División de un segmento en una razón dada

Presentación del tema: "División de un segmento en una razón dada"— Transcripción de la presentación:

1 División de un segmento en una razón dada
Hay 2 maneras de que existen para comparar dos cantidades: la diferencia o resta y la razón. Ejemplos para entender estos dos conceptos: Juan tiene 10 años y su papá 40. Si se entiende la diferencia entre ambas edades, tenemos como resultado 30 años. Pero si se entiende la razón entre ambas edades tenemos 2 cocientes:

2 Es decir , el papá tiene el cuádruple de edad Que su hijo
40 𝑎ñ𝑜𝑠 10 𝑎ñ𝑜𝑠 =4 Es decir , el papá tiene el cuádruple de edad Que su hijo o 10 𝑎ñ𝑜𝑠 40 𝑎ñ𝑜𝑠 = es decir, Juan tiene la cuarta parte de la edad de su papá La razón es la manera de comparar dos cantidades a través de sus cociente.

3 Un punto sobre un segmento divide a este en dos partes:
Pueden ambas partes ser iguales Una parte puede ser mayor que la otra Las longitudes se comparan mediante un cociente que expresa matemáticamente la idea intuitiva de “cuantas veces cabe un segmento en el otro”

4 En el primer caso observamos que la porción más pequeña es la mitad de la mayor. Esto se expresa así: los segmentos AP y PB están en la razón 1:2 ó también En el segundo caso notamos que ambas porciones son iguales, es decir M es el punto medio de AB. Expresamos esta situación diciendo que los segmentos AM y MB están en la razón 1:1 ó bien, que

5 Estas ideas se extienden considerando que el punto de división esta fuera del segmento, a uno y otro lado del mismo, sobre la recta que lo contiene. Este caso se distingue del anterior porque aquellas razones se consideran positivas, en tanto que éstas se consideran negativas. A B P A B P

6 La razón se define como:
P P2 P1 P1P PP2 La razón se define como: P1P = x – x1 , PP2 = x2 –x siendo

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8 Formulas: 1) Para determinar la razón conociendo los extremos y el punto de división se emplea: Solamente una de las dos 2) Para encontrar las coordenadas del punto de división conociendo los extremos y la razón se utiliza: Las 2 formulas

9 1) Cuando P(x,y) está entre P1 y P2, la razón es positiva (r > 0)
Signo de la razón indica si el punto de división se ubica entre los extremos del segmento o fuera de ellos sobre la misma recta. 1) Cuando P(x,y) está entre P1 y P2, la razón es positiva (r > 0)

10 2) Cuando P(x,y) no está entre P1 yP2 , la razón es negativa (r < 0)

11 Cual es la razón en que el punto P(2,7) divide al segmento determinado por los puntos P1(-1,1) y P2(6,15) Sustituyendo valores de x = 2, x1 = - 1, x2 = 6, en la formula Se obtiene el mismo valor de r si se toman los valores de las ordenadas

12 𝒓= 𝟏−𝟕 −𝟏−𝟏 = −𝟔 −𝟐 =𝟑 𝒓= −𝟐−𝟒 −𝟒−(−𝟐) = −𝟔 −𝟒+𝟐 = −𝟔 −𝟐 =𝟑
Los extremos de un segmento son los puntos P1(7,4) y P2(– 1, – 4 ). Hallar la razón r en que el punto P(1, –2) que divide al segmento. 𝒓= 𝟏−𝟕 −𝟏−𝟏 = −𝟔 −𝟐 =𝟑 O también podemos ocupar: 𝒓= −𝟐−𝟒 −𝟒−(−𝟐) = −𝟔 −𝟒+𝟐 = −𝟔 −𝟐 =𝟑

13 G ANALITICA 7 DIV SEG RAZON
Para los puntos P1(5,3) y P2(– 3, – 3 ) encuentra la coordenada del punto P(x,y) que divide al segmento en una razón r = 3 𝒙= 𝟓+𝟑(−𝟑) 𝟏+𝟑 = −𝟒 𝟒 =−𝟏 𝒚= 𝟑+𝟑(−𝟑) 𝟏+𝟑 = −𝟔 𝟒 = −𝟑 𝟐 Entonces la coordenada del punto P es (−𝟏, −𝟑 𝟐 )

14 Ejercicios en clase Cual es la razón en la que el punto P(10,7) divide al segmento cuyos extremos son los puntos P1(-5,2) y P2(1,4) 𝒓=− 𝟓 𝟑 Dados los puntos P1(4,-3) y P2(1,4) determina la coordenada del punto P(x,y) divide al segmento en una razón r = 2 P(2, 𝟓 𝟐 )