INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES RECTANGULARES

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1 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES RECTANGULARES

2 Sea la superficie 𝑧=𝑓 𝑥,𝑦 continua sobre una región rectangular 𝐷 de su dominio definida por D= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 / 𝑎 ≤𝑥 ≤𝑏 ; 𝑐 ≤𝑦 ≤𝑑 con 𝒇 𝒙,𝒚 ≥𝟎,∀(𝒙,𝒚)∈𝑫 𝒂 𝒃 𝒄 𝒅 𝒛=𝒇(𝒙,𝒚)

3 Se pretende encontrar el volumen del solido formado bajo la superficie y sobre la región rectangular D 𝒂 𝒃 𝒄 𝒅 𝒛=𝒇(𝒙,𝒚) 𝑺𝑼𝑷𝑬𝑹𝑭𝑰𝑪𝑰𝑬 𝑹𝑬𝑮𝑰𝑶𝑵 𝑫𝑬 𝑰𝑵𝑻𝑬𝑮𝑹𝑨𝑪𝑰𝑶𝑵

4 Para determinar una aproximación del volumen del solido, dividimos la región de integración ( D ) , en 𝑛×𝑚 subregiones =∆ 𝒙 𝒊 ∆ 𝒚 𝒋

5 Sobre cada subregión, construimos una columna hasta la superficie

6 La altura de cada columna esta determinada por la superficie
ℎ=𝑓( 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑗 )

7 El volumen de cada columna, viene dada por la expresión
𝑽 𝒊𝒋 = 𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒃𝒂𝒔𝒆 ∗𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝑽 𝒊𝒋 =𝒇( 𝒙 𝒊 , 𝒚 𝒋 )∆ 𝑨 𝒊𝒋

8 Dibujamos las columnas sobre cada subregión, hasta completar toda la región D.

9 Dibujamos las columnas sobre cada subregión, hasta completar toda la región D.

10 El Volumen del solido es aproximadamente igual, a la suma de los volúmenes de todas las columnas construidas sobre la región rectangular 𝑉≈ 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑚 𝑓 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑗 ∆ 𝐴 𝑖𝑗 Si el numero de subdivisiones tiende al infinito, entonces ∆ 𝑥 𝑖 →0 ; ∆ 𝑦 𝑗 →0 con lo que ∆ 𝐴 𝑖𝑗 →0

11 𝑉= 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑉= lim ∆ 𝐴 𝑖𝑗 →0 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑚 𝑓 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑗 ∆ 𝐴 𝑖𝑗
El limite anterior denota la integral doble definida 𝑉= 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥

12 LIMITES DE LA VARIABLE MAS EXTERNA
Se debe tener cuidado con a ubicación de los limites de integración 𝑉= 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 LIMITES DE LA VARIABLE MAS EXTERNA

13 LIMITES DE LA VARIABLE MAS INTERNA
Se debe tener cuidado con a ubicación de los limites de integración 𝑉= 𝑎 𝑏 𝒄 𝒅 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝒚𝑑𝑥 LIMITES DE LA VARIABLE MAS INTERNA

14 Plantear la integral de 𝑓 𝑥,𝑦 =3𝑥 𝑒 2𝑦 +2𝑥 sobre la región rectangular definida por
𝑅= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 −1≤𝑥≤3 , −1≤𝑦≤2

15 Área de integración

16 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = −1 3 −1 2 3𝑥 𝑒 2𝑦 +2𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥

17 Cuando se evalúa una integral doble, evaluamos primero la integral mas interna, es decir cuando la variable de integración es y. 𝑉= 𝑎 𝑏 𝒄 𝒅 𝒇 𝒙,𝒚 𝒅𝒚 𝑑𝑥 Al evaluar la integral con respecto a 𝑦, se considera a 𝑥 como una constante Luego, el resultado obtenido en la primera integral , lo integramos con respecto a la variable 𝑥.

