Uso de Solver para resolución de problemas de PL

Presentación del tema: "Uso de Solver para resolución de problemas de PL"— Transcripción de la presentación:

1 Uso de Solver para resolución de problemas de PL
Ing. Sergio Andrés Nieto Duarte

2 ¿Qué es Solver? Solver es un complemento de Excel que se utiliza para resolver problemas de optimización con restricciones. Es muy útil en la resolución de problemas de P.L. y ofrece ventajas como cálculo de soluciones óptimas de forma rápido, análisis de sensibilidad de restricciones y de coeficientes de la función objetivo.

3 Instalación de Solver Para instalar el complemento Solver seguiremos los siguientes pasos: Abrir Microsoft Excel Ir al menú Archivo – opciones – complementos (File – options - Add-ins) En la parte inferior de este cuadro de dialogo activar en administrar (Manage) la opción “complementos de Exel (Excel Add-ins)” y click en siguiente (go) Activar la opción Solver en la lista de chequeo Click en “aceptar” (Ok)

4 Uso de Solver Una vez se active el complemento procederemos a digitar los datos del problema por medio de una tabla en una hoja de cálculo, por ejemplo para el ejercicio 𝑀𝑎𝑥 𝑍=10000 𝑥 𝑥 2 𝑠.𝑎: 2𝑥 1 + 𝑥 2 ≤30 2𝑥 1 + 𝑥 2 ≤26 𝑥 1 + 𝑥 2 ≤22 𝑥 𝑖 ≥0

5 Inserción de fórmulas Procedemos a hora a insertar las fórmulas para la función objetivo y los totales usando los operadores básicos: -Para la función objetivo usaremos la casilla que llamamos Z al definir las variables -Para las restricciones usaremos la columna de Lado derecho de la tabla (se sugiere fijar las celdas e las variables (click en la casilla de variables, luego tecla F4), y luego de digitar la primera fórmula en las restricciones simplemente arrastrar el cursor para rellenar las demás celdas (o copiar y pegar)

6 Uso del complemento Nos ubicaremos en la casilla donde insertamos la fórmula de la función objetivo y vamos al menú datos (data), si el complemento Solver fue previamente activado aparecerá un botón que dice Solver en este menú, damos click

7 Trabajo sobre Solver Una vez estamos en el cuadro de dialogo de Solver, empezaremos a indicar donde está la función objetivo (por defecto se trabaja en la celda en la que se dio click antes de abrir el cuadro, pero puede cambiarse) Luego indicaremos en donde están las variables Insertaremos ahora las restricciones dando click a “agregar” (add) en el cuadro de díalogo

8 Inserción de restricciones
En el cuadro de dialogo daremos click en la celda que contiene la fórmula referente a la restricción Escogemos el signo de igualdad o desigualdad En la celda de restricción daremos click en el valor del lado derecho del problema. Daremos click en Add para agregar la siguiente restricción. Para las restricciones de No negatividad se da click en la celda de cada variable como celda de referencia y en restricción ponemos 0 Una vez tengamos la última restricción daremos click en Ok

9 Procesamiento de datos y activación de informes
Una vez estén todas las restricciones activaremos la opción “Simplex LP” en la selección de método de solución y daremos click en la tecla “Resolver (Solve)” Y en el cuadro de diálogo generado activaremos los reportes disponibles (Solución, sensibilidad, límites) y click en Ok. Si debemos hacer algún ajuste antes activarmeos la opción “volver al cuadro de dialogo de parámetros de Solver” Al hacer este proceso se generaran tres hojas de cálculo donde se reportarán los reportes

10 Página de Respuestas Este reporte contiene la información referente a los valores óptimos de la función objetivo, las variables de decisión y las variables de holgura (Slack variables)

11 Análisis de Sensibilidad
En este reporte encontraremos los valores sobre los cuales operará la solución óptima del problema y los límites de las restricciones que mantienen proporcionalidad de la solución, de tal manera que si fuera necesario se pudiesen hacer modificaciones al problema luego de ser optimizado, cada uno de estos reportes los analizaremos a continuación

12 Sensibilidad de variables de decisión
Costo Reducido: Hace referencia al valor en que debería cambiar el coeficiente de la función objetivo para que genere un cambio positivo en el óptimo (aumentar la función objetivo en maximización o disminuirla en minimización) -este es un valor nulo o ínfimo en casos de valores óptimos para las variables de decisión no nulos, por lo cual podría pensarse en este como el valor que disminuye a la función objetivo cuando una variable de decisión óptima que es nula es forzada a entra con valor de una unidad Incrementos y decrementos permitidos: Hace referencia a los mínimos y máximos valores que podría tener el coeficiente de la función objetivo en cada variable de tal modo que si cambiara uno solo de estos coeficientes la solución óptima para las variables de decisión se empezaría a cambiar, para el ejemplo quiere decir que si el coeficiente de x1 se aumentara por encima de unidades o bajara por encima de 2000 unidades los valores óptimos de las variables de decisión cambiarían (o bien si el coeficiente de x2 se aumentara por encima de 2000 unidades o bajara por encima de 3000 unidades los valores óptimos de las variables de decisión cambiarían). En otras palabras si el valor del coeficiente de x1 cambiara entre 8001 y unidades (10000 – 1999 y unidades) los valores óptimos de x1 y x2 serían 4 y 18 unidades respectivamente, o bien si el valor del coeficiente de x2 cambiara entre 5001y 9999 unidades (8000 – 2999 y unidades) los valores óptimos de x1 y x2 serían 4 y 18 unidades respectivamente

