Rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo

Presentación del tema: "Rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo"— Transcripción de la presentación:

1 Rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo
AREA DE FISICA UNIDAD 7: Rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo 7-1 Movimiento curvilíneo – Posición, velocidad y aceleración angular 7-2 Energía Cinética de rotación. 7-3 Cálculo de momentos de inercia. Teorema de los ejes paralelos, aplicaciones. 7-4 Momento de torsión. 7-5 Momento de torsión y aceleración angular de un cuerpo rígido respecto de un eje fijo Profesor: 7-6 Trabajo y Energía Cinética en movimiento de rotación. 7-7 Energía cinética de rotación y traslación de un objeto rígido. 7-8 Cantidad de movimiento angular de una partícula y de un sistema de partículas. 7-9 Cantidad de movimiento angular de un objeto rígido que gira. Conservación de la cantidad de movimiento angular.

2 AREA DE FISICA 7-1 Posición, velocidad y aceleración angular
De manera similar que en M.R.U.A., si  es constante:

3 7-2 Energía cinética de rotación
AREA DE FISICA 7-2 Energía cinética de rotación Ya vimos que: mi Profesor: El movimiento de un objeto extendido, como una rueda que gira en torno a su eje, no se puede explicar al representar el objeto como una partícula: en cualquier momento diferentes partes del objeto tienen distintas velocidades y aceleraciones lineales. Sin embargo, el movimiento de un objeto extendido se analiza al representarlo como un conjunto de partículas, cada una con su propia velocidad y aceleración lineales. Al tratar con un objeto en rotación, la explicación se simplifica mucho al suponer que el objeto es rígido. Un objeto rígido no es deformable; es decir, las ubicaciones relativas de todas las partículas de que está compuesto permanecen constantes. Todos los objetos reales son deformables en cierta medida; no obstante, el modelo de objeto rígido es útil en muchas situaciones en que la deformación es despreciable. En el capítulo 5 se definió la energía cinética de un objeto como la energía asociada con su movimiento a través del espacio. Un objeto rotatorio en torno a un eje fijo permanece estacionario en el espacio, así que no hay energía cinética asociada con el movimiento traslacional. No obstante, las partículas individuales que conforman el objeto en rotación se mueven a través del espacio; siguen trayectorias circulares. En consecuencia, con el movimiento rotacional hay energía cinética asociada. Considere un objeto como un conjunto de partículas y suponga que da vueltas en torno a un eje fijo z con una rapidez angular W. La figura muestra al objeto en rotación e identifica una partícula sobre el objeto ubicada a una distancia ri del eje de rotación. Si la masa de la i–ésima partícula es mi y su rapidez tangencial es vi, su energía cinética es O

4 7-2 Energía cinética de rotación Por lo tanto, podemos escribir
AREA DE FISICA 7-2 Energía cinética de rotación A la cantidad: MOMENTO DE INERCIA I mi Es importante reconocer la analogía entre la energía cinética 1/2mv2 asociada con el movimiento traslacional y la energía cinética rotacional 1/2IW2 . Las cantidades I y W en el movimiento rotacional son análogas a m y v en el movimiento traslacional, respectivamente. (De hecho, I toma el lugar de m y W toma el lugar de v cada vez que se compara una ecuación de movimiento traslacional con su contraparte rotacional.) El momento de inercia es una medida de la resistencia de un objeto a cambios en su movimiento rotacional, tal como la masa es una medida de la tendencia de un objeto a resistir cambios en su movimiento traslacional O Por lo tanto, podemos escribir

5 AREA DE FISICA Ejemplo ¿Cuál es la energía cinética rotacional del dispositivo que se muestra si rota con rapidez constante de 600 rpm?

6 AREA DE FISICA 7-3 Cálculo de momentos de inercia. Teorema de los ejes paralelos, aplicaciones. Cuando: n  m  0 Sabiendo que: Si el objeto es homogéneo,  es constante y la integral se puede evaluar para una geometría conocida. Si  no es constante, se debe conocer su variación con la posición para completar la integración. La densidad conocida por = m/V a veces se conoce como densidad de masa volumétrica porque representa masa por unidad de volumen. Con frecuencia se usan otras formas de expresar la densidad. Por ejemplo, cuando se trata con una hoja de grosor uniforme t, se puede definir una densidad de masa superficial =.t, que representa masa por unidad de área. Por último, cuando la masa se distribuye a lo largo de una barra de área de sección transversal uniforme A, a veces se usa la densidad de masas lineal = M/L= .A, que es la masa por unidad de longitud.