18 TEOREMA DE FUBINI 𝑎 𝑏 𝒄 𝒅 𝒇 𝒙,𝒚 𝒅𝒚 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑑 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙,𝒚 𝒅𝒙 𝑑𝑦
En las integrales de varias variables , se cumple que 𝑎 𝑏 𝒄 𝒅 𝒇 𝒙,𝒚 𝒅𝒚 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑑 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙,𝒚 𝒅𝒙 𝑑𝑦 TEOREMA DE FUBINI

19 1) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑲𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 =𝑲 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥
Las integrales dobles, cumplen las mismas propiedades que las integrales definidas en una sola variable 1) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑲𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 =𝑲 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 2) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 (𝑓+𝑔)(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 + 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑔 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑆𝑖 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥,𝑦 ≤𝑔 𝑥,𝑦 ∀ 𝑥,𝑦 ∈𝐷 entonces 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 ≤ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑔 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥

20 4) 𝑆𝑖 𝑓 𝑥,𝑦 ≥0,∀ 𝑥,𝑦 ∈𝐷, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 ≥0
Las integrales dobles, cumplen las mismas propiedades que las integrales definidas en una sola variable 4) 𝑆𝑖 𝑓 𝑥,𝑦 ≥0,∀ 𝑥,𝑦 ∈𝐷, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 ≥0 𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑏𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝐷= 𝐷 1 + 𝐷 2 𝐷 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝐷 1 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 + 𝐷 2 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥

21 𝑓 𝑥,𝑦 =2 𝑥 2 +4𝑥𝑦 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 0≤𝑥≤1 ;0≤𝑦≤2 Por ejemplo
Evaluar 𝐷 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 si 𝑓 𝑥,𝑦 =2 𝑥 2 +4𝑥𝑦 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 0≤𝑥≤1 ;0≤𝑦≤2 Nos piden que evaluemos la integral de la forma 2 𝑥 2 +4𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 Limites de integración de la variable x

22 𝑓 𝑥,𝑦 =2 𝑥 2 +4𝑥𝑦 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 𝟎≤𝒙≤𝟏 ;0≤𝑦≤2 Por ejemplo
Evaluar 𝐷 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 si 𝑓 𝑥,𝑦 =2 𝑥 2 +4𝑥𝑦 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 𝟎≤𝒙≤𝟏 ;0≤𝑦≤2 𝑥 2 +4𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 Limites de integración de la variable y

23 𝑓 𝑥,𝑦 =2 𝑥 2 +4𝑥𝑦 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 0≤𝑥≤1 ;𝟎≤𝒚≤𝟐 Por ejemplo
Evaluar 𝐷 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 si 𝑓 𝑥,𝑦 =2 𝑥 2 +4𝑥𝑦 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 0≤𝑥≤1 ;𝟎≤𝒚≤𝟐 𝑥 2 +4𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 INTEGRAL A EVALUAR

24 0 1 0 2 2 𝑥 2 +4𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0 1 0 2 2 𝑥 2 𝑑𝑦𝑑𝑥 + 0 1 0 2 4𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥
Aplicando las propiedades de las integrales dobles 𝑥 2 +4𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 Evaluamos la integral con respecto a y = 𝟐 𝒙 𝟐 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝒙𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 1 𝟐 𝒙 𝟐 0 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝒙 0 2 4𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 1 𝟐 𝒙 𝟐 𝑦 𝑑𝑥 𝒙 2 𝑦 𝑑𝑥 = 0 1 𝟐 𝒙 𝟐 2−0 𝑑𝑥 𝒙 2∗ 2 2 −0 𝑑𝑥

25 Aplicando las propiedades de las integrales dobles
= 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑥 Ahora evaluamos la integral con respecto a x = 𝑥 𝑥 = −0 +4( 1 2 −0)

26 Aplicando las propiedades de las integrales dobles
= = = 16 3 𝑥 2 +4𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 16 3

