COMBINACIONES Bernardo F y Marco A. G.

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1 COMBINACIONES Bernardo F y Marco A. G. Las combinaciones se forman también de r elementos de un conjunto disponible de n de ellos. Se diferencian de las permutaciones en virtud de que en las combinaciones interesa solamente la selección de elementos y no el orden de ellos. Para determinar el número de combinaciones de n objetos de orden r, que se representan mediante Cnr o (nr) o nCr , considerando que están formadas las combinaciones Cnr , si a cada una se les permuta sus r objetos, tenemos r! maneras distintas de hacerlo, el producto r!xCnr nos da el total de permutaciones de n objetos dosponibles tomados de orden r, por lo tanto r!xCnr =Pnr , despejando Cnr= Pnr/r! = n!/[r!(n-r)!].

2 Solución: C105=10!/[5!(10-5)!]=10!/(5!x5!)=(10x9x8x7x6)/5!
Bernardo F y Marco A. G. Ejemplo: Un comandante de la policía federal tiene a su disposición cinco personas (Daniel, José, Oscar, Pedro y Víctor), requiere para el turno vespertino elegir a dos de ellas para formar una pareja que realice, en cierta zona, el patrullaje correspondiente. ¿De cuántas maneras diferentes el comandante puede formar la mencionada pareja? Solución: C52=5!/2!(5-2)!=5!/(2!x3!)=120/(2x6)=120/12=10 Que son: {DJ, DO, DP, DV, JO, JP, JV, OP, OV, PV} Ejemplo: ¿De cuántas formas diferentes un director técnico puede formar el equipo titular de basquetbol (cinco personas), si dispone de diez jugadores? Solución: C105=10!/[5!(10-5)!]=10!/(5!x5!)=(10x9x8x7x6)/5! C105=252 formas diferentes

3 NÚMEROS COMBINATORIOS
Bernardo F y Marco A. G. En matemáticas son muy importantes los números combinatorios, que se representan mediante (nr), donde: n es el numerador y r el orden, la expresión que nos da el número combinatorio es n!/[r!(n-r)!]. PROPIEDADES 1) Cuando los números combinatorios son de orden cero, toman el valor uno. (n0)=n!/[0!(n-0)!]=n!/(1xn!)=n!/n! 2) Si el numerador y el orden de los números combinatorios es igual, también toman el valor uno. (nn)=n!/[n!(n-n)!]=n!/(n!x0!)=n!/n!=1 3) Los números combinatorios de orden uno son iguales a n. (n1)=n!/[1!(n-1)!]=n!/(n-1)!=n

4 (nn-r)=n!/([n-r]!xr!) L. Q. Q. D.
Bernardo F y Marco A. G. 4) Si n es el numerador de dos números combinatorios con un orden cada uno de ellos, que al sumarse complementen dicho numerador (r+[n-r])=n, los números combinatorios son iguales. (nr)=(nn-r), desarrollando el último (nn-r)=n!/([n-r]!x[n-(n-r)]!) (nn-r)=n!/([n-r]!xr!) L. Q. Q. D. 5) Si dos números combinatorios con igual numerador, pero uno con orden r y el otro con orden r+1, se suman; siempre se tiene otro número combinatorio con numerador n+1 y de orden n+1. (nr)+(nr+1)=(n+1r+1). Demostración: (nr)+(nr+1)=n!/(r!x[n-r]!)+n!/([r+1]!x[n-(r+1)]!) Aplicando la fórmula del factorial a los denominadores (nr)+(nr+1)=n!/(r!x[n-r-1]!x[n-r])+n!/([r+1]xr!x[n-r-1]!)

5 EJERCICIOS (nr)+(nr+1)=[n!(r+1)+n!(n-r)]/([r+1]xr!x[n-r-1]!x[n-r]!)
Bernardo F y Marco A. G. Complementando denominadores para igualarlos (nr)+(nr+1)=n!(r+1)/([r+1]xr!x[n-r-1]!x[n-r]!)+n!(n-r)/([r+1]!x[n-r-1]!x[n-r]) Efectuando operaciones (nr)+(nr+1)=[n!(r+1)+n!(n-r)]/([r+1]xr!x[n-r-1]!x[n-r]!) (nr)+(nr+1)=[n!(n+1)]/([r+1]xr!x[n-r-1]!x[n-r]!) Aplicando la fórmula del factorial en numerador y denominado, tenemos: (nr)+(nr+1)=(n+1)!/([r+1]!x[n-r]!) L. Q. Q. D. EJERCICIOS I) Trabajando con Excel Obtener el triángulo de Pascal. II) Mediante los números combinatorios obtener el quinto término del binomio (a+b)7.

6 Las diez personas son elegibles libremente
III) De un grupo de diez personas debe elegirse un comité formado por cinco. Calcular el número de comités diferentes que se pueden elegir, si: Las diez personas son elegibles libremente Dos de las personas elegibles no pueden aparecer juntas en el comité Dos de las personas deben estar siempre juntas, dentro del comité o fuera de él En el comité debe haber un presidente Bernardo F y Marco A. G. IV) En un plano hay n puntos, sin que haya tres alineados. Calcular el número de rectas que se pueden definir con los puntos del plano.