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DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTALES

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PresentaciΓ³n del tema: "DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTALES"β€” TranscripciΓ³n de la presentaciΓ³n:

1 DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTALES
MAGISTER: DANIEL SAENZ CONTRERAS CANDIDATO A DOCTOR EN EDUCACION

2 DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DERIVADA DE LA FUNCIΓ“N SENO Sea la funciΓ³n Seno definida por 𝒇 𝒙 =𝑺𝒆𝒏(𝒙), como la funciΓ³n seno es una funciΓ³n continua se tiene 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = lim βˆ†π‘₯β†’0 𝑆𝑒𝑛 π‘₯+βˆ†π‘₯ βˆ’π‘†π‘’π‘›(π‘₯) βˆ†π‘₯ Por identidades trigonomΓ©tricas 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = lim βˆ†π‘₯β†’0 𝑆𝑒𝑛 π‘₯ πΆπ‘œπ‘  βˆ†π‘₯ +πΆπ‘œπ‘  π‘₯ 𝑆𝑒𝑛(βˆ†π‘₯)βˆ’π‘†π‘’π‘›(π‘₯) βˆ†π‘₯

3 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = lim βˆ†π‘₯β†’0 𝑆𝑒𝑛 π‘₯ πΆπ‘œπ‘  βˆ†π‘₯ βˆ’π‘†π‘’π‘›(π‘₯) +πΆπ‘œπ‘  π‘₯ 𝑆𝑒𝑛(βˆ†π‘₯) βˆ†π‘₯
Agrupando tΓ©rminos 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = lim βˆ†π‘₯β†’0 𝑆𝑒𝑛 π‘₯ πΆπ‘œπ‘  βˆ†π‘₯ βˆ’π‘†π‘’π‘›(π‘₯) +πΆπ‘œπ‘  π‘₯ 𝑆𝑒𝑛(βˆ†π‘₯) βˆ†π‘₯ factorizando 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = lim βˆ†π‘₯β†’0 𝑆𝑒𝑛 π‘₯ πΆπ‘œπ‘  βˆ†π‘₯ βˆ’1 +πΆπ‘œπ‘  π‘₯ 𝑆𝑒𝑛(βˆ†π‘₯) βˆ†π‘₯ 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = βˆ† lim π‘₯β†’0 𝑆𝑒𝑛 π‘₯ πΆπ‘œπ‘  βˆ†π‘₯ βˆ’1 βˆ†π‘₯ + πΆπ‘œπ‘  π‘₯ 𝑆𝑒𝑛(βˆ†π‘₯) βˆ†π‘₯

4 La derivada de la funciΓ³n Seno es igual a la funciΓ³n Coseno
Por propiedades de los limites 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = 𝑆𝑒𝑛 π‘₯ lim βˆ†π‘₯β†’0 πΆπ‘œπ‘  βˆ†π‘₯ βˆ’1 βˆ†π‘₯ +πΆπ‘œπ‘  π‘₯ lim βˆ†π‘₯β†’0 𝑆𝑒𝑛(βˆ†π‘₯) βˆ†π‘₯ Por limites trigonomΓ©tricos 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ =𝑆𝑒𝑛(π‘₯)(0) +πΆπ‘œπ‘  π‘₯ (1) La derivada de la funciΓ³n Seno es igual a la funciΓ³n Coseno 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ =πΆπ‘œπ‘ π‘₯

5 𝑠𝑖 𝑓 π‘₯ =π‘†π‘’π‘›π‘ˆ, π‘‘π‘œπ‘›π‘‘π‘’ π‘ˆ 𝑒𝑠 π‘‘π‘–π‘“π‘’π‘Ÿπ‘’π‘›π‘π‘–π‘Žπ‘π‘™π‘’ 𝑒𝑛 π‘₯
Generalizando la derivada 𝑠𝑖 𝑓 π‘₯ =π‘†π‘’π‘›π‘ˆ, π‘‘π‘œπ‘›π‘‘π‘’ π‘ˆ 𝑒𝑠 π‘‘π‘–π‘“π‘’π‘Ÿπ‘’π‘›π‘π‘–π‘Žπ‘π‘™π‘’ 𝑒𝑛 π‘₯ La derivada de la funciΓ³n Seno es igual a la funciΓ³n Coseno multiplicada por la derivada del Γ‘ngulo 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = π‘ˆ / πΆπ‘œπ‘ π‘ˆ

