ANALISIS MATEMATICO I I UNIDAD DIDACTICA Docente de la asignatura: Ubaldo Cayllahua Yarasca 2017.

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1 ANALISIS MATEMATICO I I UNIDAD DIDACTICA Docente de la asignatura: Ubaldo Cayllahua Yarasca 2017

2 I UNIDAD DIDACTICA: LIMITES

3 LIMITE DE FUNCIONES REALES Veamos algunos ejemplos para entender este concepto. Caso 1: Dada la función y= f(x) = 2x + 1. Evaluemos f(x) cuando x 3, tanto por la derecha e izquierda. x 3 3 x X 2,82,9 2,992,9992,999933,00013,0013,013,13,2 f(x) 6,66,86,986,996,9997,00027,0027,027,27,4 Es decir, cuando “x” se aproxima a 3, f(x) se aproxima a …., lo cual se aprecia en la siguiente gràfica.

4 Observamos que cuando x 3 por la izquierda (x<3), f(x) se aproxima a 7. Pero si x 3 por la derecha (x>3), f(x) también se aproxima a 7. Entonces diremos que el limite de la función y = f(x) = 2x + 1 cuando x 3 es igual a 7, lo cual se simboliza así: Lim (2x+1) = 7 x 3 x y 3 7 y=2x+1

5 CONCEPTO DE LIMITE DE UNA FUNCION El límite de una función y= f(x) es el valor real “L” hacia el cual se aproxima la función cuando la variable “x” se aproxima a otro valor real “c”. Es decir: Se lee: El limite de f(x) cuando “x” tiende a “c” es “L”. O bien: 1. Cuando “x” se aproxima (tiende a “c”), f(x) se aproxima (tiende a “L”) 2. Para “x” próximo a “c”, pero distinto de “c”, f(x) está próximo a “L”, lo cual se ilustra en el siguiente gráfico. Lim f(x) = L x c

6 ILUSTRACION GRAFICA DE LIMITE DE UNA FUNCION Cuando x c a lo largo del eje “x”, f(x) L a lo largo del eje “y”

7 Caso 2: Dada la función f(x) = f(x) no está definida para x=1 pues en dicho punto f(x) = 0/0, lo cual carece de sentido pues (0/0 = ?). Pero si x 1, ¿ Se aproxima f(x) a algún valor ? Para responder esta pregunta, Hallemos algunos valores de f(x) cuando x 1 por la izquierda y por la derecha. x0,80,90,990,9990,9999 11,00011,0011,011,11,2 f(x)

8 x x De la tabla de valores y del diagrama concluimos que f(x) 3 cuando x 1, lo cual se simboliza así: Lim x 1 Se lee: El límite de (x^3-1)/(x-1) Cuando x 1 es 3. = 1

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10 SIGNIFICADO INTUITIVO DE LIMITE

11 METODOS PARA HALLAR EL LIMITE DE UNA FUNCIÒN Existe 3 métodos: 1. Método numérico (mediante tabulación) 2. Método gráfico 3. Método analítico (usando algebra o trigonometría

12 CUESTIONES A CONSIDERAR EN EL CALCULO DE LIMITES

13 + ∞ si n es par + - ∞ si n es impar + +∞ si k>0 -∞ si k<0 l) k(-∞) = -∞ si k>0 +∞ si k<0

14 TOPICOS QUE COMPRENDE LOS LIMITES

15 PROPIEDADES DEL LIMITE DE UNA FUNCIÒN c x

16 c x nn x c