27 Por ejemplo Evaluar 𝐷 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 si 𝑎) 𝑓 𝑥,𝑦 =12 𝑥 2 𝑦 3 +6𝑥 𝑦 2
𝑎) 𝑓 𝑥,𝑦 =12 𝑥 2 𝑦 3 +6𝑥 𝑦 2 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 −2≤𝑥≤2 ;1≤𝑦≤3 𝑏) 𝑓 𝑥,𝑦 =12 𝑥 2 𝑒 3𝑥𝑦 +6 𝑥 2 𝑒 2𝑦 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 0≤𝑥≤2 ;0≤𝑦≤3 𝑐) 𝑓 𝑥,𝑦 =12𝑥𝑆𝑒𝑛(2𝑦+𝑥)+6𝑥 𝑦 2 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 0≤𝑥≤ 𝜋 2 ;0≤𝑦≤ 𝜋 4

28 𝑓 𝑥,𝑦 = 4 2𝑥+4𝑦 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 0≤𝑥≤2 ;1≤𝑦≤2 Por ejemplo
Evaluar 𝐷 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 si 𝑓 𝑥,𝑦 = 4 2𝑥+4𝑦 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 0≤𝑥≤2 ;1≤𝑦≤2 𝑥+4𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥

29 Integramos primero con respecto a y, para ellos aplicamos el método de sustitución
𝑆𝑒𝑎 𝑈=2𝑥+4𝑦 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑈=4𝑑𝑦 Cambio de limites de integración para y 𝑆𝑖 𝑦=1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑈=2𝑥+4 𝑆𝑖 𝑦=2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑈=2𝑥+8 𝑥+4𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑥+4 2𝑥+8 𝑑𝑈 𝑈 𝑑𝑥

30 = 0 2 𝐿𝑛(𝑈) 2𝑥+4 2𝑥+8 𝑑𝑥 = 0 2 𝐿𝑛(2𝑥+8 −𝐿𝑛(2𝑥+4)) 𝑑𝑥
= 𝐿𝑛(𝑈) 2𝑥+4 2𝑥+8 𝑑𝑥 = 0 2 𝐿𝑛(2𝑥+8 −𝐿𝑛(2𝑥+4)) 𝑑𝑥 = 0 2 𝐿𝑛(2𝑥+8)𝑑𝑥− 0 2 𝐿𝑛(2𝑥+4) 𝑑𝑥 Aplicando integración por partes

31 0 2 𝐿𝑛(2𝑥+8)𝑑𝑥 𝑈=𝐿𝑛 2𝑥+8 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑈= 2𝑑𝑥 2𝑥+8 𝑑𝑉=𝑑𝑥 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑉 =𝑥 0 2 𝐿𝑛(2𝑥+8)𝑑𝑥 =𝑈𝑉− 𝑉𝑑𝑈 0 2 𝐿𝑛(2𝑥+8)𝑑𝑥 =𝑥𝐿𝑛 2𝑥+8 − 2𝑥𝑑𝑥 2𝑥+8

32 0 2 𝐿𝑛(2𝑥+8)𝑑𝑥 =𝑥𝐿𝑛 2𝑥+8 − (2𝑥+8−8)𝑑𝑥 2𝑥+8
=𝑥𝐿𝑛 2𝑥+8 − 2𝑥+8 2𝑥+8 − 8 2𝑥+8 𝑑𝑥 =𝑥𝐿𝑛 2𝑥+8 − 1− 8 2𝑥+8 𝑑𝑥 =𝑥𝐿𝑛 2𝑥+8 − 𝑑𝑥 𝑥+8 𝑑𝑥

33 = 𝑥𝐿𝑛 2𝑥+8 −𝑥+4𝐿𝑛(2𝑥+8) 0 2 =2𝐿𝑛 4+8 −2+4𝐿𝑛(4+8) =6𝐿𝑛 12 −2 0 2 𝐿𝑛(2𝑥+8)𝑑𝑥 =6𝐿𝑛 12 −2