13 Sensibilidad en lados derechos de las restricciones
Precio sombra: Hace referencia al valor de cambio del óptimo para la función objetivo si cambiara en una unidad uno solo de los lados derechos de las restricciones Incrementos y decrementos permitidos: Hace referencia a los valores máximos y mínimos que podrían cambiarse en uno solo de los lados derechos de las restricciones que mantendrían un cambio proporcional en la función objetivo (precio sombra) Para el ejemplo significa que si el total del insumo 1 disminuyera en máximo 4 unidades o aumentara en cualquier valor la función objetivo cambiaría 0 pesos por cada unidad de cambio. Si el insumo 2 disminuyera en máximo 4 unidades o aumentara en máximo 4 unidades la función objetivo cambiaría en 2000 unidades por cada unidad de cambio, por ejemplo supongamos que el valor máximo disponible del insumo 2 cambiara a 28 unidades (dos unidades de incremento), el valor de la función objetivo sería: 𝑍= ∗ 2000 = 𝑢.𝑚 O bien si el máximo disponible del insumo 2 fueran 23 unidades (tres unidades de decremento) 𝑍= −3 ∗ 2000 = 𝑢.𝑚 Para el insumo tres el cambio máximo estaría entre 4 unidades de aumento y 9 de decremento con una variación de unidades por cada unidad de cambio en el lado derecho del insumo 3 Cabe aclarar que esto implicaría un cambio en los valores de las variables de decisión óptimas

14 Reporte de límites En este reporte se muestra de nuevo la solución óptima y los valores que tomaría la función objetivo si el valor de una de las variables de decisión cambiara a un limite máximo inferior o superior. Para el ejemplo, la primera variable de decisión podría llegar a un valor mínimo de 0 y máximo de 4 con valores para la función objetivo de u.m y u.m respectivamente Y la segunda variable de decisión podría llegar a un valor mínimo de 0 y máximo de 18 con valores para la función objetivo de u.m y u.m respectivamente

15 Ejemplo 2: Supongamos el siguiente problema:

16 El problema puede modelarse como: Al resolver el problema con Solver obtenemos: Esto es: Deben producirse 20 cervezas rubias, 5 cervezas negras y no producir cervezas de baja graduación para obtener un benefício óptimo de 160 u.m En cuanto a los insumos tenemos un uso total de levadura y de malta.

17 Análisis de sensibilidad: Variables de decisión
Tenemos el siguiente reporte: Por lo que sabemos que de querer mantener el óptimo (20,5,0) se deben manejar los beneficios unitarios de cada tipo de cerveza de la siguiente forma: Cerveza rubia: Entre 2,01 y 7.99 u.m Cerveza negra: Entre 3,51 y u.m Cerveza de baja graduación: Entre 0 y 7,32 u.m También sabemos que si se debiera producir obligatoriamente la cerveza de baja graduación el beneficio óptimo disminuiría 4,33 u.m por cada unidad producida; o bien, si quisiera producirse cerveza de baja graduación sin afectar las utilidades óptimas del proceso, debería aumentarse el precio de venta de esta cerveza en 4,33 u.m. de tal modo que aportara positivamente a los beneficios generales.

18 Análisis de Sensibilidad: Restricciones
A partir del reporte: Podemos concluir que la cantidad de insumos que mantiene los precios sombra de 0,33 u.m y 3,33 u.m serían respectivamente: Cantidad de Malta: Entre 22,5 y 90 unidades Cantidad de Levadura: Entre 15 y 60 unidades Esto si solo cambiara uno de los valores de disponibilidad de material. Por ejemplo si la cantidad de malta disponible cambiara a 24 unidades la utilidad óptima sería de: Z= 160 +(-0,3333)*(6)=158 u.m

19 Algunos ejemplos del uso del análisis de sensibilidad
Ejemplo 1. Para el ejemplo anterior supongamos que se aumenta el precio de venta de la cerveza negra a 6 u.m ¿Cuál sería la utilidad óptima y cuál la producción óptima? Respuesta: Vemos en el reporte de sensibilidad de variables de decisión que se mantendría la producción óptima de 20 cervezas rubias y 5 negras si el beneficio unitario de la cerveza negra está entre 3,51 y 13,99 u.m por lo cual al aumentar el precio de venta de esta la producción óptima no cambia y la utilidad óptima sería: Z= 20*7+5*6=170 u.m Ejemplo 2. Para el ejemplo anterior supongamos que se aumenta la cantidad de levadura disponible a 50 unidades ¿Cuál sería la utilidad óptima? Respuesta: Como el precio sombra de la levadura es de 3,33 u.m y el aumento es de 5 unidades (dentro del rango permisible) la utilidad óptima sería: Z= *3,33=176,66 u.m; sin embargo sería conveniente calcular la nueva producción óptima para ver si es posible (debido a que las variables son discretas), al resolverlo encontramos que la producción óptima debe ser de 23 cervezas rubias y 3,3 negras (lo cual no es práctico) por lo que en la realidad serían 23 cervezas rubias y 3 negras y la utilidad real sería de 175 u.m

20 Ejemplo 3. Si se debieran producir 2 cervezas de baja graduación obligatoriamente ¿Qué cambio en el precio de venta de venta debería realizarse para mantener el óptimo? Respuesta: El coste reducido de la cerveza de baja graduación es de -4,33 u.m por lo tanto el precio de venta de estas cervezas debería aumentarse en 4,33 u.m, al resolver de nuevo el ejercicio realizando el cambio y agregando la restricción x3=2 obtenemos un valor de utilidad óptima de 160 u.m (se mantiene) con una producción de 19 cervezas rubias, 3,7 negras y 2 de baja graduación, ajustándolo a la realidad se tiene una producción óptima de 19 cervezas rubias, 3 negras y 3 de baja graduación con una utilidad óptima de 157 u.m que es lo más cercano a la utilidad óptima produciendo cervezas de baja graduación alcohólica.