencia del filtro, con lo que el filtro que se obtendría sería el siguiente:

141 FILTRO PASA BAJOS Por tanto, para el cálculo de un filtro teniendo en cuenta el efecto de Zg, de carácter puramente resistivo, sólo hay que considerar como resistencia del filtro el valor de Zg + R (con lo que la fuente de señal pasaría a considerarse como perfecta, esto es, con una impedancia cero -ya que su impedancia ha pasado a formar parte de la resistencia del filtro-). En cuanto al efecto introducido por Zc, decir que si ésta es grande o muy grande comparada con el valor de Xc a la frecuencia fc se podrá despreciar su efecto (nos estaríamos acercando al caso de salida abierta, equivalente a resistencia infinita). Y es a partir de esto último como se puede calcular un filtro práctico Ejemplo: Diseñar un filtro pasa bajo de primer orden, con condensador, para tener una banda de paso de 2000Hz, sabiendo que a su salida se conectará una carga resistiva de 10kohm y que se conectará a su entrada una fuente de señal con una resistencia interna de 600ohm.

142 FILTRO PASA ALTOS Este tipo de filtro atenúa levemente las frecuencias que son mayores que la frecuencia de corte e introducen mucha atenuación a las que son menores que dicha frecuencia. Podemos implementar un filtro de estas características mediante alguno de los siguientes circuitos:

143 FILTRO PASA ALTOS En esta ocasión realizaremos el estudio sobre el filtro a base de bobina y resistencia. Empecemos por la ganancia en tensión: Por otro lado, la frecuencia de corte (o sea, aquella para la que Xl = R) será: Y el desfase entre la tensión de salida respecto la de entrada es: Se puede ver que este filtro adelanta la tensión de salida respecto a la de entrada.

144 FILTRO PASA ALTOS Las representaciones gráficas correspondientes a este tipo de filtro serían las siguientes: Se puede apreciar la pendiente de -6dB/octava en la banda atenuada del filtro.

145 FILTRO PASA ALTOS Consideraciones sobre la impedancia de la fuente de señal y sobre la impedancia que se conecte a la salida del filtro se podrán aplicar a este filtro igual que ya se hizo en el filtro pasa bajos.

146 FILTRO PASA ALTOS Diseñar un filtro pasa altos de primer orden, con bobina, para una frecuencia de corte de 20kHz. El filtro se conectará a una fuente de señal de 50ohm de impedancia, con componente exclusivamente resistiva, y a su salida se conectará una resistencia de carga de 25kohm.

147 FILTRO PASA BANDA En este filtro existen dos frecuencias de corte, una inferior y otra superior. Este filtro sólo atenúa grandemente las señales cuya frecuencia sea menor que la frecuencia de corte inferior o aquellas de frecuencia superior a la frecuencia de corte superior. por tanto, sólo permiten el paso de un rango o banda de frecuencias sin atenuar. Se puede conseguir un filtro paso banda conectando en cascada (uno tras otro) un filtro pasa altos y un filtro pasa bajos:

148 FILTRO PASA BANDA La respuesta en frecuencia que cabe esperar de un filtro de este tipo será algo similar a esto:

149 FILTRO PASA BANDA Pues bien, la fci vendrá determinada por el filtro pasa altos y la fcs por el pasa bajos. Teniendo en cuenta esto y las fórmulas ya desarrolladas para ambos tipos de filtros (¿cómo, todavía no realizó el estudio para el pasa altos con condensado?) no es difícil su cálculo (aproximado) para una determinada banda de paso. Ejemplo: Calcular el filtro pasa banda para que presente una fci de 1000Hz y una fcs de 10kHz. Hay que tener en cuenta que la fuente de señal a la que se conectará el filtro tiene una resistencia interna de 50ohm y que se le conectará al filtro una resistencia de carga de 47kohm.

150 FILTRO SUPRESOR DE BANDA Este filtro elimina en su salida todas las señales que tengan una frecuencia comprendida entre una frecuencia de corte inferior y otra de corte superior. Por tanto, estos filtros eliminan una banda completa de frecuencias de las introducidas en su entrada. Podemos implementar un filtro de estas características mediante alguno de los siguientes circuitos

151 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II ING. EDWIN CEVALLOS ROMERO UNIDAD 3 LUGARES GEOMÉTRICOS

152 LUGARES GEOMETRICOS

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173 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II ING. EDWIN CEVALLOS ROMERO UNIDAD 5 REDES DE DOS PUERTOS (CUADRIPOLOS)

174 INTRODUCCIÓN. Un puerto se define como el par de terminales por el cual entra o sale una señal de una red. Pueden existir redes de un solo puerto, de dos o de mas puertos. En general, es importante aprender a comprender y analizar redes, pues siempre será un problema frecuente para el estudiante de ingeniería y el profesional en esta área.

175 REDES DE UN PUERTO Un sistema de ecuaciones representativo de una red pasiva de N lazos es: Con un simple manejo de determinantes, llamando al determinante de los coeficientes de las corrientes en el anterior grupo de ecuaciones y a su respectivo menor, se obtiene: Resultado que prácticamente nos simplifica la red a un valor de impedancia.