7 Momento de inercia de un cilindro solido
AREA DE FISICA Momento de inercia de un cilindro solido Profesor:

8 AREA DE FISICA Momento de inercia de un cilindro solido Profesor:

9 Momento de inercia, aplicaciones.
AREA DE FISICA Momento de inercia, aplicaciones. Profesor:

10 AREA DE FISICA Teorema de Steiner 𝒚´ 𝒚 Profesor: 𝒚 𝑪𝑴

11 TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS
AREA DE FISICA Teorema de Steiner 𝒚´ 𝒚 Profesor: 𝒚 𝑪𝑴 TEOREMA DE STEINER Ó TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS

12 AREA DE FISICA Teorema de Steiner
EJEMPLO: MOMENTO DE INERCIA DE BARRA RÍGIDA UNIFORME DE MASA M Y LONGITUD L RESPECTO A EJE QUE PASA POR UNO DE SUS EXTREMOS Profesor:

13 AREA DE FISICA 7-4 Momento de torsión
Si empujamos un objeto con libertad de moverse, se moverá Algunos objetos se desplazan sin girar, otros giran sin desplazarse y otros se desplazan y giran al mismo tiempo ¿Qué hace que un objeto gire al aplicar una fuerza? Cuando abrimos una puerta, ó apretamos una tuerca, ó abrimos una canilla Profesor: Al comienzo de esta unidad, dijimos que la causa del movimiento eran las fuerzas. Clic También muchas veces vemos Clic . Entonces, podemos preguntarnos Clic . Por ejemplo Clic ….Clic …..Clic . En estos casos Clic . Vamos a decir que esta fuerza “de giro” que aplicamos Clic Torque ó torca, deriva del latín (torquere) que significa “torcer” se ejerce una fuerza de giro. Esa fuerza de giro produce un momento ó torque

14 AREA DE FISICA 7-4 Momento de torsión
Si queremos que un objeto se mueva Aplicamos una FUERZA LAS FUERZAS TIENDEN A MOVER LOS OBJETOS Si queremos que un objeto gire Profesor: Es decir Clic … Clic . Las fuerzas Clic . Ahora Clic … Clic . Los momentos o torques Clic . Ahora, recién dijimos que un cuerpo rotaba cuando aplicamos una fuerza de giro que llamamos torque. ¿Qué diferencia hay entre fuerza y torque? ¿Qué relación hay entre fuerza y torque? Clic Aplicamos un TORQUE LOS TORQUES TIENDEN A ROTAR LOS OBJETOS

15 Nunca tiraríamos de la perilla hacia el costado
7-4 Momento de torsión El Torque se produce cuando la fuerza se aplica con “apalancamiento” “Apalancamiento” ó palanca es el vínculo que hay entre la fuerza aplicada y el punto respecto al que gira el objeto palanca Nunca tiraríamos de la perilla hacia el costado F La experiencia nos indica que si la fuerza la hacemos con un ángulo de 90°, el resultado será mas efectivo Profesor: Clic …. ¿apalancamiento??? Clic o sea que la relación que buscamos entre fuerza y torque es justamente la posición del punto en que aplico la fuerza respecto al eje donde que puede girar el cuerpo. Por supuesto que la magnitud y dirección de la fuerza aplicada jugarán también un papel muy importante en el torque. Clic la figura muestra una puerta vista desde arriba que puede girar respecto a la bisagra Clic . La distancia que hay entre la posición de la fuerza y el eje de giro se llama Clic . Si aplicamos le fuerza F Clic . VAMOS A HACER UN EXPERIMENTO CON UN CUERPO QUE GIER RESPECTO A UN EJE Y EL SENSOR DE FUERZA PARA ARRIBA A LAS CONCLUSIONES: De la experimentación surge Clic . … Clic bisagra 90°

16    AREA DE FISICA aún más momento más momento momento d F d d
Ya vimos que si la fuerza la hacemos con un ángulo de 90°, el resultado será mas efectivo Ahora, ¿Cómo influye la distancia entre el eje de giro y el punto de contacto de la fuerza?. Es decir la distancia del brazo de palanca  fuerza aún más momento d  fuerza F momento d fuerza  más momento d Clic . Tenemos que ver ahora Clic . Busquemos algunos ejemplos. El gomero que afloja los tornillos o simplemente, por que no vasta apretar una tuerca con la mano y tenemos que recurrir a una llave. Resumiendo Clic y con lo obtenido experimentalmente podemos definir el momento o torque como Clic donde matemáticamente lo podemos escribir Clic viendo que las unidades en el sistema internacional donde la fuerza esta en N y la distancia en m Clic Aunque la magnitud de la fuerza sea la misma, el momento es distinto en cada caso. Momento = brazo de palanca x fuerza 

