Sistemas de Modulación Lineal Modulación AM

Presentación del tema: "Sistemas de Modulación Lineal Modulación AM"— Transcripción de la presentación:

1 Sistemas de Modulación Lineal Modulación AM
Pr. F. Cancino

2 Introducción La modulación lineal recibe su nombre porque el espectro que produce está relacionado en forma lineal con el espectro del mensaje: Tipos de modulación lineal: AM, DSB, SSB, VSB. Convenciones:  El mensaje x(t) está limitado a una banda de frecuencias W1 Mensaje normalizado, esto es: x(t) 1 Cuando el mensaje es un tono, se asume: 𝑥 𝑡 = 𝐴 𝑚 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑚 𝑡  El análisis de Fourier permite representar señales sinusoidales y emplear superposición en sistemas lineales. Como la portadora de onda continua es sinusoidal, la señal resultante de la modulación con ancho de banda pequeño, puede analizarse como sinusoide pura.

3 Señales pasabanda = 𝑥 𝐵𝑃 (𝑡)
Son aquellas cuyo espectro está concentrado en la vecindad de una frecuencia llamada portadora fc 0. Por tanto una señal pasabanda puede verse como una señal modulada por una portadora, tal como se muestra en la Figura: Modulador

4 Típica señal pasabanda en el dominio del tiempo
Como se aprecia en la Figura, una señal pasabanda 𝑥 𝐵𝑃 𝑡 centrada en la frecuencia de la portadora presenta cambios en la envolvente y la fase. Formalmente se puede escribir como: 𝑥 𝐵𝑃 𝑡 =𝑅 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝐶 𝑡+ (𝑡) dónde: 𝑅 𝑡 : Envolvente y  (𝑡): Fase. En consecuencia, ambas son funciones del tiempo.

5 Representación fasorial de 𝒙 𝑩𝑷 𝒕
El plano completo rota a c La envolvente y la fase se pueden escribir como: Expandiendo la ecuación de 𝑥𝐵𝑃(𝑡) 𝑥 𝐵𝑃 𝑡 = 𝑅 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝑡 . 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝐶 𝑡 − 𝑅 𝑡 𝑆𝑒𝑛(𝑡) 𝑆𝑒𝑛 𝜔 𝐶 𝑡

6 Componentes en fase y cuadratura
𝑥 𝐵𝑃 𝑡 = 𝑅 𝑡 𝐶𝑜𝑠  𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝐶 𝑡− 𝑅 𝑡 𝑆𝑒𝑛  𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝜔 𝑐 𝑡 Se define: 𝑥 𝑖 𝑡 ≡ 𝑅 𝑡 𝐶𝑜𝑠  𝑡 𝑥 𝑞 𝑡 ≡𝑅 𝑡 𝑆𝑒𝑛  𝑡 Por tanto: 𝑥 𝐵𝑃 𝑡 = 𝑥 𝑖 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝐶 𝑡 − 𝑥 𝑞 𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝜔 𝐶 𝑡 Donde: 𝑥 𝑖 𝑡 : Componente en fase de la señal pasa-banda. 𝑥 𝑞 𝑡 : Componente en cuadratura de la señal pasa-banda

7 Representación en frecuencia
Al pasar la señal pasabanda (anterior) al dominio de la frecuencia y aplicando Transformada de Fourier: Puesto 𝑞𝑢𝑒 𝑋𝐵𝑃(𝑓) existe alrededor de 𝑓𝑐, entonces: 𝑥𝑖(𝑡) y 𝑥𝑞(𝑡) son señales pasa-bajos.