6 𝑠𝑖 𝑓 π‘₯ =𝑆𝑒𝑛(2 π‘₯ 2 ) π‘ˆ=2 π‘₯ 2 𝑑𝑒 π‘‘π‘œπ‘›π‘‘π‘’ π‘ˆ / =4π‘₯ 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = π‘ˆ / πΆπ‘œπ‘ π‘ˆ
Ejemplo 𝑠𝑖 𝑓 π‘₯ =𝑆𝑒𝑛(2 π‘₯ 2 ) π‘ˆ=2 π‘₯ 2 𝑑𝑒 π‘‘π‘œπ‘›π‘‘π‘’ π‘ˆ / =4π‘₯ Remplazando en la derivada de la funciΓ³n seno 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = π‘ˆ / πΆπ‘œπ‘ π‘ˆ 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ =4π‘₯πΆπ‘œπ‘ (2 π‘₯ 2 )

7 𝑠𝑖 𝑓 π‘₯ =𝑆𝑒𝑛(4 π‘₯ 3 +2 π‘₯ 2 ) π‘ˆ=4 π‘₯ 3 +2 π‘₯ 2 𝑑𝑒 π‘‘π‘œπ‘›π‘‘π‘’ π‘ˆ / =12 π‘₯ 2 +4π‘₯
Ejemplo 𝑠𝑖 𝑓 π‘₯ =𝑆𝑒𝑛(4 π‘₯ 3 +2 π‘₯ 2 ) π‘ˆ=4 π‘₯ 3 +2 π‘₯ 2 𝑑𝑒 π‘‘π‘œπ‘›π‘‘π‘’ π‘ˆ / =12 π‘₯ 2 +4π‘₯ Remplazando en la derivada de la funciΓ³n seno 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = π‘ˆ / πΆπ‘œπ‘ π‘ˆ 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ =(12 π‘₯ 2 +4π‘₯)πΆπ‘œπ‘ (4 π‘₯ 3 +2 π‘₯ 2 )

8 DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DERIVADA DE LA FUNCIΓ“N COSENO Sea la funciΓ³n Seno definida por 𝒇 𝒙 =π‘ͺ𝒐𝒔(𝒙), como la funciΓ³n coseno es una funciΓ³n continua se tiene 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = lim βˆ†π‘₯β†’0 πΆπ‘œπ‘  π‘₯+βˆ†π‘₯ βˆ’πΆπ‘œπ‘ (π‘₯) βˆ†π‘₯ Por identidades trigonomΓ©tricas 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = lim βˆ†π‘₯β†’0 πΆπ‘œπ‘  π‘₯ πΆπ‘œπ‘  βˆ†π‘₯ βˆ’π‘†π‘’π‘› π‘₯ 𝑆𝑒𝑛(βˆ†π‘₯)βˆ’πΆπ‘œπ‘ (π‘₯) βˆ†π‘₯

9 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = lim βˆ†π‘₯β†’0 πΆπ‘œπ‘  π‘₯ πΆπ‘œπ‘  βˆ†π‘₯ βˆ’πΆπ‘œπ‘ (π‘₯) βˆ’π‘†π‘’π‘› π‘₯ 𝑆𝑒𝑛(βˆ†π‘₯) βˆ†π‘₯
Agrupando tΓ©rminos 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = lim βˆ†π‘₯β†’0 πΆπ‘œπ‘  π‘₯ πΆπ‘œπ‘  βˆ†π‘₯ βˆ’πΆπ‘œπ‘ (π‘₯) βˆ’π‘†π‘’π‘› π‘₯ 𝑆𝑒𝑛(βˆ†π‘₯) βˆ†π‘₯ factorizando 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = lim βˆ†π‘₯β†’0 πΆπ‘œπ‘  π‘₯ πΆπ‘œπ‘  βˆ†π‘₯ βˆ’1 βˆ’π‘†π‘’π‘› π‘₯ 𝑆𝑒𝑛(βˆ†π‘₯) βˆ†π‘₯ 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = lim βˆ†π‘₯β†’0 πΆπ‘œπ‘  π‘₯ πΆπ‘œπ‘  βˆ†π‘₯ βˆ’1 βˆ†π‘₯ βˆ’ 𝑆𝑒𝑛 π‘₯ 𝑆𝑒𝑛(βˆ†π‘₯) βˆ†π‘₯

