RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

Presentación del tema: "RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO"— Transcripción de la presentación:

1 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
U.D * 2º BCT RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

2 PROBLEMAS CON TRES PLANOS EN EL ESPACIO
U.D * 2º BCT PROBLEMAS CON TRES PLANOS EN EL ESPACIO @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

3 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
Casos a considerar 1. Rango A = Rango A/B = 3  S.C.D. Solución única. Los tres planos se cortan en un punto formando un triedro. Las coordenadas del punto se obtienen resolviendo el sistema. 2. Rango A <> Rango A/B  S.I. Los tres planos no tienen ningún punto en común. Las dos posibles posiciones son:  Los planos forman una superficie prismática.  Dos planos son paralelos y el otro los corta. 3. Rango A = Rango A/B = 2  S.C.I. Las infinitas soluciones dependen de un parámetro. Los tres planos tienen una recta en común. Las dos posibles posiciones son:  Los planos son distintos y se cortan en una recta.  Dos planos son coincidentes y el otro los corta. 4. Rango A = 1; Rango A/B = 2  S.I. Los tres planos no tienen ningún punto en común. Las dos posibles posiciones son:  Los planos son paralelos y distintos.  Dos planos son coincidentes y el otro paralelo a ellos y distinto. 5. Rango A = Rango A/B = 1  S.C.I. El sistema se reduce a una sola ecuación. Es decir, los planos son coincidentes. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

4 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
Ejercicio 1 Estudia la posición relativa de los planos: x + (1 + α).y + z = 0, (2 + α).x – y – 2.z = 0, 3.x – z = α , según los valores de α. Solución Estudiar su posición es discutir el sistema que forman sus ecuaciones. Para ello consideramos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada . α α (A) = 2 + α – 1 – (AM) = 2 + α – 1 – – – α Rango (A) >= 2, pues hay un determinante de orden 2 no nulo. |A| = 1 – 6 – 6.α α + 2.α + α2 = α2 – 3.α = α.(α – 3) Si α = 0  |A| = 0 Rango (A) = 2 Si α = 3  |A| = 0 Rango (A) = 2 Si α <> 0 y α <> 3  |A| <> 0 Rango (A) = 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

5 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
…Ejercicio 1 … Solución α (A/M) = 2 + α –1 – – α Rango (AM) >= 2, pues hay un determinante de orden 2 no nulo. |Ax| = – 2.α – 2.α2 + α = – 2.α2 – α = – α.(α + 1) |Ay| = 2.α + α2 + 2.α = α2 + 4.α = α.(α + 4) |Az| = – α – 2.α – α2 – 2.α2 – α3 = – α3 – 3.α2 – 3.α Si α = 0  |AM| = 0 Rango (A) = 2 Si α <> 0  |AM| <> 0 Rango (A) = 3 Conclusión: Si α = 0  Rango (A) = Rango (AM) = 2  Recta en común. Si α = 3  Rango (A) = 2, Rango (AM) = 3  Ningún punto común. Si α <> 0 y α <> 3  Rango |A| = Rango (AM) = 3  TRIEDRO. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

6 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
Ejercicio 2 Sean los planos: π1x+y+z=a – 1, π22x+y+az=a, π3x+ay+z=1. a) Estudiar, según los valores del parámetro a, su posición relativa. b) Halla la intersección de los planos cuando a=2. Solución Estudiar su posición es discutir el sistema que forman sus ecuaciones. Para ello consideramos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada . a – 1 (A) = a (AM) = a a 1 a a Rango (A) >= 2, pues hay un determinante de orden 2 no nulo. |A| = a + a – 1 – 2 – a2 = – a2 + 3.a – 2 = – ( a – 1).(a – 2) Si a = 1  |A| = 0 Rango (A) = 2 Si a = 2  |A| = 0 Rango (A) = 2 Si a <> 1 y a <> 2  |A| <> 0 Rango (A) = 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