176 PARÁMETROS DE ADMITANCIA Consideremos una red lineal de dos puertos sin fuentes independientes internas: Podemos expresar las corrientes en términos de voltajes y sus respectivos coeficientes como: coeficientes los llamaremos parámetros Y cuyas unidades son [S]. Estos parámetros podemos hallarlos de acuerdo a las siguientes consideraciones:

177 Debido al procedimiento utilizado, los parámetros [Y] reciben el nombre de parámetros de admitancia de cortocircuito y específicamente cada parámetro recibe un nombre de acuerdo a la manera como fue deducido: : Admitancia de entrada de cortocircuito. : Admitancia de salida de cortocircuito, : Admitancias de transferencia de cortocircuito. Ahora, cuando para un sistema de ecuaciones se cumple: Lo llamaremos circuito bilateral, condición que nos lleva a enunciar el teorema de la reciprocidad: “En una red bilateral lineal pasiva, si la única fuente de voltaje Vx en la rama X produce una respuesta Iy en la rama Y, entonces al quitar la fuente de voltaje de la rama X y colocarla en la rama Y, producirá la respuesta de corriente Iy en la rama X.”

178 CONEXIÓN EN PARALELO DE DOS REDES DE DOS PUERTOS Los parámetros [Y] también son útiles para reducir a una sola red, dos redes conectadas en paralelo:

179 Al hacer esta conexión, aparentemente se está contradiciendo la regla que planteamos al principio: Que nos dice que no pueden existir conexiones externas entre terminales de dos puertos diferentes; pero si cada red de dos puertos tiene un nodo de referencia común a sus puertos de entrada y salida, y además la conexión en paralelo se hace con un nodo de referencia común, no se incumple la regla y todos siguen siendo redes de dos puertos. Para las redes A y B, se cumple respectivamente: Dadas las igualdades de tensiones para las dos redes, es claro que: Resultado que podemos utilizar para simplificar N redes en paralelo

180 PARÁMETROS DE IMPEDANCIA Otro grupo de parámetros que nos ayuda en la simplificación de redes son los parámetros de impedancia. Consideremos una red descrita por las ecuaciones: Para hallar estos parámetros consideramos condiciones de circuito abierto que sean convenientes, obteniendo: Por la forma en la que fueron deducidos, estos parámetros reciben el nombre de parámetros de impedancia de circuito abierto.

181 CONEXIÓN SERIE DE REDES DE DOS PUERTOS Los parámetros [Z] se utilizan de manera efectiva en la solución de problemas que tengan redes en serie:

182 Aprovechando que algunas corrientes circulan por ambas redes y la composición del voltaje de la red equivalente está dada en términos de los voltajes de las redes A y B; se hace un sencillo análisis y se llega a la siguiente conclusión:

183 PARÁMETROS HÍBRIDOS En la mayoría de los casos donde necesitamos analizar redes con transistores y deseamos hallar las ecuaciones que rigen dichas redes, se utilizan los parámetros híbridos. Las siguientes ecuaciones definen una red en términos de parámetros híbridos: Al igual que los otros parámetros, se establecen unas condiciones para encontrar los parámetros: Los nombres de estos parámetros son: : Impedancia de entrada de corto circuito (hi). : Ganancia de corriente de corto circuito (hf). : Ganancia de voltaje inverso de circuito abierto (hr). : Admitancia de salida de circuito abierto (ho). Entre paréntesis aparece la notación de éstos parámetros para trabajos específicos en electrónica.

184 PARÁMETROS DE TRANSMISIÓN Los parámetros de transmisión o parámetros ABCD, se definen como: Los signos negativos de los términos que contienen a I2, se deben a que en los parámetros de transmisión la corriente I2 se asume saliendo de la red, dando a entender la dirección y sentido de la energía:

185 Vemos que estos parámetros relacionan directamente la salida con la entrada. Para averiguar el valor de estos parámetros, lo más conveniente es plantear las ecuaciones respectivas de la red y llegar a la forma de las ecuaciones que acabamos de enunciar; sin embargo podemos emplear ecuaciones similares a las de los anteriores tipos de parámetros: Los parámetros de transmisión son útiles para reducir redes en cascada como la que se muestra a continuación:

186 REDES DE DOS PUERTOS EN CONEXIÓN EN CASCADA En este caso aprovechamos la igualdad entre los voltajes V2 y V3, y entre las corrientes –I2 e I3, llegando a la conclusión que:

187 REDES EQUIVALENTES En ocasiones se presentan redes que no se pueden simplificar con equivalentes en paralelo y serie, en estos casos contamos con la ayuda de algunas propiedades de los parámetros vistos y podemos simplificar redes muy complicadas. Por ejemplo, las redes en delta y en estrella usualmente se presentan en casos cotidianos para el ingeniero, y debemos aprender a “convertirlas” para así llegar a redes simplificadas. - R1 = (Ra x Rc) / (Ra + Rb + Rc) - R2 = (Rb x Rc) / (Ra + Rb + Rc) - R3 = (Ra x Rb) / (Ra + Rb + Rc) - Ra = [ (R1 x R2) + (R1 x R3) + (R2 x R3) ] / R2 - Rb = [ (R1 x R2) + (R1 x R3) + (R2 x R3) ] / R1 - Rc = [ (R1 x R2) + (R1 x R3) + (R2 x R3) ] / R3