Descargar la presentaciΓ³n
La descarga estΓ‘ en progreso. Por favor, espere
1
DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTALES
MAGISTER: DANIEL SAENZ CONTRERAS CANDIDATO A DOCTOR EN EDUCACION
2
DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMΓTRICAS
DERIVADA DE LA FUNCIΓN SENO Sea la funciΓ³n Seno definida por π π =πΊππ(π), como la funciΓ³n seno es una funciΓ³n continua se tiene ππ ππ₯ = lim βπ₯β0 πππ π₯+βπ₯ βπππ(π₯) βπ₯ Por identidades trigonomΓ©tricas ππ ππ₯ = lim βπ₯β0 πππ π₯ πΆππ βπ₯ +πΆππ π₯ πππ(βπ₯)βπππ(π₯) βπ₯
3
ππ ππ₯ = lim βπ₯β0 πππ π₯ πΆππ βπ₯ βπππ(π₯) +πΆππ π₯ πππ(βπ₯) βπ₯
Agrupando tΓ©rminos ππ ππ₯ = lim βπ₯β0 πππ π₯ πΆππ βπ₯ βπππ(π₯) +πΆππ π₯ πππ(βπ₯) βπ₯ factorizando ππ ππ₯ = lim βπ₯β0 πππ π₯ πΆππ βπ₯ β1 +πΆππ π₯ πππ(βπ₯) βπ₯ ππ ππ₯ = β lim π₯β0 πππ π₯ πΆππ βπ₯ β1 βπ₯ + πΆππ π₯ πππ(βπ₯) βπ₯
4
La derivada de la funciΓ³n Seno es igual a la funciΓ³n Coseno
Por propiedades de los limites ππ ππ₯ = πππ π₯ lim βπ₯β0 πΆππ βπ₯ β1 βπ₯ +πΆππ π₯ lim βπ₯β0 πππ(βπ₯) βπ₯ Por limites trigonomΓ©tricos ππ ππ₯ =πππ(π₯)(0) +πΆππ π₯ (1) La derivada de la funciΓ³n Seno es igual a la funciΓ³n Coseno ππ ππ₯ =πΆππ π₯
5
π π π π₯ =ππππ, πππππ π ππ πππππππππππππ ππ π₯
Generalizando la derivada π π π π₯ =ππππ, πππππ π ππ πππππππππππππ ππ π₯ La derivada de la funciΓ³n Seno es igual a la funciΓ³n Coseno multiplicada por la derivada del Γ‘ngulo ππ ππ₯ = π / πΆππ π
6
π π π π₯ =πππ(2 π₯ 2 ) π=2 π₯ 2 ππ πππππ π / =4π₯ ππ ππ₯ = π / πΆππ π
Ejemplo π π π π₯ =πππ(2 π₯ 2 ) π=2 π₯ 2 ππ πππππ π / =4π₯ Remplazando en la derivada de la funciΓ³n seno ππ ππ₯ = π / πΆππ π ππ ππ₯ =4π₯πΆππ (2 π₯ 2 )
7
π π π π₯ =πππ(4 π₯ 3 +2 π₯ 2 ) π=4 π₯ 3 +2 π₯ 2 ππ πππππ π / =12 π₯ 2 +4π₯
Ejemplo π π π π₯ =πππ(4 π₯ 3 +2 π₯ 2 ) π=4 π₯ 3 +2 π₯ 2 ππ πππππ π / =12 π₯ 2 +4π₯ Remplazando en la derivada de la funciΓ³n seno ππ ππ₯ = π / πΆππ π ππ ππ₯ =(12 π₯ 2 +4π₯)πΆππ (4 π₯ 3 +2 π₯ 2 )
8
DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMΓTRICAS
DERIVADA DE LA FUNCIΓN COSENO Sea la funciΓ³n Seno definida por π π =πͺππ(π), como la funciΓ³n coseno es una funciΓ³n continua se tiene ππ ππ₯ = lim βπ₯β0 πΆππ π₯+βπ₯ βπΆππ (π₯) βπ₯ Por identidades trigonomΓ©tricas ππ ππ₯ = lim βπ₯β0 πΆππ π₯ πΆππ βπ₯ βπππ π₯ πππ(βπ₯)βπΆππ (π₯) βπ₯