10 La derivada de la funciΓ³n Coseno es igual a menos la funciΓ³n Seno
Por propiedades de los limites 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = πΆπ‘œπ‘  π‘₯ lim βˆ†π‘₯β†’0 πΆπ‘œπ‘  βˆ†π‘₯ βˆ’1 βˆ†π‘₯ βˆ’π‘†π‘’π‘› π‘₯ lim βˆ†π‘₯β†’0 𝑆𝑒𝑛(βˆ†π‘₯) βˆ†π‘₯ Por limites trigonomΓ©tricos 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ =πΆπ‘œπ‘  π‘₯ 0 βˆ’π‘†π‘’π‘› π‘₯ (1) La derivada de la funciΓ³n Coseno es igual a menos la funciΓ³n Seno 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ =βˆ’π‘†π‘’π‘›π‘₯

11 𝑠𝑖 𝑓 π‘₯ =πΆπ‘œπ‘ π‘ˆ, π‘‘π‘œπ‘›π‘‘π‘’ π‘ˆ 𝑒𝑠 π‘‘π‘–π‘“π‘’π‘Ÿπ‘’π‘›π‘π‘–π‘Žπ‘π‘™π‘’ 𝑒𝑛 π‘₯
Generalizando la derivada 𝑠𝑖 𝑓 π‘₯ =πΆπ‘œπ‘ π‘ˆ, π‘‘π‘œπ‘›π‘‘π‘’ π‘ˆ 𝑒𝑠 π‘‘π‘–π‘“π‘’π‘Ÿπ‘’π‘›π‘π‘–π‘Žπ‘π‘™π‘’ 𝑒𝑛 π‘₯ La derivada de la funciΓ³n Coseno es igual a menos la funciΓ³n Seno multiplicada por la derivada del Γ‘ngulo 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ =βˆ’ π‘ˆ / π‘†π‘’π‘›π‘ˆ

12 𝑠𝑖 𝑓 π‘₯ =πΆπ‘œπ‘ (4 π‘₯ 2 +5) π‘ˆ=4 π‘₯ 2 +5 𝑑𝑒 π‘‘π‘œπ‘›π‘‘π‘’ π‘ˆ / =8π‘₯ 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = βˆ’π‘ˆ / π‘†π‘’π‘›π‘ˆ
Ejemplo 𝑠𝑖 𝑓 π‘₯ =πΆπ‘œπ‘ (4 π‘₯ 2 +5) π‘ˆ=4 π‘₯ 𝑑𝑒 π‘‘π‘œπ‘›π‘‘π‘’ π‘ˆ / =8π‘₯ Remplazando en la derivada de la funciΓ³n coseno 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = βˆ’π‘ˆ / π‘†π‘’π‘›π‘ˆ 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ =βˆ’8π‘₯𝑆𝑒𝑛(4 π‘₯ 2 +5)

13 𝑠𝑖 𝑓 π‘₯ =πΆπ‘œπ‘ ( π‘₯ 3 + π‘₯ 2 ) π‘ˆ= π‘₯ 3 + π‘₯ 2 𝑑𝑒 π‘‘π‘œπ‘›π‘‘π‘’ π‘ˆ / =3 π‘₯ 2 +2π‘₯
Ejemplo 𝑠𝑖 𝑓 π‘₯ =πΆπ‘œπ‘ ( π‘₯ 3 + π‘₯ 2 ) π‘ˆ= π‘₯ 3 + π‘₯ 2 𝑑𝑒 π‘‘π‘œπ‘›π‘‘π‘’ π‘ˆ / =3 π‘₯ 2 +2π‘₯ Remplazando en la derivada de la funciΓ³n coseno 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ =βˆ’ π‘ˆ / π‘†π‘’π‘›π‘ˆ 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ =βˆ’ 3 π‘₯ 2 +2π‘₯ 𝑆𝑒𝑛( π‘₯ 3 + π‘₯ 2 )