34 0 2 𝐿𝑛 2𝑥+4 𝑑𝑥= 𝑥𝐿𝑛 2𝑥+4 −𝑥+2𝐿𝑛(2𝑥+4) 0 2 0 2 𝐿𝑛 2𝑥+4 𝑑𝑥=4𝐿𝑛 8 −2
Aplicando u procedimiento similar al empleado para calcular la integral anterior, se tiene que 0 2 𝐿𝑛 2𝑥+4 𝑑𝑥= 𝑥𝐿𝑛 2𝑥+4 −𝑥+2𝐿𝑛(2𝑥+4) 0 2 0 2 𝐿𝑛 2𝑥+4 𝑑𝑥=4𝐿𝑛 8 −2 Luego

35 𝑥+4𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 6𝐿𝑛12−2 − 4𝐿𝑛8−2 𝑥+4𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 6𝐿𝑛12−4𝐿𝑛8

36 Por ejemplo Evaluar 𝐷 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 si 𝑎) 𝑓 𝑥,𝑦 = 3𝑥+2𝑦
𝑎) 𝑓 𝑥,𝑦 = 3𝑥+2𝑦 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 1≤𝑥≤2 ;0≤𝑦≤2 𝑏) 𝑓 𝑥,𝑦 =𝑆𝑒𝑛(2𝑥+𝑦) 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 0≤𝑥≤ 𝜋 4 ;0≤𝑦≤ 𝜋 2 𝑐) 𝑓 𝑥,𝑦 = 4𝑥+2𝑦 3 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 −1≤𝑥≤1 ;0≤𝑦≤1

37 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑎 𝑏 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑐 𝑑 ℎ 𝑦 𝑑𝑦
Si la función 𝑓(𝑥,𝑦) se puede factorizar o expresar como el producto de dos funciones de la forma 𝑓 𝑥,𝑦 =𝑔 𝑥 ℎ 𝑦 La integral se puede calcular como 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑎 𝑏 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑐 𝑑 ℎ 𝑦 𝑑𝑦

38 Por ejemplo 1 2 0 2 4𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 = 1 2 4𝑥𝑑𝑥 0 2 𝑦𝑑𝑦 = 2 𝑥 2 1 2 𝑦 2 2 0 2
𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑥𝑑𝑥 𝑦𝑑𝑦 = 2 𝑥 𝑦 = 2∗ 2 2 −2∗ = 8−2 2 =12

39 Por ejemplo 1 2 −1 2 𝑒 2𝑥+3𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 1 2 −1 2 𝑒 2𝑥 𝑒 3𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥
1 2 −1 2 𝑒 2𝑥+3𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 1 2 −1 2 𝑒 2𝑥 𝑒 3𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 −1 2 𝑒 3𝑦 𝑑𝑦 = 𝑒 2𝑥 𝑒 3𝑦 −1 = 𝑒 4 − 𝑒 𝑒 6 − 𝑒 −3 3

40 e) 0 𝜋 0 𝜋 𝑆𝑒𝑛 2 (2𝑥) 𝐶𝑜𝑠 2 (3𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
Evaluar las siguientes integrales a) 𝑥𝑒 2𝑥+3𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 b) 𝑥𝑒 2 𝑥 2 +4𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 c) 𝑥 𝑥+1 𝑑𝑦𝑑𝑥 d) 𝑥𝑦−4𝑥+3𝑦−2 𝑑𝑦𝑑𝑥 e) 0 𝜋 0 𝜋 𝑆𝑒𝑛 2 (2𝑥) 𝐶𝑜𝑠 2 (3𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥

41 Cuando las regiones no son rectangulares, se presentan dos casos
1. Cuando la región de integración esta definida por 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 / 𝑎≤𝑥≤𝑏 ;ℎ 𝑥 ≤𝑦 ≤𝑔(𝑥) La integral es de la forma 𝒈(𝒙) 𝑎 𝑏 ℎ(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑹𝒆𝒈𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒉(𝒙) 𝒂 𝒃

42 La integral es de la forma
2. Cuando la región de integración esta definida por 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 / ℎ(𝑦)≤𝑥≤𝑔(𝑦) ;𝑐≤𝑦 ≤𝑑 La integral es de la forma 𝒃 𝑹𝒆𝒈𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑐 𝑑 ℎ(𝑦) 𝑔(𝑦) 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝒈(𝒚) 𝒉(𝒚) 𝒄