9
ππ ππ₯ = lim βπ₯β0 πΆππ π₯ πΆππ βπ₯ βπΆππ (π₯) βπππ π₯ πππ(βπ₯) βπ₯
Agrupando tΓ©rminos ππ ππ₯ = lim βπ₯β0 πΆππ π₯ πΆππ βπ₯ βπΆππ (π₯) βπππ π₯ πππ(βπ₯) βπ₯ factorizando ππ ππ₯ = lim βπ₯β0 πΆππ π₯ πΆππ βπ₯ β1 βπππ π₯ πππ(βπ₯) βπ₯ ππ ππ₯ = lim βπ₯β0 πΆππ π₯ πΆππ βπ₯ β1 βπ₯ β πππ π₯ πππ(βπ₯) βπ₯
10
La derivada de la funciΓ³n Coseno es igual a menos la funciΓ³n Seno
Por propiedades de los limites ππ ππ₯ = πΆππ π₯ lim βπ₯β0 πΆππ βπ₯ β1 βπ₯ βπππ π₯ lim βπ₯β0 πππ(βπ₯) βπ₯ Por limites trigonomΓ©tricos ππ ππ₯ =πΆππ π₯ 0 βπππ π₯ (1) La derivada de la funciΓ³n Coseno es igual a menos la funciΓ³n Seno ππ ππ₯ =βππππ₯
11
π π π π₯ =πΆππ π, πππππ π ππ πππππππππππππ ππ π₯
Generalizando la derivada π π π π₯ =πΆππ π, πππππ π ππ πππππππππππππ ππ π₯ La derivada de la funciΓ³n Coseno es igual a menos la funciΓ³n Seno multiplicada por la derivada del Γ‘ngulo ππ ππ₯ =β π / ππππ
12
π π π π₯ =πΆππ (4 π₯ 2 +5) π=4 π₯ 2 +5 ππ πππππ π / =8π₯ ππ ππ₯ = βπ / ππππ
Ejemplo π π π π₯ =πΆππ (4 π₯ 2 +5) π=4 π₯ ππ πππππ π / =8π₯ Remplazando en la derivada de la funciΓ³n coseno ππ ππ₯ = βπ / ππππ ππ ππ₯ =β8π₯πππ(4 π₯ 2 +5)
13
π π π π₯ =πΆππ ( π₯ 3 + π₯ 2 ) π= π₯ 3 + π₯ 2 ππ πππππ π / =3 π₯ 2 +2π₯
Ejemplo π π π π₯ =πΆππ ( π₯ 3 + π₯ 2 ) π= π₯ 3 + π₯ 2 ππ πππππ π / =3 π₯ 2 +2π₯ Remplazando en la derivada de la funciΓ³n coseno ππ ππ₯ =β π / ππππ ππ ππ₯ =β 3 π₯ 2 +2π₯ πππ( π₯ 3 + π₯ 2 )
14
ππ ππ₯ = (ππππ) / πΆππ πβ (πΆππ π) / ππππ πΆππ π 2
DERIVADA DE LA FUNCIΓN TANGENTE Sea la funciΓ³n Seno definida por π π =π»ππ(πΌ), como la funciΓ³n tangente se define como el cociente entre la funciΓ³n seno y la funciΓ³n coseno, entonces para deducir su derivada aplicamos la regla del cociente π π₯ = ππππ πΆππ π ππ ππ₯ = (ππππ) / πΆππ πβ (πΆππ π) / ππππ πΆππ π 2
15
ππ ππ₯ = π / πΆππ ππΆππ πβ(β π / ππππ)ππππ πΆππ π 2
ππ ππ₯ = π / πΆππ 2 π+ π / πππ 2 π πΆππ π 2 ππ ππ₯ = π / πΆππ 2 π+ πππ 2 π πΆππ π 2
16
ππ ππ₯ = π / 1 πΆππ π 2 ππ ππ₯ = π / 1 πΆππ π 2 ππ ππ₯ = π / πππ 2 π
ππ ππ₯ = π / πΆππ π 2 ππ ππ₯ = π / 1 πΆππ π 2 La derivada de la funciΓ³n Tangente es igual al cuadrado de la funciΓ³n Secante multiplicada por la derivada del Γ‘ngulo ππ ππ₯ = π / πππ 2 π
17