14 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = (π‘†π‘’π‘›π‘ˆ) / πΆπ‘œπ‘ π‘ˆβˆ’ (πΆπ‘œπ‘ π‘ˆ) / π‘†π‘’π‘›π‘ˆ πΆπ‘œπ‘ π‘ˆ 2
DERIVADA DE LA FUNCIΓ“N TANGENTE Sea la funciΓ³n Seno definida por 𝒇 𝒙 =𝑻𝒂𝒏(𝑼), como la funciΓ³n tangente se define como el cociente entre la funciΓ³n seno y la funciΓ³n coseno, entonces para deducir su derivada aplicamos la regla del cociente 𝑓 π‘₯ = π‘†π‘’π‘›π‘ˆ πΆπ‘œπ‘ π‘ˆ 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = (π‘†π‘’π‘›π‘ˆ) / πΆπ‘œπ‘ π‘ˆβˆ’ (πΆπ‘œπ‘ π‘ˆ) / π‘†π‘’π‘›π‘ˆ πΆπ‘œπ‘ π‘ˆ 2

15 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = π‘ˆ / πΆπ‘œπ‘ π‘ˆπΆπ‘œπ‘ π‘ˆβˆ’(βˆ’ π‘ˆ / π‘†π‘’π‘›π‘ˆ)π‘†π‘’π‘›π‘ˆ πΆπ‘œπ‘ π‘ˆ 2
𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = π‘ˆ / πΆπ‘œπ‘  2 π‘ˆ+ π‘ˆ / 𝑆𝑒𝑛 2 π‘ˆ πΆπ‘œπ‘ π‘ˆ 2 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = π‘ˆ / πΆπ‘œπ‘  2 π‘ˆ+ 𝑆𝑒𝑛 2 π‘ˆ πΆπ‘œπ‘ π‘ˆ 2

16 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = π‘ˆ / 1 πΆπ‘œπ‘ π‘ˆ 2 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = π‘ˆ / 1 πΆπ‘œπ‘ π‘ˆ 2 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = π‘ˆ / 𝑆𝑒𝑐 2 π‘ˆ
𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = π‘ˆ / πΆπ‘œπ‘ π‘ˆ 2 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = π‘ˆ / 1 πΆπ‘œπ‘ π‘ˆ 2 La derivada de la funciΓ³n Tangente es igual al cuadrado de la funciΓ³n Secante multiplicada por la derivada del Γ‘ngulo 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = π‘ˆ / 𝑆𝑒𝑐 2 π‘ˆ

17 𝑓 π‘₯ =πΆπ‘œπ‘‘π‘ˆ 𝑓 π‘₯ =π‘†π‘’π‘π‘ˆ 𝑓 π‘₯ =πΆπ‘ π‘π‘ˆ 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ =βˆ’ π‘ˆ / 𝐢𝑠𝑐 2 π‘ˆ
Siguiendo procedimientos similares a los aplicados para determinar la derivada de la tangente, se obtiene las expresiones de las derivadas de las restantes funciones trigonomΓ©tricas FunciΓ³n Derivada 𝑓 π‘₯ =πΆπ‘œπ‘‘π‘ˆ 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ =βˆ’ π‘ˆ / 𝐢𝑠𝑐 2 π‘ˆ 𝑓 π‘₯ =π‘†π‘’π‘π‘ˆ 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = π‘ˆ / π‘†π‘’π‘π‘ˆπ‘‡π‘Žπ‘›π‘ˆ 𝑓 π‘₯ =πΆπ‘ π‘π‘ˆ 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ =βˆ’ π‘ˆ / πΆπ‘ π‘π‘ˆπΆπ‘œπ‘‘π‘ˆ

18 𝑓 π‘₯+βˆ†π‘₯ = 𝑒 π‘₯+βˆ†π‘₯ 𝑓 π‘₯+βˆ†π‘₯ βˆ’π‘“ π‘₯ = 𝑒 π‘₯+βˆ†π‘₯ βˆ’ 𝑒 π‘₯
Derivada de la funciΓ³n exponencial Sea 𝑓 π‘₯ = 𝑒 π‘₯ 𝑓 π‘₯+βˆ†π‘₯ = 𝑒 π‘₯+βˆ†π‘₯ 𝑓 π‘₯+βˆ†π‘₯ βˆ’π‘“ π‘₯ = 𝑒 π‘₯+βˆ†π‘₯ βˆ’ 𝑒 π‘₯ 𝑓 π‘₯+βˆ†π‘₯ βˆ’π‘“ π‘₯ = 𝑒 π‘₯ 𝑒 βˆ†π‘₯ βˆ’ 𝑒 π‘₯ 𝑓 π‘₯+βˆ†π‘₯ βˆ’π‘“ π‘₯ = 𝑒 π‘₯ (𝑒 βˆ†π‘₯ βˆ’1)