8 ¿Cómo determinar 𝒙 𝒊 𝒕 ) y 𝒙 𝒒 𝒕 a partir de 𝒙 𝑩𝑷 𝒕 ?
Multiplicando 𝑥 𝐵𝑃 𝑡 por 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝐶 𝑡 : Pasando esta señal por un filtro pasabajos de ganancia 2 se puede encontrar 𝑥 𝑖 𝑡 . Aplicando transformada de Fourier a este resultado:

9 Obtención de las componentes en fase y en cuadratura
. Obtención de la componente en fase: Obtención de la componente en cuadratura:

10 Modulación de Amplitud (AM)
Como su nombre lo indica, consiste en variar la amplitud de una sinusoide de acuerdo al mensaje que se desea transmitir. A la sinusoide se le llama PORTADORA debido a que llevará la información sobre si.  Sea 𝑥(𝑡) un mensaje normalizado (con ancho de banda = 𝑊). Si la portadora es de la forma: 𝑥 𝐶 𝑡 = 𝐴 𝑐 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑐 𝑡 La señal modulada en amplitud AM se expresa como: 𝑥 𝐴𝑀 𝑡 = 𝐴 𝑐 1+𝑚𝑥(𝑡) 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑐 𝑡 Donde m es el índice de modulación y 0 < m  1.

11 Señal modulada en AM con m=1
a) Señal x(t), (b) Señal: 1+mx(t) (c) Portadora, (d) Señal modulada en AM con m=1

12 Sobremodulación Si m>1 (SOBREMODULACION) se presenta un cambio de fase en la señal modulada en AM, lo que representa perder el parecido de la envolvente con el mensaje. Por ejemplo si m =2, la envolvente contiene el mensaje ahora distorsionado. En consecuencia, con sobremodulación la envolvente no se parece al mensaje.

13 Índice de modulación Señal AM modulada con un tono
De la expresión temporal puede derivarse m: 𝑎 = 𝐴𝑐 1+𝑚 𝑏 = 𝐴𝑐[1−𝑚] Luego: Señal AM modulada con un tono

14 Espectro de una señal AM
Asumiendo un mensaje x(t) con ancho de banda W y un espectro como se muestra en la Figura, se pude obtener el espectro de la señal AM. 𝑥 𝐴𝑀 𝑡 = 𝐴 𝐶 Partiendo de la ecuación general del AM en el tiempo: 𝑥 𝐴𝑀 𝑡 = 𝐴 𝐶 1+𝑚𝑥(𝑡) 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝐶 𝑡 𝑥 𝐴𝑀 𝑡 = 𝐴 𝐶 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝐶 𝑡+𝑚 𝐴 𝐶 𝑥(𝑡) 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝐶 𝑡 Al transformar por Fourier: Espectro de la señal x(t)

15 ¿Cómo se escoge fc en relación con W?
Conviene observar que el ancho de banda fraccional definido como: 𝑊 𝑓 𝑐 se encuentre limitado entre: 0,01< 𝑊 𝑓 𝑐 <0,1 Considerando: 𝑓𝑐>>𝑊, el espectro del mensaje es trasladado en frecuencia hacia 𝑓𝑐, tal como se aprecia en la Figura: Espectro de la señal modulada en AM

16 Que se deduce del espectro del AM?
Se puede concluir que el espectro de la señal modulada en AM implica que: El ancho de banda ocupado por la señal 𝐴𝑀 es 2𝑊. Se define Banda lateral superior 𝑈𝑆𝐵 la porción del espectro por encima de 𝑓𝑐 y Banda lateral inferior 𝐿𝑆𝐵 la porción por debajo de 𝑓𝑐. La señal modulada contiene la portadora con gran parte de la potencia.