17 Línea de acción de la fuerza
AREA DE FISICA 7-4 Momento de torsión Profesor: veamos ahora una vista en el plano xy clic y supongamos que tanto el vector r clic como la fuerza F clic , están contenidos en el plano. Se puede ver clic que F y r forman un ángulo  entre si. Podemos descomponer la fuerza en una componente según una dirección radial (explicar radial y tangencial) clic y otra según una dirección tangencial. clic Se puede ver claramente que solo la componente tangencial influye en la rotación del cuerpo y como ya vimos cuando definimos momento de manera experimental , podemos escribir el momento como de magnitud clic . Si ponemos el eje de rotación en otro punto el momento será diferente, por lo que siempre tenemos que aclarar respecto a que punto definimos el momento. Otra manera de interpretar el momento respecto a un punto es prolongar la recta de acción de la fuerza clic . Si trazamos una perpendicular a la recta de acción de la fuerza y obtenemos la componente de r clic . Sabiendo que el ángulo es clic podemos expresar el momento como el producto de la fuerza por la distancia perpendicular a la recta de acción de la fuerza llamado clic como clic teniendo el mismo modulo como resultado. ANALIZAR DE NUEVO COMO VARIA EL MOMENTO DE ACUERDO A LA UBICACIÓN DE LAS FUERZAS CON EL PUNTO DE MOMENTO Y EL BRAZO DE PALANCA Línea de acción de la fuerza P O Brazo de palanca

18 AREA DE FISICA 7-4 Momento de torsión  O P
Profesor: Lo que vimos hasta ahora es la magnitud del momento. Tendríamos que preguntarnos si con solo ese datos queda perfectamente determinado. Por ej si digo que estoy aplicando un momento en una puerta de 12N-m, no hace falta nada mas? … Claro, tengo que especificar el sentido del momento. Eso es lo que me dirá si estoy abriendo o cerrando la puerta. En definitiva podemos decir por lo tanto que el momento es una magnitud vectorial, donde podemos ver que la combinación de dos vectores por medio de un producto que nos da como resultado un vector, es la operación matemática del producto vectorial y su sentido se determina como vimos por la regla de la mano derecha. Supongamos tener clic si calculamos el momento por la ecuación clic la magnitud del momento será clic su dirección como ya vimos será perpendicular al plano formado por los dos vectores clic y el sentido, se determina por la regla de la mano derecha clic …. Clic O  P

19 AREA DE FISICA Signo del momento
Se le asigna el signo positivo (+), cuando el momento de la fuerza hace que el cuerpo gire en sentido contrario a las agujas del reloj Se le asigna signo negativo (-), cuando el momento de la fuerza hace girar al cuerpo en sentido horario. O O clic A efectos de realizar operaciones con momentos que se aplican a un cuerpo por la acción de varias fuerza, se ha tomado por convención darle signo al momento de acuerdo al sentido de rotación que provoque, así: clic y clic para el sentido horario

20 Momento de fuerzas concurrentes
AREA DE FISICA Momento de fuerzas concurrentes Profesor: veamos ahora el caso de tener dos o mas fuerzas concurrentes actuando en un cuerpo clic y supongamos que tanto el vector r clic como las fuerzas F clic , están contenidos en el plano. Podemos descomponer las fuerzas en una componente según una dirección radial clic y otra según una dirección tangencial. clic Se puede ver claramente que nuevamente solo las componentes tangenciales influyen en la rotación del cuerpo y como ya vimos, podemos escribir el momento como de cada fuerza como clic …. clic . El momento de rotación total es la suma de los momentos individuales, es decir, al igual que en la traslación, en la rotación también se cumple la superposición de efectos clic . Reemplazando, el momento de la fuerza uno, considerando para donde hace girar el cuerpo, es clic . Y el momento de la fuerza 2 será clic . P O

21 Momento de fuerzas concurrentes
AREA DE FISICA Momento de fuerzas concurrentes Profesor: Si ahora calculamos la resultante de las fuerzas, tendremos clic …. clic . Donde vemos que aquí la componente radial de la resultante tampoco, como era de esperarse, produce momento, clic . Es decir que el momento de la resultante será clic .Reemplazando Rt por lo que vale clic aplicando distributiva tenemos clic donde clic y clic concluyendo en general que clic VIENDO CLARAMENTE QUE CONOCIENDO EL PUNTO DE APLICACIÓN DE LA RESULTANTE, ESTO SE CUMPLE TAMBIÉN PARA FUERZAS QUE NO SEAN CONCURRENTES P O El momento de la resultante de dos o mas fuerzas concurrentes a un punto contenido en un plano de las mismas, es igual a la suma de los momentos de las fuerzas concurrentes, con respecto al mismo punto”.