43 Parábola Recta Por ejemplo Evaluar 𝐷 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 si 𝑓 𝑥,𝑦 =2 𝑥 2 𝑦
𝐷 la región comprendida entre las curvas 𝑓 𝑥 =4− 𝑥 ; 𝑔 𝑥 =𝑥+1 𝐿𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑓𝑖𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑓 𝑥 =4− 𝑥 ; 𝑔 𝑥 =𝑥+1 Parábola Recta

44 Del grafico podemos observar que
𝒇(𝒙) −𝟐,𝟑 ≤𝒙 ≤𝟏.𝟑 𝒙+𝟏 ≤𝒚 ≤𝟒− 𝒙 𝟐 𝒈(𝒙) La integral queda −𝟐,𝟑 𝟏,𝟑 𝒙+𝟏 𝟒− 𝒙 𝟐 (𝟐 𝒙 𝟐 𝒚)𝒅𝒚𝒅𝒙

45 −𝟐,𝟑 𝟏,𝟑 𝒙+𝟏 𝟒− 𝒙 𝟐 (𝟐 𝒙 𝟐 𝒚)𝒅𝒚𝒅𝒙 = −𝟐,𝟑 𝟏,𝟑 𝒙+𝟏 𝟒− 𝒙 𝟐 (𝟐 𝒙 𝟐 𝒚)𝒅𝒚 𝒅𝒙
= −𝟐,𝟑 𝟏,𝟑 𝒙 𝟐 𝒙+𝟏 𝟒− 𝒙 𝟐 (𝟐𝒚)𝒅𝒚 𝒅𝒙 = −𝟐,𝟑 𝟏,𝟑 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝟒− 𝒙 𝟐 𝒙+𝟏 𝒅𝒙 = −𝟐,𝟑 𝟏,𝟑 𝒙 𝟐 𝟒− 𝒙 𝟐 𝟐 − 𝒙+𝟏 𝟐 𝒅𝒙

46 = −𝟐,𝟑 𝟏,𝟑 𝒙 𝟐 𝟏𝟔−𝟖 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟒 − 𝒙 𝟐 −𝟐𝒙−𝟏 𝒅𝒙 = −𝟐,𝟑 𝟏,𝟑 𝒙 𝟐 𝟏𝟓−𝟗 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟒 −𝟐𝒙 𝒅𝒙 = −𝟐,𝟑 𝟏,𝟑 𝟏𝟓 𝒙 𝟐 −𝟖 𝒙 𝟒 + 𝒙 𝟔 −𝟐 𝒙 𝟑 𝒅𝒙

47 = 5 𝑥 3 − 8 5 𝑥 5 + 𝑥 7 7 − 𝑥 − = 5 (1.3) 3 − , , − 1, − 5 (−2.3) 3 − −2, (−2,3) 7 7 − (−2,3) 4 2 −𝟐,𝟑 𝟏,𝟑 𝒙+𝟏 𝟒− 𝒙 𝟐 (𝟐 𝒙 𝟐 𝒚)𝒅𝒚𝒅𝒙 =16,

48 𝑓 𝑥,𝑦 =4𝑥+2𝑦 Evaluar la integral 𝑓(𝑥)≤3𝑥+6 𝑔 𝑥 ≤3 ℎ 𝑥 ≥ 𝑥 2 +2𝑥
𝐷 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 Evaluar la integral 𝑓 𝑥,𝑦 =4𝑥+2𝑦 Donde D es la región del plano definida por 𝑓(𝑥)≤3𝑥+6 𝑔 𝑥 ≤3 ℎ 𝑥 ≥ 𝑥 2 +2𝑥 Lo primero que debemos hacer es visualizar la región de integración, para ello hacemos 𝑓 𝑥 =3𝑥+6 𝑔 𝑥 =3 ℎ 𝑥 = 𝑥 2 +2𝑥 Recta creciente Recta paralela al eje x Parábola