π π₯ =πΆππ‘π π π₯ =ππππ π π₯ =πΆπ ππ ππ ππ₯ =β π / πΆπ π 2 π
Siguiendo procedimientos similares a los aplicados para determinar la derivada de la tangente, se obtiene las expresiones de las derivadas de las restantes funciones trigonomΓ©tricas FunciΓ³n Derivada π π₯ =πΆππ‘π ππ ππ₯ =β π / πΆπ π 2 π π π₯ =ππππ ππ ππ₯ = π / ππππππππ π π₯ =πΆπ ππ ππ ππ₯ =β π / πΆπ πππΆππ‘π
18
π π₯+βπ₯ = π π₯+βπ₯ π π₯+βπ₯ βπ π₯ = π π₯+βπ₯ β π π₯
Derivada de la funciΓ³n exponencial Sea π π₯ = π π₯ π π₯+βπ₯ = π π₯+βπ₯ π π₯+βπ₯ βπ π₯ = π π₯+βπ₯ β π π₯ π π₯+βπ₯ βπ π₯ = π π₯ π βπ₯ β π π₯ π π₯+βπ₯ βπ π₯ = π π₯ (π βπ₯ β1)
19
π π₯+βπ₯ βπ π₯ βπ₯ = π π₯ (π βπ₯ β1) βπ₯
lim βπ₯β0 π π₯+βπ₯ βπ π₯ βπ₯ = lim βπ₯β0 π π₯ (π βπ₯ β1) βπ₯ ππ ππ₯ = π π₯ lim βπ₯β0 (π βπ₯ β1) βπ₯
20
ππ ππ₯ = π π₯ lim βπ₯β0 π βπ₯ 1 ππ ππ₯ = π π₯ lim βπ₯β0 π βπ₯ ππ ππ₯ = π π₯ π lim βπ₯β0 βπ₯ ππ ππ₯ = π π₯ π 0 π
π π
π = π π
21
π π π π₯ = π π , donde U es derivable en x
Generalizando π π π π₯ = π π , donde U es derivable en x ππ ππ₯ = π / π π
22
π π₯ = π 6π₯ Ejemplo. Derivar De la funciΓ³n dada
π π₯ = π 6π₯ De la funciΓ³n dada π=6π₯ , con lo que π / =6 Remplazando en la derivada de la funciΓ³n exponencial ππ ππ₯ = π / π π ππ ππ₯ =6 π 6π₯
23
π π₯ = π 2 π₯ 2 +4π₯ Ejemplo. Derivar De la funciΓ³n dada
π π₯ = π 2 π₯ 2 +4π₯ De la funciΓ³n dada π= 2π₯ 2 +4π₯ , con lo que π / =2π₯+4 Remplazando en la derivada de la funciΓ³n exponencial ππ ππ₯ = π / π π ππ ππ₯ =(2π₯+4) π 2 π₯ 2 +4π₯
24
π π π π₯ =πΏπ(π₯), entonces su derivada es
DERIVADA DE LA FUNCIΓN LOGARITMO NATURAL π π π π₯ =πΏπ(π₯), entonces su derivada es ππ ππ₯ = 1 π₯ DemostraciΓ³n Llamando h al incremento βπ₯
25
ππ ππ₯ = lim ββ0 π π₯+β βπ(π₯) β
Por definiciΓ³n de derivada, se tiene ππ ππ₯ = lim ββ0 π π₯+β βπ(π₯) β Como la funciΓ³n es logaritmo natural ππ ππ₯ = lim ββ0 πΏπ π₯+β βπΏπ(π₯) β
26
ππ ππ₯ = lim ββ0 πΏπ π₯+β π₯ β ππ ππ₯ = lim ββ0 πΏπ π₯ π₯ + β π₯ β
Por propiedades de los logaritmos ππ ππ₯ = lim ββ0 πΏπ π₯+β π₯ β Lo cual se puede expresar como ππ ππ₯ = lim ββ0 πΏπ π₯ π₯ + β π₯ β
27
ππ ππ₯ = lim ββ0 πΏπ π₯ π₯ + β π₯ π₯ β π₯
simplificando ππ ππ₯ = lim ββ0 πΏπ 1+ β π₯ β Llevamos el denominador a la forma h/x ππ ππ₯ = lim ββ0 πΏπ π₯ π₯ + β π₯ π₯ β π₯
28
