@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.1 TRABAJO CON PARÁMETROS EN SISTEMAS TEMA 5.4 * 2º BCT.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.1 TRABAJO CON PARÁMETROS EN SISTEMAS TEMA 5.4 * 2º BCT

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.2 Recordatorio DISCUSIÓN Si al reducir la matriz ampliada A/B a la forma triangular aparece alguna fila en la que son nulos todos los elementos, excepto el correspondiente al término independiente, el sistema es INCOMPATIBLE ( No tiene solución). [ h = 0, j <> 0 ] En caso contrario es sistema es COMPATIBLE (Tiene solución) y se distinguen dos casos: Si el número de filas no nulas en la matriz triangular coincide con el número de incógnitas, el sistema es DETERMINADO. ( Tiene UNA única solución ) Si el número de filas no nulas en la matriz triangular es menor que el número de incógnitas, el sistema es INDETERMINADO. ( Tiene INFINITAS soluciones )

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.3 Ejemplo_1 Seaax + y + z = 3a113 x + ay + z = 3 A/B =1a13 x + y + az = 311a3 Al aplicar Gauss en la matriz A/B queda 11/a1/a 3/a11/a1/a3/a A/B = 1a1 3 0a-1/a1-1/a3-3/a 11a 301-1/aa-1/a3-3/a 11/a1/a3/a a 1 1 3 0a-1/a1-1/a3-3/a 0 (a+1)(a-1) a-1 3(a-1) 01-1/aa-1/a3-3/a 0 a-1 (a+1)(a-1) 3(a-1) a 113a 1 1 3 0 0-a(a-1)(a+2)-3.a(a-1) 0 1 a+1 3 0 a-1(a+1)(a-1)3(a-1) 0 0 a+2 3

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.4... Ejemplo Discusión: a 1 1 3 0 1 a+1 3 0 0 a+2 3 Si a+2 = 0 el sistema es incompatible, pues 3<>0 Si a+2 = 0 a = -2 Si a <> -2 el sistema es compatible. Si a = 1 Las tres filas son idénticas. Por tanto el rango de A es igual al rango de A/B = 1 El sistema es compatible e indeterminado. Si a <>1 y a <> -2 El sistema es compatible y determinado, pues ran(a)=ran(A/B) = n = 3

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.5 Resolución_1 Para a <> -2 a 1 1 3 0 1 a+1 3 0 0 a+2 3 Por Gauss: (a+2).z = 3 z = 3 / (a+2) y+ (a+1).3/(a+2) = 3 y = 3 – 3(a+1)/(a+2) = 3/(a+2) a.x + y + z = 3 x = [3 – 3/(a+2) – 3/(a+2)] / a = 3.a/a = 3 Para a = 1 x = 3 – y – z Si a <>1 y a <> -2 Idem para a <> -2

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.6 Ejemplo_2 Seax + y + z = 31113 x + 2y – 3z = 512- 35 2x + 3y – 2z = 8 23- 28 y – 4z = b01- 4b Al aplicar Gauss en la matriz A/B queda 11131113 A/B = 01-42 01-42 01-4 201-4b 0 1 -4 b0000 1113 A/B = 01-42 Caso 1: b-2 = 0 b=2 000 b-2Caso 2: b-2 <> 0 b<>2 0 0 0 0

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.7 Resolución_2 Para b = 2 Ran (A)=2, ran(A/B) =2, n= 3 Sistema compatible e indeterminado. x + y + z = 3 y – 4z = 2 Por Gauss: y = 2 + 4.z x = 3 – z – y = 3 – z – (2 + 4z) = 1 – 5.z Para b <> 2 Ran (A)=2, ran(A/B) =3 Sistema incompatible.