19 𝑓 π‘₯+βˆ†π‘₯ βˆ’π‘“ π‘₯ βˆ†π‘₯ = 𝑒 π‘₯ (𝑒 βˆ†π‘₯ βˆ’1) βˆ†π‘₯
lim βˆ†π‘₯β†’0 𝑓 π‘₯+βˆ†π‘₯ βˆ’π‘“ π‘₯ βˆ†π‘₯ = lim βˆ†π‘₯β†’0 𝑒 π‘₯ (𝑒 βˆ†π‘₯ βˆ’1) βˆ†π‘₯ 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = 𝑒 π‘₯ lim βˆ†π‘₯β†’0 (𝑒 βˆ†π‘₯ βˆ’1) βˆ†π‘₯

20 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = 𝑒 π‘₯ lim βˆ†π‘₯β†’0 𝑒 βˆ†π‘₯ 1 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = 𝑒 π‘₯ lim βˆ†π‘₯β†’0 𝑒 βˆ†π‘₯ 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = 𝑒 π‘₯ 𝑒 lim βˆ†π‘₯β†’0 βˆ†π‘₯ 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = 𝑒 π‘₯ 𝑒 0 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = 𝒆 𝒙

21 𝑠𝑖 𝑓 π‘₯ = 𝑒 π‘ˆ , donde U es derivable en x
Generalizando 𝑠𝑖 𝑓 π‘₯ = 𝑒 π‘ˆ , donde U es derivable en x 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = π‘ˆ / 𝑒 π‘ˆ

22 𝑓 π‘₯ = 𝑒 6π‘₯ Ejemplo. Derivar De la funciΓ³n dada
𝑓 π‘₯ = 𝑒 6π‘₯ De la funciΓ³n dada π‘ˆ=6π‘₯ , con lo que π‘ˆ / =6 Remplazando en la derivada de la funciΓ³n exponencial 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = π‘ˆ / 𝑒 π‘ˆ 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ =6 𝑒 6π‘₯

23 𝑓 π‘₯ = 𝑒 2 π‘₯ 2 +4π‘₯ Ejemplo. Derivar De la funciΓ³n dada
𝑓 π‘₯ = 𝑒 2 π‘₯ 2 +4π‘₯ De la funciΓ³n dada π‘ˆ= 2π‘₯ 2 +4π‘₯ , con lo que π‘ˆ / =2π‘₯+4 Remplazando en la derivada de la funciΓ³n exponencial 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = π‘ˆ / 𝑒 π‘ˆ 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ =(2π‘₯+4) 𝑒 2 π‘₯ 2 +4π‘₯

24 𝑠𝑖 𝑓 π‘₯ =𝐿𝑛(π‘₯), entonces su derivada es
DERIVADA DE LA FUNCIΓ“N LOGARITMO NATURAL 𝑠𝑖 𝑓 π‘₯ =𝐿𝑛(π‘₯), entonces su derivada es 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = 1 π‘₯ DemostraciΓ³n Llamando h al incremento βˆ†π‘₯

25 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = lim β„Žβ†’0 𝑓 π‘₯+β„Ž βˆ’π‘“(π‘₯) β„Ž
Por definiciΓ³n de derivada, se tiene 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = lim β„Žβ†’0 𝑓 π‘₯+β„Ž βˆ’π‘“(π‘₯) β„Ž Como la funciΓ³n es logaritmo natural 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = lim β„Žβ†’0 𝐿𝑛 π‘₯+β„Ž βˆ’πΏπ‘›(π‘₯) β„Ž

26 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = lim β„Žβ†’0 𝐿𝑛 π‘₯+β„Ž π‘₯ β„Ž 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = lim β„Žβ†’0 𝐿𝑛 π‘₯ π‘₯ + β„Ž π‘₯ β„Ž
Por propiedades de los logaritmos 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = lim β„Žβ†’0 𝐿𝑛 π‘₯+β„Ž π‘₯ β„Ž Lo cual se puede expresar como 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = lim β„Žβ†’0 𝐿𝑛 π‘₯ π‘₯ + β„Ž π‘₯ β„Ž