ππ ππ₯ = 1 π₯ lim ββ0 πΏπ 1+ β π₯ β π₯ ππ ππ₯ = 1 π₯ lim ββ0 π₯ β πΏπ 1+ 1 π₯ β
Lo cual es equivalente a ππ ππ₯ = 1 π₯ lim ββ0 πΏπ 1+ β π₯ β π₯ Lo cual se puede escribir como ππ ππ₯ = 1 π₯ lim ββ0 π₯ β πΏπ π₯ β
29
lim ββ0 π₯ β = lim π€ββ π€ ππ ππ₯ = 1 π₯ lim π€ββ π€πΏπ 1+ 1 π€
Llamando π₯ β =π€, se tiene que lim ββ0 π₯ β = lim π€ββ π€ De donde ππ ππ₯ = 1 π₯ lim π€ββ π€πΏπ π€
30
ππ ππ₯ = 1 π₯ lim π€ββ πΏπ 1+ 1 π€ π€ ππ ππ₯ = 1 π₯ πΏπ lim π€ββ 1+ 1 π€ π€
Por propiedades de los logaritmos ππ ππ₯ = 1 π₯ lim π€ββ πΏπ π€ π€ Ahora, el limite de un logaritmo es igual al logaritmo del limite ππ ππ₯ = 1 π₯ πΏπ lim π€ββ π€ π€
31
ππ ππ₯ = 1 π₯ πΏπ(π) ππ ππ₯ = 1 π₯ (1) π
π π
π = π π Con lo que se tiene
Pero el logaritmo de la base es igual a 1 ππ ππ₯ = 1 π₯ (1) π
π π
π = π π
32
π π₯ =πΏπ(π) π
π π
π = πΌ / πΌ Generalizando, si la funciΓ³n es
Entonces la derivada viene dada por π
π π
π = πΌ / πΌ
33
π π₯ =πΏπ(4 π₯ 2 ) π=4 π₯ 2 πππ ππ ππ’π π / =8π₯ ππ ππ₯ = π / π
Por ejemplo Determine la derivada de π π₯ =πΏπ(4 π₯ 2 ) De la funciΓ³n se tiene que π=4 π₯ 2 πππ ππ ππ’π π / =8π₯ Reemplazando en la derivada del logaritmo ππ ππ₯ = π / π π
π π
π = ππ π π π = π π
34
π π₯ =πΏπ(2π₯+3) π=2π₯+3 πππ ππ ππ’π π / =2 ππ ππ₯ = π / π π
π π
π = π ππ+π
Por ejemplo Determine la derivada de π π₯ =πΏπ(2π₯+3) De la funciΓ³n se tiene que π=2π₯+3 πππ ππ ππ’π π / =2 Reemplazando en la derivada del logaritmo ππ ππ₯ = π / π π
π π
π = π ππ+π
35
π π₯ =πΏπ 2 π₯ 2 +3 4 3 π₯ 2 +2 3 π π₯ =πΏπ 2 π₯ 2 +3 4 +πΏπ 3 π₯ 2 +2 3
Ejemplo . Determine la derivada de π π₯ =πΏπ 2 π₯ π₯ Antes de calcular la derivada, aplicamos las propiedades de los logaritmos π π₯ =πΏπ 2 π₯ πΏπ 3 π₯ π π₯ =4πΏπ 2 π₯ πΏπ 3 π₯ 2 +2 Ahora, calculamos la derivada ππ ππ₯ =4 4π₯ 2 π₯ π₯ 3 π₯ 2 +2
36
ππ ππ₯ = 16π₯ 2 π₯ π₯ 3 π₯ 2 +2 ππ ππ₯ = 16π₯ 3 π₯ π₯(2 π₯ 2 +3) (2 π₯ 2 +3)(3 π₯ 2 +2) ππ ππ₯ = 48 π₯ 3 +32π₯+36 π₯ 3 +54π₯ (2 π₯ 2 +3)(3 π₯ 2 +2) π
π π
π = ππ π π +πππ (π π π +π)(π π π +π)
37
π π₯ =πΏπ 2 π₯ 2 +3 4 3 π₯ 2 +2 5 π π₯ =πΏπ 2 π₯ 2 +3 4 β πΏπ 3 π₯ 2 +2 5
Ejemplo . Determine la derivada de π π₯ =πΏπ 2 π₯ π₯ Antes de calcular la derivada, aplicamos las propiedades de los logaritmos π π₯ =πΏπ 2 π₯ β πΏπ 3 π₯ π π₯ =4πΏπ 2 π₯ β 5πΏπ 3 π₯ 2 +2 Ahora, calculamos la derivada ππ ππ₯ =4 4π₯ 2 π₯ 2 +3 β5 6π₯ 3 π₯ 2 +2
