TEOREMA DE ROlLE.

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1 TEOREMA DE ROlLE

2 TEOREMA DE ROlLE Sea 𝑓(𝑥) una función continua en un intervalo cerrado [ 𝑎 , 𝑏 ] y diferenciable en el intervalo abierto ( 𝑎 , 𝑏 ) , si se cumple que 𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏), entonces existe un numero 𝐶 que pertenece al intervalo ( 𝑎, 𝑏) para el cual la primera derivada evaluada en 𝐶 se hace cero

3 TEOREMA DE ROlLE Sea 𝑓(𝑥) una función continua en [ 𝑎, 𝑏 ] y diferenciable en ( 𝑎 , 𝑏 ) , si 𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏), entonces existe 𝐶∈ 𝑎,𝑏 𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒 𝑓 / 𝐶 =0

4 𝒇 / 𝑪 =𝟎 𝒇(𝒙) 𝒇(𝒂) 𝒇(𝒃) 𝒂 𝒃 𝑪

5 ejemplo 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −5𝑥+4 ; 0,5 Del intervalo se tiene 𝑎=0 ; 𝑏=5
Muestre que se cumple el teorema de Rolle, para la siguiente función en el intervalo dado 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −5𝑥+4 ; 0,5 Del intervalo se tiene 𝑎=0 ; 𝑏=5 Evaluando la función en a y en b

6 𝑓 𝑎 =𝑓 0 =0−5 0 +4=4 𝑓 𝑏 =𝑓 5 = 5 2 −5 5 +4=25−25+4=4 Vemos que se cumple 𝑓 𝑎 =𝑓 𝑏 Debe existir un C∈ 0,5 , 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓 / 𝐶 =0 bu𝑠𝑎𝑐𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑓 𝑥

7 𝑓 / 𝑥 =2𝑥−5 como 𝑓 / 𝐶 =0 2C−5=0 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐶= 5 2 5 2 ∈(0,5)

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9 Es hora de practicar lo visto

10 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 𝑥 2 ; 0,1 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 −4 𝑥 2 ; −2,0 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 +𝑥 ; −1,1
PRACTIQUEMOS LO VISTO Verificar si se cumple el teorema de Rolle, para cada uno de los siguientes casos 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 𝑥 2 ; 0,1 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 −4 𝑥 2 ; −2,0 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 +𝑥 ; −1,1 Imagen tomada de internet con fines didácticos

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Imagen tomada de internet con fines didácticos