49

50 𝑨 𝟐 𝑨 𝟏

51 𝒚=𝟑 𝒚=𝟑𝒙+𝟔 𝑨 𝟐 𝑨 𝟏 𝒚= 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙

52 𝒚=𝟑 𝒚=𝟑𝒙+𝟔 𝑨 𝟐 𝑨 𝟏 −𝟐 −𝟏 𝟏 𝒚= 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙 −𝟐 −𝟏 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙 𝟑𝒙+𝟔 𝟒𝒙+𝟐𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙 −𝟏 𝟏 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙 𝟑 𝟒𝒙+𝟐𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙

53 −𝟐 −𝟏 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙 𝟑𝒙+𝟔 𝟒𝒙+𝟐𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙 = −2 −1 4𝑥𝑦+ 𝑦 2 𝑥 2 +2𝑥 3𝑥+6 𝑑𝑥 = −2 −1 4𝑥 3𝑥+6 + (3𝑥+6) 2 − 4𝑥 𝑥 2 +2𝑥 + 𝑥 2 +2𝑥 2 𝑑𝑥 = −2 − 𝑥 2 +60𝑥+36 − 𝑥 4 +8 𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥

54 = −2 −1 9 𝑥 2 +60𝑥+36−8 𝑥 3 − 𝑥 4 𝑑𝑥 = 3 𝑥 𝑥 2 +36𝑥−2 𝑥 4 − 𝑥 −2 −1 = −10,8 − −1,6 =−9,2

55 = −1 1 4𝑥𝑦+ 𝑦 2 𝑥 2 +2𝑥 3 𝑑𝑥 = −1 1 12 𝑥 2 +9 − 𝑥 4 +8 𝑥 3 +12 𝑥 2 𝑑𝑥
−𝟏 𝟏 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙 𝟑 𝟒𝒙+𝟐𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙 = − 𝑥𝑦+ 𝑦 2 𝑥 2 +2𝑥 3 𝑑𝑥 = − 𝑥 3 + (3) 2 − 4𝑥 𝑥 2 +2𝑥 + 𝑥 2 +2𝑥 2 𝑑𝑥 = − 𝑥 2 +9 − 𝑥 4 +8 𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥

56 = −1 1 9−8 𝑥 3 − 𝑥 4 𝑑𝑥 = 9−2 𝑥 4 − 𝑥 −1 1 = 6,8 − 7,2 =−0,4 𝐷 4𝑥+2𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥=−9,2−0,4=−9,6

57 0 2 0 4− 𝑥 2 𝑥 𝑒 𝑦 4−𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 0 2 𝑥 0 4− 𝑥 2 𝑒 𝑦 4−𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
Evaluar la integral − 𝑥 2 𝑥 𝑒 𝑦 4−𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 Si intentamos resolver la integral directamente, 0 2 𝑥 0 4− 𝑥 2 𝑒 𝑦 4−𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Vemos que la integral con respecto a y, es muy compleja de resolver, para simplificar los cálculos hacemos un intercambio de diferenciales,

58 Dibujamos la región de integración
𝟒 Trabajamos con los limites de integración 𝒚=𝟒− 𝒙 𝟐 𝒙= 𝟒−𝒚 𝟎≤𝒙≤ 𝟒−𝒚 𝟎≤𝒚≤𝟒 Desarrollamos la integral en la forma 𝟐

59 0 4 0 4−𝑦 𝑥 𝑒 𝑦 4−𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦= 0 4 𝑒 𝑦 4−𝑦 0 4−𝑦 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑦
= 𝑒 𝑦 4−𝑦 𝑥 −𝑦 𝑑𝑦 = 𝑒 𝑦 4−𝑦 −𝑦 2 𝑑𝑦

60 = 𝑒 𝑦 4−𝑦 4−𝑦 𝑑𝑦 = 0 4 𝑒 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑒 𝑦 0 4 = 𝑒 4 −1