7 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
…Ejercicio 2 … Solución a – 1 (AM) = a a a Rango (AM) >= 2, pues hay un determinante de orden 2 no nulo. |Ax| = a – 1 + a + a2 – 1 – a3 + a2 – 2 = – a3 + 2.a2 + 2.a – 4 |Ay| = a + a2 – a + 2 – a – a – 2.a + 2 = a2 – 4.a + 4 = (a – 2)2 |Az| = 1 + a + 2.a2 – 2.a – a + 1 – 2 – a2 = a2 – 2.a = a.(a – 2) Si a = 2  |AM| = 0 Rango (A) = 2 Si a <> 2  |AM| <> 0 Rango (A) = 3 Conclusión: Si a = 2  Rango (A) = Rango (AM) = 2  Recta en común. Si a = 1  Rango (A) = 2, Rango (AM) = 3  Ningún punto común. Si a <> 2 y a <> 1  Rango |A| = Rango (AM) = 3  TRIEDRO. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

8 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
…Ejercicio 2 … Solución Intersección de planos cuando a=2 Sean los planos: π1x+y+z=1, π22x+y+2z=1, π3x+2y+z=1. Vector director de la recta (π1, π2): i j k u= = i – k Vector director de la recta (π2, π3): u= = 3.i – 3.k Efectivamente el vector debe ser único. Un punto P por donde pasa la recta: x + y = 1 – z Resolviendo el sistema de rango dos: x = – z , y = 1 2x + y = 1 – 2z Luego r = (x,y,z) =(-z, 1, z) + k.(1, 0 ,– 1) r π1 P π2 π3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

9 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
Ejercicio 3 Comprueba que los tres planos siguientes son las tres caras laterales de un prisma triangular: π13x‑2­y=1, π24y-3z+2=0, π3z-2x+4=0. Solución Vector director de la recta (π1, π2): i j k u= –2 0 = 6i + 9j + 12k –3 Vector director de la recta (π2, π3): i j k v= –3 = 4i + 6j + 8k – Vector director de la recta (π3, π1): w= – = 2i + 3j + 4k 3 –2 0 Las tres aristas que crean son paralelas, pues los tres vectores directores, u,v y w son proporcionales. Veamos si tienen algún punto en común: 3x ‑ 2­y = 1 4y - 3z = – 2 -2x z = – 4 F1/3 y F3 + 2.F1 x ‑ (2/3)­y = 1/3 4y z = – 2 - (4/3)y + z = –10/3 F3 + F2 /3 0 = –16/3 Incompatible: No hay. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

10 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
Ejercicio 4 Estudia la posición relativa de los planos: x+3y+2z=0, 2x-y+z=0, 4x-5y-3z=0. Solución Estudiar su posición es discutir el sistema que forman sus ecuaciones. Para ello consideramos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada . (A) = – (AM) = – 4 – 5 – – 5 – Rango (A) >= 2, pues hay un determinante de orden 2 no nulo. |A| = – = 26 <> 0  Rango (A) = 3 Rango (AM) = 3, pues no puede ser de orden 4. Rango (A) = Rango (AM) = 3  Se cortan en un punto, forman un triedro. 2 – = 0 – 7 – = = 4 – 5 – – 17 – / – 6/17 0 Sistema C. y D. Solución: P(0,0,0), la solución trivial. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

11 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
Ejercicio 5 Calcula el valor de a para que los planos: x+y+z=2, 2x+3y+z=3, ax+10y+4z=11 se corten en una recta. Solución Los tres forman un haz de planos, luego π3 = s.π1 + t.π2 (x + y + z – 2).s + (2x + 3y + z – 3).t = ax + 10y + 4z – 11 x.s + ys + zs – 2s + 2x.t + 3y.t + z.t – 3.t = ax + 10y + 4z – 11 s + 2.t = a s + 3.t = s + 4.t = Por Reducción: s + t = s + 3.t = t = 3  s = 1 – 2.s – 3.t = – 11 Luego: a = s + 2.t = = = 7 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.