27 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = lim β„Žβ†’0 𝐿𝑛 π‘₯ π‘₯ + β„Ž π‘₯ π‘₯ β„Ž π‘₯
simplificando 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = lim β„Žβ†’0 𝐿𝑛 1+ β„Ž π‘₯ β„Ž Llevamos el denominador a la forma h/x 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = lim β„Žβ†’0 𝐿𝑛 π‘₯ π‘₯ + β„Ž π‘₯ π‘₯ β„Ž π‘₯

28 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = 1 π‘₯ lim β„Žβ†’0 𝐿𝑛 1+ β„Ž π‘₯ β„Ž π‘₯ 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = 1 π‘₯ lim β„Žβ†’0 π‘₯ β„Ž 𝐿𝑛 1+ 1 π‘₯ β„Ž
Lo cual es equivalente a 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = 1 π‘₯ lim β„Žβ†’0 𝐿𝑛 1+ β„Ž π‘₯ β„Ž π‘₯ Lo cual se puede escribir como 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = 1 π‘₯ lim β„Žβ†’0 π‘₯ β„Ž 𝐿𝑛 π‘₯ β„Ž

29 lim β„Žβ†’0 π‘₯ β„Ž = lim π‘€β†’βˆž 𝑀 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = 1 π‘₯ lim π‘€β†’βˆž 𝑀𝐿𝑛 1+ 1 𝑀
Llamando π‘₯ β„Ž =𝑀, se tiene que lim β„Žβ†’0 π‘₯ β„Ž = lim π‘€β†’βˆž 𝑀 De donde 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = 1 π‘₯ lim π‘€β†’βˆž 𝑀𝐿𝑛 𝑀

30 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = 1 π‘₯ lim π‘€β†’βˆž 𝐿𝑛 1+ 1 𝑀 𝑀 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = 1 π‘₯ 𝐿𝑛 lim π‘€β†’βˆž 1+ 1 𝑀 𝑀
Por propiedades de los logaritmos 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = 1 π‘₯ lim π‘€β†’βˆž 𝐿𝑛 𝑀 𝑀 Ahora, el limite de un logaritmo es igual al logaritmo del limite 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = 1 π‘₯ 𝐿𝑛 lim π‘€β†’βˆž 𝑀 𝑀

31 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = 1 π‘₯ 𝐿𝑛(𝑒) 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = 1 π‘₯ (1) 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = 𝟏 𝒙 Con lo que se tiene
Pero el logaritmo de la base es igual a 1 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = 1 π‘₯ (1) 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = 𝟏 𝒙

32 𝑓 π‘₯ =𝐿𝑛(π‘ˆ) 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = 𝑼 / 𝑼 Generalizando, si la funciΓ³n es
Entonces la derivada viene dada por 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = 𝑼 / 𝑼

33 𝑓 π‘₯ =𝐿𝑛(4 π‘₯ 2 ) π‘ˆ=4 π‘₯ 2 π‘π‘œπ‘› π‘™π‘œ π‘žπ‘’π‘’ π‘ˆ / =8π‘₯ 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = π‘ˆ / π‘ˆ
Por ejemplo Determine la derivada de 𝑓 π‘₯ =𝐿𝑛(4 π‘₯ 2 ) De la funciΓ³n se tiene que π‘ˆ=4 π‘₯ 2 π‘π‘œπ‘› π‘™π‘œ π‘žπ‘’π‘’ π‘ˆ / =8π‘₯ Reemplazando en la derivada del logaritmo 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = π‘ˆ / π‘ˆ 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = πŸ–π’™ πŸ’ 𝒙 𝟐 = 𝟐 𝒙

34 𝑓 π‘₯ =𝐿𝑛(2π‘₯+3) π‘ˆ=2π‘₯+3 π‘π‘œπ‘› π‘™π‘œ π‘žπ‘’π‘’ π‘ˆ / =2 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = π‘ˆ / π‘ˆ 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = 𝟐 πŸπ’™+πŸ‘
Por ejemplo Determine la derivada de 𝑓 π‘₯ =𝐿𝑛(2π‘₯+3) De la funciΓ³n se tiene que π‘ˆ=2π‘₯+3 π‘π‘œπ‘› π‘™π‘œ π‘žπ‘’π‘’ π‘ˆ / =2 Reemplazando en la derivada del logaritmo 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = π‘ˆ / π‘ˆ 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = 𝟐 πŸπ’™+πŸ‘