22 Momento de fuerzas no concurrentes
AREA DE FISICA Momento de fuerzas no concurrentes Supongamos tener un cuerpo que puede girar respecto a un eje o perpendicular al plano clic. Si sobre este actúan las fuerzas clic a las distancias clic de o formando ángulos con las fuerzas de clic ,como ya dijimos, en el caso de que las fuerzas no sean concurrentes, no siempre es sencillo determinar el punto de aplicación de la resultante pero de todas formas se cumple que el momento total aplicado es la suma de los momentos de cada una de las fuerzas actuando simultáneamente. Es decir para F1 clic para F2 clic para .. clic … clic . El momento total lo podemos escribir clic y de manera mas general clic O

23 Sentido de las manecillas del reloj
AREA DE FISICA Ejemplo Encuentre el momento de torsión resultante en torno al eje A para la barra que se muestra abajo: 300 6 m 2 m 4 m 20 N 30 N 40 N A El momento de torsión resultante es la suma de los momentos de torsión individuales. Leer el problema y después clic desarrollarlo en el pizarrón y cuando tengan los momentos individuales clic hacer la operación algebraica y clic … clic tR = t20 + t30 + t40 = -40 N m -120 N m + 80 N m tR = - 80 N m Sentido de las manecillas del reloj

24 AREA DE FISICA 7-5 Momento de torsión y aceleración angular de un cuerpo rígido respecto de un eje fijo Profesor: m O

25 AREA DE FISICA 7-5 Momento de torsión y aceleración angular de un cuerpo rígido respecto de un eje fijo Eje z r dm VER BIEN QUE HAY OTRA FORMA DE LLEGAR A PARTIR DE tau= d(L)/dt = d(I.w)/dt = I.dw/dt= I. alfa

26 AREA DE FISICA Dos bloques, como muestra la figura, están conectados por una cuerda de masa despreciable que pasa por una polea de radio 0,25m y un momento de inercia I. El bloque sobre el plano inclinado sin fricción esta subiendo con una aceleración constante . Determinar las tensiones de las dos partes de la cuerda y el momento de inercia de la polea

27 AREA DE FISICA

28 AREA DE FISICA a

29 𝐹 𝜑 𝑑𝑊= 𝐹 .𝑑 𝑠 𝑑𝑊=𝐹.𝑑𝑠.𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑃 𝑑𝑠=𝑟.𝑑𝜃 𝑑𝑊=𝐹.𝑠𝑒𝑛𝜑.𝑟.𝑑 𝑑 𝑠 𝑃 𝜏 𝑑𝜃
AREA DE FISICA 7-6 Trabajo y Energía Cinética en movimiento de rotación 𝐹 𝑑𝑊= 𝐹 .𝑑 𝑠 𝜑 𝑑𝑊=𝐹.𝑑𝑠.𝑠𝑒𝑛𝜑 Profesor: 𝑃 𝑑𝑠=𝑟.𝑑𝜃 𝑑𝑊=𝐹.𝑠𝑒𝑛𝜑.𝑟.𝑑 𝑑 𝑠 𝑃 𝜏 𝑑𝑊=𝜏.𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑟 Ecuación del Trabajo de una fuerza en una rotación infinitesimal 𝑂

30 7-6 Trabajo y Energía Cinética en movimiento de rotación
AREA DE FISICA 7-6 Trabajo y Energía Cinética en movimiento de rotación Ya vimos que: 𝐹 𝜑 𝜏=𝐼∙ 𝑑𝜔 𝑑𝑡 =𝐼∙ 𝑑𝜔 𝑑𝜃 ∙ 𝑑𝜃 𝑑𝑡 =𝐼∙ 𝑑𝜔 𝑑𝜃 ∙𝜔 Profesor: 𝑑 𝑠 𝜏.𝑑𝜃=𝐼∙𝜔.𝑑𝜔 𝑃 Reordenando: =𝑑𝑊 = 1 2 𝐼∙ 𝜔 2 𝑑𝜃 𝑊= 𝜔 𝑖 𝜔 𝑓 𝐼∙𝜔.𝑑𝜔 𝑟 𝑊= ∙𝐼∙ 𝜔 𝑓 2 − ∙𝐼∙ 𝜔 𝑓 2 𝑂 Teorema del Trabajo y la Energía Cinética para la rotación

