Algoritmo de eliminacion gaussiana con pivoteo escalado de columna

Presentación del tema: "Algoritmo de eliminacion gaussiana con pivoteo escalado de columna"— Transcripción de la presentación:

1 Algoritmo de eliminacion gaussiana con pivoteo escalado de columna

2 Tambien llamado pivoteo parcial escalado o pivoteo de columna a escala es el adecuado para el sistema de ilustracion. Colocal en la posicion de pivote el eleento mas grande en relacion con los elementos de su renglon. El primer paso del procedimiento consiste en definir para cada renglon, un factor de escala 𝑠 𝑖 = max 1≤𝑗≤𝑛 | 𝑎 𝑖𝑗 | ⁡

3 Si tenemos 𝑠 𝑖 =0 para alguna i, entonces el sistema no tiene una solucion unica por que todos los elementos de i-ésimo renglon son cero. Suponiendo que no sea asi, el intercambio adecuado de renglones para poner ceros en la primera columna se determina seleccionando el menor entero p con | 𝑎 𝑝1 | 𝑠 𝑝 = max 1≤𝑘≤𝑛 | 𝑎 𝑘1 | 𝑠 𝑘

4 Y realizando 𝐸 1 ↔ 𝐸 𝑝 . El cambio de escala garantiza que el mayor elemento de cada renglon tenga una magnitud relativa de 1 antes de realizar la comparacion para el intercambio de renglones. De manera analoga, antes de eliminar la variable 𝑥 𝑖 mediante las operaciones: 𝐸 𝑘 − 𝑚 𝑘𝑖 𝐸 𝑖 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘=𝑖+1,…, 𝑛

5 Elegimos el menor entero p≥𝑖 con | 𝑎 𝑝𝑖 | 𝑠 𝑝 = max 𝑖≤𝑘≤𝑛 | 𝑎 𝑘𝑖 | 𝑠 𝑘 Y realizamos el intercambio de renglones 𝐸 𝑖 ↔ 𝐸 𝑝 si i≠𝑝. Los factores del cambio de escala 𝑠 1 ,…, 𝑠 𝑛 se calculan solo una vez, al inicio del procedimiento. Dependen de los renglones asi que tambien deben intercambiarse al realizar los intercambios de renglones.

6 Al aplicar el pivoteo parcial a escala a la ilustracion anterior, obtenemos 𝑠 1 = max , = Y 𝑠 1 = max , −6.130 =6.130 En consecuencia | 𝑎 11 | 𝑠 1 = = 𝑥 1 0 −4 ,

7 | 𝑎 21 | 𝑠 2 = = Y se lleva a cabo el intercambio 𝐸 1 ↔ 𝐸 2 Al aplicar la eliminacion gaussiana al nuevo sistema 𝑥 1 −6.130 𝑥 2 = 𝑥 𝑥 2 = Obtenemos los resultados correctos 𝑥 1 =10.00 𝑦 𝑥 2 =1.000