35 𝑓 π‘₯ =𝐿𝑛 2 π‘₯ 2 +3 4 3 π‘₯ 2 +2 3 𝑓 π‘₯ =𝐿𝑛 2 π‘₯ 2 +3 4 +𝐿𝑛 3 π‘₯ 2 +2 3
Ejemplo . Determine la derivada de 𝑓 π‘₯ =𝐿𝑛 2 π‘₯ π‘₯ Antes de calcular la derivada, aplicamos las propiedades de los logaritmos 𝑓 π‘₯ =𝐿𝑛 2 π‘₯ 𝐿𝑛 3 π‘₯ 𝑓 π‘₯ =4𝐿𝑛 2 π‘₯ 𝐿𝑛 3 π‘₯ 2 +2 Ahora, calculamos la derivada 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ =4 4π‘₯ 2 π‘₯ π‘₯ 3 π‘₯ 2 +2

36 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = 16π‘₯ 2 π‘₯ π‘₯ 3 π‘₯ 2 +2 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = 16π‘₯ 3 π‘₯ π‘₯(2 π‘₯ 2 +3) (2 π‘₯ 2 +3)(3 π‘₯ 2 +2) 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = 48 π‘₯ 3 +32π‘₯+36 π‘₯ 3 +54π‘₯ (2 π‘₯ 2 +3)(3 π‘₯ 2 +2) 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = πŸ–πŸ’ 𝒙 πŸ‘ +πŸ–πŸ”π’™ (𝟐 𝒙 𝟐 +πŸ‘)(πŸ‘ 𝒙 𝟐 +𝟐)

37 𝑓 π‘₯ =𝐿𝑛 2 π‘₯ 2 +3 4 3 π‘₯ 2 +2 5 𝑓 π‘₯ =𝐿𝑛 2 π‘₯ 2 +3 4 βˆ’ 𝐿𝑛 3 π‘₯ 2 +2 5
Ejemplo . Determine la derivada de 𝑓 π‘₯ =𝐿𝑛 2 π‘₯ π‘₯ Antes de calcular la derivada, aplicamos las propiedades de los logaritmos 𝑓 π‘₯ =𝐿𝑛 2 π‘₯ βˆ’ 𝐿𝑛 3 π‘₯ 𝑓 π‘₯ =4𝐿𝑛 2 π‘₯ βˆ’ 5𝐿𝑛 3 π‘₯ 2 +2 Ahora, calculamos la derivada 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ =4 4π‘₯ 2 π‘₯ 2 +3 βˆ’5 6π‘₯ 3 π‘₯ 2 +2

38 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = 16π‘₯ 2 π‘₯ 2 +3 βˆ’ 30π‘₯ 3 π‘₯ 2 +2 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = 16π‘₯ 3 π‘₯ 2 +2 βˆ’30π‘₯(2 π‘₯ 2 +3) (2 π‘₯ 2 +3)(3 π‘₯ 2 +2) 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = 48 π‘₯ 3 +32π‘₯βˆ’60 π‘₯ 3 βˆ’90π‘₯ (2 π‘₯ 2 +3)(3 π‘₯ 2 +2) 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = βˆ’πŸπŸ 𝒙 πŸ‘ βˆ’πŸ“πŸ–π’™ (𝟐 𝒙 𝟐 +πŸ‘)(πŸ‘ 𝒙 𝟐 +𝟐)

39 𝑓 π‘₯ = 𝐿𝑛 4 4π‘₯+2 3π‘₯+4 𝑓 π‘₯ = 𝐿𝑛 4π‘₯+2 3π‘₯+4 4 𝑓 π‘₯ = π‘ˆ 𝑛 π‘ˆ=𝐿𝑛 4π‘₯+2 3π‘₯+4
Ejemplo . Determine la derivada de 𝑓 π‘₯ = 𝐿𝑛 4 4π‘₯+2 3π‘₯+4 La funciΓ³n dada, es equivalente a 𝑓 π‘₯ = 𝐿𝑛 4π‘₯+2 3π‘₯ La funciΓ³n es de la forma 𝑓 π‘₯ = π‘ˆ 𝑛 π‘ˆ=𝐿𝑛 4π‘₯+2 3π‘₯+4 Donde