38
ππ ππ₯ = 16π₯ 2 π₯ 2 +3 β 30π₯ 3 π₯ 2 +2 ππ ππ₯ = 16π₯ 3 π₯ 2 +2 β30π₯(2 π₯ 2 +3) (2 π₯ 2 +3)(3 π₯ 2 +2) ππ ππ₯ = 48 π₯ 3 +32π₯β60 π₯ 3 β90π₯ (2 π₯ 2 +3)(3 π₯ 2 +2) π
π π
π = βππ π π βπππ (π π π +π)(π π π +π)
39
π π₯ = πΏπ 4 4π₯+2 3π₯+4 π π₯ = πΏπ 4π₯+2 3π₯+4 4 π π₯ = π π π=πΏπ 4π₯+2 3π₯+4
Ejemplo . Determine la derivada de π π₯ = πΏπ 4 4π₯+2 3π₯+4 La funciΓ³n dada, es equivalente a π π₯ = πΏπ 4π₯+2 3π₯ La funciΓ³n es de la forma π π₯ = π π π=πΏπ 4π₯+2 3π₯+4 Donde
40
π=πΏπ 4π₯+2 3π₯+4 =πΏπ 4π₯+2 βπΏπ(3π₯+4)
ππ ππ₯ =π π πβ1 π / La derivada es π=πΏπ 4π₯+2 3π₯+4 =πΏπ 4π₯+2 βπΏπ(3π₯+4) Como π / = 4 4π₯+2 β 3 3π₯+4 = 4 3π₯+4 β3(4π₯+2) (4π₯+2)(3π₯+4) π = 12π₯+16β12π₯β6 (4π₯+2)(3π₯+4) = 10 (4π₯+2)(3π₯+4) π
π π
π = ππ (ππ+π)(ππ+π) π³π π 4π₯+2 3π₯+4
41
π π₯ = log π π π π₯ = πΏππ πΏππ π
π π
π = πΌ / πΌπ³ππ Si la funciΓ³n es
Recordamos, que por cambio de variable π π₯ = πΏππ πΏππ Con lo que la derivada es π
π π
π = πΌ / πΌπ³ππ
42
π π₯ = log 5 2 π₯ 3 +5 π₯ 2 π=5 ; π=2 π₯ 3 +5 π₯ 2 ; π / =6 π₯ 2 +10π₯
Ejemplo. Determine la derivada de π π₯ = log π₯ 3 +5 π₯ 2 De la funciΓ³n se tiene que π=5 ; π=2 π₯ 3 +5 π₯ 2 ; π / =6 π₯ 2 +10π₯ Reemplazando en la derivada de la funciΓ³n logaritmo ππ ππ₯ = 6 π₯ 2 +10π₯ 2 π₯ 3 +5 π₯ 2 πΏπ5 π
π π
π = ππ+ππ π π π +ππ π³ππ Simplificando
43
Desarrollo del pensamiento matemΓ‘tico
Determine la derivada de las siguientes funciones π π₯ =πΏπ 3 π₯ 2 +2π₯ 2 π₯ 2 +3 π π₯ =πππ(πΆππ (3π₯)) π π₯ =πππ(4 π₯ 3 ) π π₯ = log 3 (4π₯+3) 5 (2π₯+4) 4 π π₯ = πππ 3 (3π₯) π π₯ =πΏπ π₯ π₯ π₯ 2 +4 π π₯ = π πππ(2 π₯ 2 ) π π₯ = πππ(π 2 π₯ 2 ) π π₯ =πΆππ (5π₯+3)
44
Referentes bibliogrΓ‘ficos
STEWART, JAMES. Calculo: conceptos y contextos. Thomson editores.. MEXICO LEITHOD, LOUIS, βEl Calculoβ, sΓ©ptima ediciΓ³n. Editorial Harla.. MΓ©xico EDWARDS, C.H. Y D.E. PENNEY. CΓ‘lculo y GeometrΓa AnalΓtica. Cuarta ediciΓ³n. PHH. ico LARSON, HOSTETLER y Edwars. CΓ‘lculo y GeometrΓa AnalΓtica. Sexta EdiciΓ³n.. McGraw Hill. MΓ©xico TAKEUCHI. YU Sucesiones y Series. Tomo I y II. Editorial Limusa.. MΓ©xico STEFAN WANER, Calculo aplicado, segunda ediciΓ³n, MΓ©xico
Presentaciones similares
© 2025 SlidePlayer.es Inc.
All rights reserved.