17 𝑅𝑥 𝐴𝑀 𝜏 =𝐸 𝐴 𝐶 1+𝑚𝑥(𝑡) 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝐶 𝑡. 𝐴 𝐶 1+𝑚𝑥(𝑡−𝜏) 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝐶 (𝑡−𝜏)
Potencia de la señal AM Se puede determinar mediante la función de autocorrelación de la señal AM: 𝑥 𝐴𝑀 𝑡 = 𝐴 𝐶 1+𝑚𝑥(𝑡) 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝐶 𝑡 Aplicando la función de autocorrelación: 𝑅𝑥 𝐴𝑀 𝜏 =𝐸 𝑥 𝐴𝑀 𝑡 . 𝑥 𝐴𝑀 𝑡−𝜏 𝑅𝑥 𝐴𝑀 𝜏 =𝐸 𝐴 𝐶 1+𝑚𝑥(𝑡) 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝐶 𝑡. 𝐴 𝐶 1+𝑚𝑥(𝑡−𝜏) 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝐶 (𝑡−𝜏) Teniendo en cuenta que el mensaje tiene media nula: 𝑅𝑥 𝐴𝑀 𝜏 = 𝐴 𝐶 2 𝐸 1+ 𝑚 2 𝑥(𝑡)𝑥(𝑡−𝜏) 𝐶𝑜𝑠 (2𝜔 𝐶 𝑡− 𝜔 𝐶 𝜏)+𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝐶 𝑡 𝑅𝑥 𝐴𝑀 𝜏 = 𝐴 𝐶 2 𝐸 𝐶𝑜𝑠 (2𝜔 𝐶 𝑡− 𝜔 𝐶 𝜏)+𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝐶 𝑡+ 𝑚 2 𝑥(𝑡)𝑥(𝑡−𝜏) 𝐶𝑜𝑠 (2𝜔 𝐶 𝑡− 𝜔 𝐶 𝜏)+ 𝑚 2 𝑥(𝑡)𝑥(𝑡−𝜏) 𝐶𝑜𝑠 (2𝜔 𝐶 𝜏 𝐶𝑜𝑠 (2𝜔 𝐶 𝑡− 𝜔 𝐶 𝜏)+𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝐶 𝑡+ 𝑚 2 𝑥(𝑡)𝑥(𝑡−𝜏) 𝐶𝑜𝑠 (2𝜔 𝐶 𝑡− 𝜔 𝐶 𝜏)+ 𝑚 2 𝑥(𝑡)𝑥(𝑡−𝜏) 𝐶𝑜𝑠 (2𝜔 𝐶 𝜏

18 Autocorrelación de la señal AM
Considerando: Nota: , Si: 𝑥(𝑡) 𝑦 𝑦(𝑡) tienen simetrías diferentes 𝑥(𝑡) 𝑦 𝑦(𝑡) no coinciden en el tiempo 𝑥(𝑡) 𝑦 𝑦(𝑡) no coinciden en frecuencia

19 Potencia promedio total en AM
El valor de la potencia promedio total se obtiene evaluando la autocorrelación en  = 0 Se pude deducir: 𝑋 𝐴𝑀 2 =𝑃𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎+2 𝑃𝑜𝑡. 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 𝑃𝑐+ 2𝑃𝑆𝐵 La portadora consume más de la mitad de potencia total de transmisión AM. En consecuencia, es necesario realizar el cálculo de la eficiencia del AM. Luego: 𝑃 𝑐 ≥ 𝑋 𝐴𝑀

20 Cálculo de la eficiencia de un sistema de transmisión AM
La máxima eficiencia se logra cuando 𝑃𝑐=2𝑃𝑆𝐵 Si: AM MAX = 50% Lo cual indica que los sistemas AM tienen una pésima eficiencia.

21 Modulación AM con un tono
En este caso: 𝑥 𝑡 = 𝐴 𝑚 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑚 𝑡 𝑥 𝐴𝑀 𝑡 = 𝐴 𝐶 1+𝑚 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑚 𝑡) 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝐶 𝑡 𝑥 𝐴𝑀 𝑡 = 𝐴 𝐶 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝐶 𝑡+𝑚 𝐴 𝑚 𝐴 𝐶 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝐶 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑚 𝑡 Para obtener el espectro se transforma la ecuación anterior:

22 Espectro de la señal AM modulada con tono
La Densidad Espectral de Potencia se calcula elevando el espectro en magnitud al cuadrado.

23 Eficiencia del AM con un tono
La eficiencia en este caso es: La máxima eficiencia ocurre cuando m=1 y Am=1 AM max(1tono)= (1/3) *100%  33%

24 Modulación AM con un tono en la forma fasorial

25 Moduladores AM Para conseguir una señal AM se necesita básicamente un sumador y un multiplicador ya que: 𝑥 𝐴𝑀 𝑡 = 𝐴 𝐶 1+𝑚 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑚 𝑡) 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝐶 𝑡 Desglosando esta ecuación en sus dos términos, se puede desarrollar un modulador basado directamente en esta ecuación, como se indica en la Figura:

26 Modulador de ley cuadrática
Considerando el modulador de Ley Cuadrática que se muestra en la Figura, donde como elemento no lineal se pueden usar diodos ó transistores en las regiones donde se cumple: 𝑥 𝑜𝑢𝑡 𝑡 = 𝑎 1 𝑥 𝑖𝑛 𝑡 + 𝑎 2 𝑥 𝑖𝑛 2 𝑡 𝑥 𝑖𝑛 𝑡 =𝑥 𝑡 + 𝐴 𝐶 𝐶𝑜𝑠  𝐶 𝑡 𝑥𝑜𝑢𝑡(𝑡) = 𝑎1[𝑥(𝑡)+ 𝐴𝑐𝐶𝑜𝑠𝑐𝑡]+ 𝑎2[𝑥2(𝑡)+ 2𝑥(𝑡) 𝐴𝑐𝐶𝑜𝑠𝑐𝑡 + 𝐴𝑐2𝐶𝑜𝑠2𝑐𝑡]

27 Espectro de la señal Xout(f)
Al transformar por Fourier: Gráficamente:

28 Modulador de ley cuadrática (Cont.)
Como se observa al pasar esta señal por el filtro pasabanda centrado en fc y ancho de banda de 2W, solo queda la señal AM cuya expresión temporal es: 𝑥 𝐴𝑀 𝑡 = 𝑎 1 𝐴 𝐶 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝐶 𝑡+2 𝑎 2 𝐴 𝐶 𝑥 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝐶 𝑡 Se observa que el índice de modulación toma el valor: Normalmente a2 << a1 lo que implica que “la profundidad de modulación” es baja.

29 Moduladores de conmutación
fc = Frecuencia de conmutación =Frecuencia de la portadora. 𝑓𝑐 > 2𝑊 x(t)=Señal de entrada vi(t)= Señal de entrada con nivel dc igual a c voltios. vo(t)= Señal de salida del elemento no lineal Señal 𝑥 𝐴𝑀 𝑡 de salida

30 Señales del modulador de conmutación

31 Modulador Cowan Es un modulador AM de conmutación como se muestra en la Figura:

32 Demoduladores AM Detector de envolvente:
 Es posible recuperar el mensaje con un simple detector de envolvente con tiempo de carga corto y descarga largo. Su versión más sencilla es la que se muestra en la Figura: Cuando se aplica una señal a la entrada, el capacitor se carga a través del diodo. Cuando la tensión de entrada es baja el diodo se abre y el capacitor comienza a descargarse a través de R.

33 Señal en la detección de envolvente
Condición de diseño: La salida de este circuito es el mensaje sobre un nivel DC que puede bloquearse con un condensador c1:

34 Detector sincrónico o coherente
Otra forma de demodular una señal AM es multiplicándola por la portadora y filtrando como se indica: 𝑥 1 𝑡 = 𝑥 𝐴𝑀 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝐶 𝑡 𝑥 1 𝑡 = 𝐴 𝐶 1+𝑚𝑥(𝑡) 𝐶𝑜𝑠 2 𝜔 𝐶 𝑡 𝑥 1 𝑡 = 𝐴 𝐶 1+𝑚𝑥(𝑡) 𝐴 𝐶 1+𝑚𝑥(𝑡) 2 𝐶𝑜𝑠 2 𝜔 𝐶 𝑡 Al pasar 𝑥 1 𝑡 por el filtro pasabajo se anulan las componentes de alta frecuencia (2 𝜔 𝐶 ) 𝑦 𝑡 = 𝐴 𝐶 𝑚𝑥(𝑡) = 𝐴 𝐶 𝑚𝐴 𝐶 2 𝑥(𝑡) 𝑦 𝐷 𝑡 = 𝑚𝐴 𝐶 2 𝑥 𝑡 =𝐾𝑥(𝑡) Al bloquear la componente DC, se tiene:

35 Detector sincrónico (Cont.)
Observe que se asume que el receptor dispone de una muestra de la portadora de la misma frecuencia y fase que la usada en el modulador. Circuitos tales como el PLL (PHASE LOCKED LOOP) permiten obtener la portadora a partir de una señal modulada en AM.