40 π‘ˆ=𝐿𝑛 4π‘₯+2 3π‘₯+4 =𝐿𝑛 4π‘₯+2 βˆ’πΏπ‘›(3π‘₯+4)
𝑑𝑓 𝑑π‘₯ =𝑛 π‘ˆ π‘›βˆ’1 π‘ˆ / La derivada es π‘ˆ=𝐿𝑛 4π‘₯+2 3π‘₯+4 =𝐿𝑛 4π‘₯+2 βˆ’πΏπ‘›(3π‘₯+4) Como π‘ˆ / = 4 4π‘₯+2 βˆ’ 3 3π‘₯+4 = 4 3π‘₯+4 βˆ’3(4π‘₯+2) (4π‘₯+2)(3π‘₯+4) π‘ˆ = 12π‘₯+16βˆ’12π‘₯βˆ’6 (4π‘₯+2)(3π‘₯+4) = 10 (4π‘₯+2)(3π‘₯+4) 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = πŸ’πŸŽ (πŸ’π’™+𝟐)(πŸ‘π’™+πŸ’) 𝑳𝒏 πŸ‘ 4π‘₯+2 3π‘₯+4

41 𝑓 π‘₯ = log π‘Ž π‘ˆ 𝑓 π‘₯ = πΏπ‘›π‘ˆ πΏπ‘›π‘Ž 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = 𝑼 / 𝑼𝑳𝒏𝒂 Si la funciΓ³n es
Recordamos, que por cambio de variable 𝑓 π‘₯ = πΏπ‘›π‘ˆ πΏπ‘›π‘Ž Con lo que la derivada es 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = 𝑼 / 𝑼𝑳𝒏𝒂

42 𝑓 π‘₯ = log 5 2 π‘₯ 3 +5 π‘₯ 2 π‘Ž=5 ; π‘ˆ=2 π‘₯ 3 +5 π‘₯ 2 ; π‘ˆ / =6 π‘₯ 2 +10π‘₯
Ejemplo. Determine la derivada de 𝑓 π‘₯ = log π‘₯ 3 +5 π‘₯ 2 De la funciΓ³n se tiene que π‘Ž=5 ; π‘ˆ=2 π‘₯ 3 +5 π‘₯ 2 ; π‘ˆ / =6 π‘₯ 2 +10π‘₯ Reemplazando en la derivada de la funciΓ³n logaritmo 𝑑𝑓 𝑑π‘₯ = 6 π‘₯ 2 +10π‘₯ 2 π‘₯ 3 +5 π‘₯ 2 𝐿𝑛5 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = πŸ”π’™+𝟏𝟎 𝟐 𝒙 𝟐 +πŸ“π’™ π‘³π’πŸ“ Simplificando

43 Desarrollo del pensamiento matemΓ‘tico
Determine la derivada de las siguientes funciones 𝑓 π‘₯ =𝐿𝑛 3 π‘₯ 2 +2π‘₯ 2 π‘₯ 2 +3 𝑓 π‘₯ =𝑆𝑒𝑛(πΆπ‘œπ‘ (3π‘₯)) 𝑓 π‘₯ =π‘‡π‘Žπ‘›(4 π‘₯ 3 ) 𝑓 π‘₯ = log 3 (4π‘₯+3) 5 (2π‘₯+4) 4 𝑓 π‘₯ = π‘‡π‘Žπ‘› 3 (3π‘₯) 𝑓 π‘₯ =𝐿𝑛 π‘₯ π‘₯ π‘₯ 2 +4 𝑓 π‘₯ = 𝑒 𝑆𝑒𝑐(2 π‘₯ 2 ) 𝑓 π‘₯ = π‘‡π‘Žπ‘›(𝑒 2 π‘₯ 2 ) 𝑓 π‘₯ =πΆπ‘œπ‘ (5π‘₯+3)

44 Referentes bibliogrΓ‘ficos
STEWART, JAMES. Calculo: conceptos y contextos. Thomson editores.. MEXICO LEITHOD, LOUIS, β€œEl Calculo”, sΓ©ptima ediciΓ³n. Editorial Harla.. MΓ©xico EDWARDS, C.H. Y D.E. PENNEY. CΓ‘lculo y GeometrΓ­a AnalΓ­tica. Cuarta ediciΓ³n. PHH. ico LARSON, HOSTETLER y Edwars. CΓ‘lculo y GeometrΓ­a AnalΓ­tica. Sexta EdiciΓ³n.. McGraw Hill. MΓ©xico TAKEUCHI. YU Sucesiones y Series. Tomo I y II. Editorial Limusa.. MΓ©xico STEFAN WANER, Calculo aplicado, segunda ediciΓ³n, MΓ©xico


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