31 AREA DE FISICA 7-7 Energía cinética de rotación y traslación de un objeto rígido Ya vimos: Los cuerpos pueden tener movimiento de traslación Los cuerpos pueden tener movimiento de rotación

32 AREA DE FISICA 7-7 Energía cinética de rotación y traslación de un objeto rígido Pero generalmente: Los cuerpos tienen movimiento de traslación y rotación simultáneamente Un caso interesante es el movimiento con “rodadura sin deslizamiento”

33 AREA DE FISICA 7-7 Energía cinética de rotación y traslación de un objeto rígido Un caso interesante es el movimiento con “rodadura sin deslizamiento” La velocidad en cada punto, se obtiene con la suma de los dos movimientos superpuestos

34 AREA DE FISICA 7-7 Energía cinética de rotación y traslación de un objeto rígido Si rueda sin deslizar En el punto de contacto Por lo tanto: abajo centro arriba

35 AREA DE FISICA 7-7 Energía cinética de rotación y traslación de un objeto rígido Si la velocidad angular es  Y el radio de la rueda es R

36 AREA DE FISICA Energía cinética de rotación y traslación Ya vimos que

37 AREA DE FISICA Energía cinética de rotación y traslación
De esta manera, la Energía Cinética es: Donde I es el momento de inercia de un disco que gira alrededor de un eje que pasa por su borde

38 AREA DE FISICA Energía cinética de rotación y traslación
Aplicando el Teorema de Steiner (de los ejes paralelos)

39 AREA DE FISICA Energía cinética de rotación y traslación
Aplicando distributiva recordando

40 Esto es aplicable solo a casos de rodamiento sin deslizamiento
AREA DE FISICA Energía cinética de rotación y traslación Esto es aplicable solo a casos de rodamiento sin deslizamiento Recordando la conservación de la Energía Mecánica

41 AREA DE FISICA Energía cinética de rotación y traslación
conservación de la Energía Mecánica para cuerpos que ruedan sin deslizarse.

42 AREA DE FISICA Ejemplo

43 AREA DE FISICA

44 Cantidad de movimiento lineal Cantidad de movimiento angular
AREA DE FISICA 7-8 Cantidad de movimiento angular de una partícula y de un sistema de partículas Cantidad de movimiento lineal Cantidad de movimiento angular Módulo

45 AREA DE FISICA 7-8 Cantidad de movimiento angular de una partícula y de un sistema de partículas Recordando y

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47 AREA DE FISICA Para un sistema de partículas:
A medida que pasa el tiempo El torque asociado a fuerzas internas es cero Profesor:

48 Si el movimiento es circular
AREA DE FISICA 7-9 Cantidad de movimiento angular de un objeto rígido que gira Recordando Si el movimiento es circular

49 Si el movimiento es circular Considerando un cuerpo rígido
AREA DE FISICA Recordando Si el movimiento es circular Considerando un cuerpo rígido

50 Sumando tenemos la cantidad de movimiento angular total del cuerpo
AREA DE FISICA Sumando tenemos la cantidad de movimiento angular total del cuerpo Como =cte Cantidad de movimiento angular para un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje de simetría

51 Si el torque neto es cero
AREA DE FISICA 7-10 Conservación de la cantidad de movimiento angular Recordando Si el torque neto es cero Cuando el torque neto externo que actúa en un sistema es cero, la cantidad de movimiento angular total permanece constante

52 AREA DE FISICA • La conservación de la cantidad de movimiento angular es una ley de conservación universal, válidas en todas las escalas, desde los sistemas atómicos y nucleares , hasta los movimientos de las galaxias

53 AREA DE FISICA Una persona se para en el centro de una mesa giratoria con los brazos extendidos horizontalmente y una pesa de 5Kg en cada mano. Se lo pone a girar sobre un eje vertical a razón de 2rev/s. Calcular la nueva velocidad angular de la persona si se lleva las pesas al pecho. Su momento de inercia (sin las pesas) es de 3Kg.m2 con los brazos estirados y baja a 2,2Kg.m2 si pone las manos en el pecho. Las pesas están a 1m del eje al principio y a 0,20m al final; trátelas como partículas

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